考前必做解答题系列6 导数-2026届高三数学三轮冲刺

导数及其应用（解答题) 导数及其应用（必做题） 1.(2025-四川绵阳模拟预测)已知函数f()=xnx+kx+,k∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(L,f)处的切线与y轴垂直，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0对x>0成立，求实数k的取值范围. 2.(25-26高三上广西南宁.开学考试)已知函数f(x=lnx-ax(aeR. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有最大值且为a+1)lna-a.则求a的值. 1/4 3.(2024全国甲卷高考真题)已知函数fx=ax-1-lnx+1. (1)求∫(x)的单调区间； (2)当a≤2时，证明：当x>1时，fx<e-恒成立. 4.(25-26高三上湖北孝感-阶段练习)已知函数f(x)=x3-3x. (1)求y=f(x)在区间[-2,3]上的最值： (2)若过点P(2,)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求实数t的取值范围. 2/4 导数及其应用（选做题） 5.(2025·辽宁.模拟预测) 已知函数f(x)=mr+ (x+102 (1)求出函数f(x)在 上的最值 (2)若关于x的不等式n(ex)-2ax>a(x2+1存在唯一的整数解，求实数a的取值范围， 6.(25-26高三上内蒙古巴彦淖尔阶段练习)已知函数)=e-2(x>0,g)=nx. (1)求函数h(x)=f(x)+g(x)在[l,e]上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的0<x,<x2,均有fx)-gx)<f（x)-gx2),求a的取值范围. 3/4 7.(25-26高三上河北·开学考试)己知函数f(x)=alnx+二x2-(a+1)x,其中a≠0. (1)求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x,x2·①求实数a的取值范围；②证明：x+x,>2 8.(2025浙江宁波.模拟预测)己知函数f(x)=m(1-x)-nx-1. (1)当m=2时，求曲线y=f(x在点1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)的极小值小于-1，求m的取值范围： (3)当m>1时，证明：g(x)=f(x)+xe-m有2个零点. 4/4 导数及其应用（必做题） 1.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间； (2)若对成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先根据题意得到的定义域及，再根据即可得到的值，进而根据的正负可得到函数的单调区间； （2）先根据题意分离参数，再构造函数，进而通过求导分析其单调性即可得到的取值范围． 【详解】（1）依题意得的定义域为，， 由曲线在点处的切线与轴垂直， 则，得， 所以， 当时，，，则； 当时，，，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由得， 令， 则， 令，得， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 所以，即． 故的取值范围是． 2.（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有最大值且为.则求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）分类讨论求导数，根据导数正负判断函数单调性； （2）求导数得出函数单调性再根据最大值求参数. 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，由已知 则，令， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，令，则， 所以在上单调递减，，即， 则在上单调递增， 又， 所以是的唯一解， 综上，． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 4.（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数. (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值是18，最小值； (2). 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，再求出在指定区间上的最值. （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再利用导数，结合函数的零点个数求出的范围. 【详解】（1）函数，，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 所以函数的最大值是18，最小值. （2）设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点存在3条直线与曲线相切，得方程有3个互不相同的解， 即直线与函数的图象有三个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象得当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以实数的取值范围是. 导数及其应用（选做题） 5.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数 (1)求出函数在上的最值 (2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值； （2）把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可； 【详解】（1）因为，，所以， 令，令， 因为函数，在上单调递减， 所以在上单调递减，又， 所以方程得解为， ，的变化情况如下表所示． x e + + 0 单调递增 单调递减 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，有极大值，也是的最大值. 又因为，， 所以，所以为的最小值. （2）因为，所以不等式可化为， 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为的最大值，， 所以，时，最大，所以不等式， 即存在唯一的整数解只能为1， 所以，所以 所以a的取值范围为. 6.（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点； (2) 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数即可； （2）构造函数，将问题化为函数定义域上单调递增，即恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可. 【详解】（1）易知， 则定义域上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即最大值为，最小值为， 又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点； （2）设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 7.（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若函数有两个不相等的零点． ①求实数a 的取值范围； ②证明： 【答案】(1)答案见解析； (2)①；②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求出函数的单调区间. （2）①由（1）的结论，结合极大值、最小值及零点存在性定理求出范围；②根据给定条件，构造函数并利用极值点偏移推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. （2）①由（1）知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意； 当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意； 当时，， 由函数有两个不相等的零点，得，则， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，函数在上有唯一零点； 而，函数在有唯一零点， 因此当时，函数有两个不相等的零点， 所以实数a 的取值范围是. ②由①知，当时，函数有两个不相等的零点，不妨令， 令函数，求导得 ，函数在上单调递减， 则，即当时，，于是， 因此，又，函数在上单调递增， 则，所以. 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于，求m的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于0或时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $