7.1 条件概率与全概率公式【知识梳理+7个题型归纳】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【7.1 条件概率与全概率公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：条件概率的定义】 【练方法】 知识梳理 1条件概率的定义：设A B为两个随机事件且称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 2条件概率的本质：样本空间的缩小以A为新样本空间计算B在A中的发生概率 3条件概率与联合概率的区别：是A发生前提下B的概率是A和B同时发生的概率 4条件概率的样本空间：原样本空间条件概率的样本空间为A 解题方法 1紧扣定义明确事件A和B验证 2区分条件概率与联合概率明确题目是“在A发生的前提下”还是“A和B同时发生” 3用样本空间缩小法理解定义古典概型中 4结合实际问题识别条件概率场景如“已知第一次取到正品求第二次取到正品” （2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______．经典例题1例题 （2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·辽宁丹东·一模）一个口袋里装有大小、形状完全相同的8个红球和2个白球，从中不放回地任取两个球．已知取到了一个红球，则取到的另一个是白球的概率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·河北沧州·模拟预测）已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：条件概率的简单计算】 【练方法】 知识梳理 1条件概率的核心公式：（） 2古典概型条件概率：（为A包含的基本事件数为AB同时发生的基本事件数） 3缩小样本空间法：将A作为新样本空间直接计算B在A中的频率 4乘法公式：由条件概率公式变形得到 解题方法 1定义法：先求和代入公式计算 2缩小样本空间法：古典概型中直接统计A中满足B的基本事件数作比计算 3乘法公式法：已知和求 4分步计算：复杂问题按事件发生顺序分步计算条件概率再用乘法公式求联合概率 （25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________.经典例题1例题 （25-26高二下·天津·月考）已知随机事件满足，，则__________.经典例题2例题 （2026·河北石家庄·一模）已知随机事件满足，则______.小试牛刀1 （25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件互相独立，且满足，则__________.小试牛刀2 （25-26高二上·河南驻马店·期末）已知事件，相互独立，，，则______.小试牛刀3 【题型3：条件概率的性质】 【练方法】 知识梳理 1非负性：对任意事件B有 2规范性：（必然事件的条件概率为1） 3可加性：若互斥则 4对立事件性质：（最常用用于简化计算） 5乘法公式推广： 解题方法 1对立事件转化：复杂条件概率优先用简化计算 2互斥事件可加性：多个互斥事件的条件概率直接求和 3乘法公式推广：分步事件的联合概率按顺序计算各步条件概率再相乘 4性质验证：用定义验证条件概率性质加深理解 （25-26高二下·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______．经典例题1例题 （24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 ______________.经典例题2例题 【多选题】（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·江西九江·期末）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【多选题】（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（   ）小试牛刀3 A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【题型4：全概率的计算】 【练方法】 知识梳理 1全概率公式：设是样本空间的一个划分（两两互斥且）且则对任意事件B有 2全概率公式的本质：化整为零将复杂事件B拆分为多个互斥的原因分别计算各原因下B的概率再求和 3适用场景：结果B由多种原因导致求结果B发生的总概率 4划分的要求：两两互斥且并为全集无遗漏无重复 解题方法 1划分样本空间：找到一组两两互斥且完备的事件（如不同批次不同渠道不同情况） 2计算各：各划分事件的概率 3计算各：各划分下B发生的条件概率 4代入全概率公式求和得到 5验证：划分是否完备概率和是否为1避免漏算 （25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·北京·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（   ）经典例题2例题 ①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ （25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·福建厦门·月考）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·甘肃·二模）某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________.小试牛刀3 【题型5：贝叶斯公式的应用】 【练方法】 知识梳理 1贝叶斯公式：设是样本空间的一个划分且则 2贝叶斯公式的本质：由果索因已知结果B发生反推导致结果的原因发生的概率 3与全概率公式的关系：分母为全概率公式计算的分子为全概率中的对应项 4先验概率与后验概率：为先验概率（原因的初始概率）为后验概率（结果发生后原因的概率） 解题方法 1识别场景：题目为“已知结果B发生求某原因的概率”直接用贝叶斯公式 2先计算全概率：用全概率公式求出分母 3计算分子：对应原因的联合概率 4作比得到 5验证：所有后验概率和为1确保计算正确 （25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为.经典例题1例题 (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. （25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件.经典例题2例题 (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. （2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______.小试牛刀1 （25-26高三下·河北雄安·开学考试）某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________.小试牛刀2 （2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________．小试牛刀3 【题型6：条件概率中的证明】 【练方法】 知识梳理 1条件概率的核心公式：是证明的基础 2条件概率的性质：非负性规范性可加性对立事件性质乘法公式等是证明的工具 3常见证明结论： 证明 证明 证明等价于A B相互独立 证明乘法公式 4证明的核心逻辑：紧扣定义用条件概率公式转化结合概率的基本性质推导 解题方法 1定义切入：将条件概率用表示转化为普通概率问题 2利用概率基本性质：如互斥对立加法公式乘法公式等推导结论 3分步推导：复杂证明分步展开每一步标注依据逻辑清晰 4特殊值验证：用具体数值验证结论辅助证明 5逆向推导：从结论出发反推所需条件再正向证明 （2026高三·全国·专题练习）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛.经典例题1例题 (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （23-24高三上·福建泉州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．经典例题2例题 (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． （25-26高二上·全国·单元测试）已知随机事件满足，，．小试牛刀1 (1)求； (2)求； (3)证明． 【题型7：全概率公式与数列综合】 【练方法】 知识梳理 1全概率公式的递推应用：将事件概率设为数列项用全概率公式建立递推关系 2常见递推模型： 重复试验模型：如多次抽奖多次射击用全概率建立与的关系 状态转移模型：如两种状态的切换用全概率建立递推 3递推数列的求解：等差数列等比数列线性递推等 4核心逻辑：用全概率公式将第n次的概率用第n-1次的概率表示建立递推关系求解数列通项 解题方法 1设概率为数列项：设为第n次事件发生的概率 2用全概率公式建立递推关系：分析第n次事件发生的两种情况（第n-1次发生/不发生）用全概率公式得到 3求解递推数列：用构造等比数列法迭代法等求通项公式 4验证初始条件：代入验证递推关系的正确性 5应用通项：根据题目要求求特定n的概率或极限概率 （2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求经典例题1例题 (1)的值； (2)求的式子. （25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：经典例题2例题 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. （2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点.小试牛刀1 (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中.小试牛刀2 (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. （25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．小试牛刀3 (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山东·期末）口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高三上·重庆·月考）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B．若与互斥，则 C． D．若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 8．（25-26高二下·贵州·月考）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 10．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A．，是相互独立事件 B．事件，互斥 C． D． 三、填空题 11．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 12．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 13．（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________. 14．（25-26高三上·江西抚州·期末）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________. 四、解答题 15．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 16．（25-26高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【7.1 条件概率与全概率公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：条件概率的定义】 【练方法】 知识梳理 1条件概率的定义：设A B为两个随机事件且称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 2条件概率的本质：样本空间的缩小以A为新样本空间计算B在A中的发生概率 3条件概率与联合概率的区别：是A发生前提下B的概率是A和B同时发生的概率 4条件概率的样本空间：原样本空间条件概率的样本空间为A 解题方法 1紧扣定义明确事件A和B验证 2区分条件概率与联合概率明确题目是“在A发生的前提下”还是“A和B同时发生” 3用样本空间缩小法理解定义古典概型中 4结合实际问题识别条件概率场景如“已知第一次取到正品求第二次取到正品” （2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______．经典例题1例题 【答案】 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． （2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. （2026·辽宁丹东·一模）一个口袋里装有大小、形状完全相同的8个红球和2个白球，从中不放回地任取两个球．已知取到了一个红球，则取到的另一个是白球的概率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法1：采用缩小样本空间的思路 从大小形状完全相同的个红球和个白球中不放回地任取两个球其中一个是红球， 取法种数为（或）， 其中取到了一个红球一个是白球的取法种数为，因此所求概率为． 方法2：条件概率公式 设事件为“至少取到一个红球”，事件为“取到一红一白”， 则，， 因此所求概率为． （25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. （2026·河北沧州·模拟预测）已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出红球， 则，， 所以． 【题型2：条件概率的简单计算】 【练方法】 知识梳理 1条件概率的核心公式：（） 2古典概型条件概率：（为A包含的基本事件数为AB同时发生的基本事件数） 3缩小样本空间法：将A作为新样本空间直接计算B在A中的频率 4乘法公式：由条件概率公式变形得到 解题方法 1定义法：先求和代入公式计算 2缩小样本空间法：古典概型中直接统计A中满足B的基本事件数作比计算 3乘法公式法：已知和求 4分步计算：复杂问题按事件发生顺序分步计算条件概率再用乘法公式求联合概率 （25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. （25-26高二下·天津·月考）已知随机事件满足，，则__________.经典例题2例题 【答案】 【详解】由条件概率公式得． （2026·河北石家庄·一模）已知随机事件满足，则______.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式可知 . （25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件互相独立，且满足，则__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算. 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： （25-26高二上·河南驻马店·期末）已知事件，相互独立，，，则______.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】先利用独立事件的性质求出 ，再通过条件概率公式完成计算即可. 【详解】由 相互独立，得 ， 代入 ，，则，即， 因为， 所以 . 故答案为： 【题型3：条件概率的性质】 【练方法】 知识梳理 1非负性：对任意事件B有 2规范性：（必然事件的条件概率为1） 3可加性：若互斥则 4对立事件性质：（最常用用于简化计算） 5乘法公式推广： 解题方法 1对立事件转化：复杂条件概率优先用简化计算 2互斥事件可加性：多个互斥事件的条件概率直接求和 3乘法公式推广：分步事件的联合概率按顺序计算各步条件概率再相乘 4性质验证：用定义验证条件概率性质加深理解 （25-26高二下·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______．经典例题1例题 【答案】 【详解】已知， ， ， ． （24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 ______________.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据条件概率的性质即可求解. 【详解】由可得，故, 故答案为：, 【多选题】（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 【多选题】（25-26高二上·江西九江·期末）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件，相互独立事件同时发生乘法公式，条件概率公式来进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，对于古典概型，若 ，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 【多选题】（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（   ）小试牛刀3 A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【答案】BC 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 【题型4：全概率的计算】 【练方法】 知识梳理 1全概率公式：设是样本空间的一个划分（两两互斥且）且则对任意事件B有 2全概率公式的本质：化整为零将复杂事件B拆分为多个互斥的原因分别计算各原因下B的概率再求和 3适用场景：结果B由多种原因导致求结果B发生的总概率 4划分的要求：两两互斥且并为全集无遗漏无重复 解题方法 1划分样本空间：找到一组两两互斥且完备的事件（如不同批次不同渠道不同情况） 2计算各：各划分事件的概率 3计算各：各划分下B发生的条件概率 4代入全概率公式求和得到 5验证：划分是否完备概率和是否为1避免漏算 （25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . （25-26高二下·北京·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（   ）经典例题2例题 ①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【详解】对于①，由题可知： , ， 若取红球入乙罐(发生)，乙罐红球变为5个，总球数为11个： 若取白球入乙罐(发生)，乙罐红球仍为4个，总球数为11个： 若取黑球入乙罐(发生)，乙罐红球仍为4个，总球数为11个： 由全概率公式可得： 代入得：，所以①错误，②正确； 对于③， ，则事件与事件不相互独立，所以③错误； 对于④，从甲罐只取一个球，不可能有两种颜色，则两两互斥，所以④正确. （25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. （25-26高二下·福建厦门·月考）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. （2026·甘肃·二模）某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 【题型5：贝叶斯公式的应用】 【练方法】 知识梳理 1贝叶斯公式：设是样本空间的一个划分且则 2贝叶斯公式的本质：由果索因已知结果B发生反推导致结果的原因发生的概率 3与全概率公式的关系：分母为全概率公式计算的分子为全概率中的对应项 4先验概率与后验概率：为先验概率（原因的初始概率）为后验概率（结果发生后原因的概率） 解题方法 1识别场景：题目为“已知结果B发生求某原因的概率”直接用贝叶斯公式 2先计算全概率：用全概率公式求出分母 3计算分子：对应原因的联合概率 4作比得到 5验证：所有后验概率和为1确保计算正确 （25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为.经典例题1例题 (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. （2）根据贝叶斯公式，可得： . （25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件.经典例题2例题 (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.915 (2) 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式展开即可求得. 【详解】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. （2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为. （2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】首先根据题意写出各事件的概率，再根据全概率公式求解；第二个小题根据贝叶斯概率公式求解. 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件， 该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为； ， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. （25-26高三下·河北雄安·开学考试）某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________.小试牛刀2 【答案】/0.375 【分析】利用全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式计算得解. 【详解】用表示号小球内有获奖信息，用表示主持人打开号小球， 依题意，， 又， 则， 所以所求概率为. （2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 【题型6：条件概率中的证明】 【练方法】 知识梳理 1条件概率的核心公式：是证明的基础 2条件概率的性质：非负性规范性可加性对立事件性质乘法公式等是证明的工具 3常见证明结论： 证明 证明 证明等价于A B相互独立 证明乘法公式 4证明的核心逻辑：紧扣定义用条件概率公式转化结合概率的基本性质推导 解题方法 1定义切入：将条件概率用表示转化为普通概率问题 2利用概率基本性质：如互斥对立加法公式乘法公式等推导结论 3分步推导：复杂证明分步展开每一步标注依据逻辑清晰 4特殊值验证：用具体数值验证结论辅助证明 5逆向推导：从结论出发反推所需条件再正向证明 （2026高三·全国·专题练习）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛.经典例题1例题 (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件确定样本中男性居民与女性居民的人数，再用频率估计概率. （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可. 【详解】（1）依题意，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 因此样本中，观看了这场苏超联赛的频率为， 所以从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）由（1）得， 因此； 又， 因此，所以. （23-24高三上·福建泉州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．经典例题2例题 (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，，， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得 ． （2）由已知得 ， ， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． （25-26高二上·全国·单元测试）已知随机事件满足，，．小试牛刀1 (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据概率公式和条件概率公式进行求解即可. （2）先根据条件概率公式求出，进而可求出. （3）根据条件概率公式进行化简即可. 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以 ． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 【题型7：全概率公式与数列综合】 【练方法】 知识梳理 1全概率公式的递推应用：将事件概率设为数列项用全概率公式建立递推关系 2常见递推模型： 重复试验模型：如多次抽奖多次射击用全概率建立与的关系 状态转移模型：如两种状态的切换用全概率建立递推 3递推数列的求解：等差数列等比数列线性递推等 4核心逻辑：用全概率公式将第n次的概率用第n-1次的概率表示建立递推关系求解数列通项 解题方法 1设概率为数列项：设为第n次事件发生的概率 2用全概率公式建立递推关系：分析第n次事件发生的两种情况（第n-1次发生/不发生）用全概率公式得到 3求解递推数列：用构造等比数列法迭代法等求通项公式 4验证初始条件：代入验证递推关系的正确性 5应用通项：根据题目要求求特定n的概率或极限概率 （2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求经典例题1例题 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得； （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. （25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：经典例题2例题 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. （2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点.小试牛刀1 (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由全概率公式得到递推公式即可求解； （2）由全概率公式得到递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）（1）证明：设跳动次后，该质点落在“区”的概率为， 则 所以跳动次后，该质点落在“区”的概率为，为定值 （2）时， 时， 所以 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.. 所以 所以 当时，，也满足上式 所以跳动次后，该质点落在点的概率 （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中.小试牛刀2 (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由全概率公式求解； （2）由全概率公式得出的递推公式，进而求出的通项公式，由数列的单调性确定的范围. 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. （25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．小试牛刀3 (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）（i）利用正难则反思想计算，利用分类讨论结合正难则反思想计算；（ii）分类讨论结合全概率公式得，利用递推关系作差即可证明. 【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对， 其概率为：； （2）（i）； 当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形， 可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、 连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错； 第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对）， 故； （ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形， 则由题意可如下分类： ①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形， 此时概率为； ③第n题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为， 由全概率公式：①， 因此②， ， 所以当时，，故． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山东·期末）口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合组合计数问题及古典概率求解. 【详解】依题意，的事件有个基本事件，的事件有个基本事件， 所以. 故选：B 2．（25-26高二下·湖南·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 3．（24-25高二下·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出所有满足条件的四位数，再分别计算事件的概率，最后用条件概率公式求解. 【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动， 基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种， 则，事件“表示的四位数不小于5010”， 则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种， 则 ， 所以， 故选：A． 4．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 二、多选题 5．（25-26高三上·重庆·月考）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误. 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确； 对于B：， 变形可得，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则有， 故，故D正确， 故选：ACD 6．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B．若与互斥，则 C． D．若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【答案】AC 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率公式分别判断各选项. 【详解】由，， A选项：，A选项正确； B选项：由与互斥，即事件与不能同时发生，即，B选项错误； C选项：， 当时，，此时取得最小值为， 当与互斥时，，此时取得最大值为，C选项正确； D选项：与相互独立，则，， 即，D选项错误； 故选：AC. 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 【答案】ABC 【分析】分别分析甲、乙、丙、丁四位同学随机选择选项的情况，计算各自能得分的概率，逐一判断即可. 【详解】对于A：甲同学仅随机选一个选项，能得3分的情况为在中选择或， 所以其概率为，故A正确； 对于B：乙同学仅随机选两个选项，能得5分的情况为在中选择， 所以其概率为，故B正确； 对于C：丙同学随机选择选项，能得分的情况为在中选择中的一种， 所以其概率为，故C正确； 对于D：丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的情况为在中选择， 所以其概率为，故D错误； 8．（25-26高二下·贵州·月考）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据条件概率公式，概率的基本性质及事件和的概率公式即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 9．（25-26高三上·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 【答案】ABD 【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解；对于C选项利用贝叶斯公式求解；对于D选项不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】对于A选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为： ，故A正确， 对于B选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 依题意两两互斥， 其和为， 并且， ， ， ， 由全概率公式有：，故B正确； 对于C选项：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同， ， ， ， 则故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大， 故C不正确； 对于D选项：先将5个不同的小球分成或三份， 再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有： ，故D正确； 故选：ABD. 10．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A．，是相互独立事件 B．事件，互斥 C． D． 【答案】AC 【分析】利用独立事件、互斥事件的定义与概率公式即可判断选项A、B、C，利用条件概率的定义与公式即可判断选项D. 【详解】根据概率加法公式可知，即， 所以. 选项A：因为，所以，相互独立，故A正确. 选项B：若，互斥，则，但，故B错误. 选项C：，， ，故C正确. 选项D：，，故D错误. 三、填空题 11．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率可求第一空答案，利用条件概率的公式可求第二空的答案. 【详解】设事件=“摸出的球中没有二星球”，则事件包含两个互斥事件：第一次摸出了白色一星球，第一次摸出了黄色一星球同时第二次摸出了白色一星球， . 设事件“第1次摸出白球”， 事件“第2次摸出二星球”， ，， 所以. 故答案为：   12．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 【答案】0.8/ 【分析】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故答案为：0.8 13．（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________. 【答案】 / / 【分析】记事件第一次取出白球，记事件第二次取出白球，分析第一次摸球后，盒子中球的变化，结合古典概型的概率公式可求得的值，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件第一次取出白球，记事件第二次取出白球，则，， 若第一次取出白球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球， 则， 若第一次取出黑球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球， ， 所以， 故答案为：；. 14．（25-26高三上·江西抚州·期末）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________. 【答案】 【分析】设事件“有且仅有一次经过（含到达）”，事件“水平方向移动3次”， 按移动到位置需要1步还是3步分类讨论，根据条件概率求解即可. 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）”，事件“水平方向移动3次”， 按移动到位置需要1步还是3步分类讨论. 记向左，向右，向上，向下， （1）若第1步到为事件，则移动3次满足要求的是或或或或，或或或或， 所以； （2）若3步到为事件，则移动3次满足要求的是， 所以. 因为，且互斥，所以. 满足的情况有：，，，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式 ，结合计算即可. 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得： ， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 16．（25-26高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 【答案】(1)576； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用排列、组合计数问题列式计算得解. （2）根据给定条件，利用条件概率公式列式求解. 【详解】（1）由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品， 且前4次测得3只不合格品、1只合格品， 所以不同情形种数为. （2）记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品， ，， 因此， 所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $