考前必做解答题系列 5 数列-2026届高三数学三轮冲刺

数列复习题1 1.已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式； （2）需要先用错位相减法求得数列{}的前项和为，代入不等式中对分类讨论，转化为最值问题，求出范围即可． 【详解】（1）解：等差数列{}中，设公差为d， 则 数列{}中的前n项和为，且① 当时， 当时，② ②－①得： 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）解：数列{}中，. 则 所以 故 所以 ∵对恒成立． 当为奇数时，， 当为偶数时， 综上：实数的取值范围为． 2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、累加法求数列通项、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证； （2）利用累加法即可求得的通项公式. （3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明. 【详解】（1）由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 3.（24-25高三下·辽宁·开学考试）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数. (1)证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设（1）中“平方递推数列”的前n项积为，即，求； (3)在（2）的条件下，记，求数列的前n项和，并求使的n的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)，n的最小值为2025. 【难度】0.4 【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列、数列不等式能成立（有解）问题、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义列方程，再结合对于运算以及等比数列的知识来证得结论成立. （2）先求得，然后结合对数运算、等比数列前项和公式来求得. （3）先求得，利用分组求和法求得，由此化简不等式来求得的最小值. 【详解】（1）由题意得：，即，则是“平方递推数列”. 对两边取对数得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， . （3）， ， 又，即， 又，所以. 4.（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，． (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 【答案】(1)不是等比数列，且 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比中项的应用、数列不等式恒成立问题、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）因为，且对任意的，， 当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即，所以， 又因为， 故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列， 当时，，即， 综上所述，. （2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，， ，， 所以，，， 因为、、成等比数列，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以 ，故原不等式得证. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $数列复习题1 1已知数列为等差数列，3,4=3，数列的前”项和为3，且满足 b 2Sn=3b,-1 (1)求(“}和”}的通项公式： ②若。=(a,+)b,数列的前n项和为，且7-n:3”<(-少m对neN恒成立，求实数m的取值范 围 2.2025江丙宜春模拟预》已知数列a,}满足4-分，4-号，4+a= ()i证明：数列a-a}为等比数列： (②求a,}的通项公式 (3)记，=2a,+1,数列b,h的前n项和为S,证明：16≤5，<8 1 3.(2425高三下辽宁开学考试)若数列4满足1=心，则称数列4}为“平方递推数列”已知数列a} 中， a,=9上(an,an+i) ,点 在函数f田=+2x的图象上，其中n为正整数 ①证明数a+是“平方递推数列”，且数列s(a,+》为等比数列： 2设()中“平方递推数列”的前n项积为，即=(a+a,+)-a+),求e7 b= lgT (3)在(2)的条件下，记”g(a+),求数列亿}的前n项和S。,并求使Sn>4048的n的最小值 4.(2025吉林长春三模)记5为数列a,的前”项和，已知4=2，a=5+n, ④判断a,+1是否为等比数列，并求出a的通项公式。 11 2设逻始的等差数列仇}满足么=2，且4+4、4+么.a+成等比数列.设了云+云…+云，证明： 2 数列复习题2 1.（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）求出，采用裂项相消法求出前项和为，解，即可得到答案. 【详解】（1）由条件有时，， 又，所以，， 则， 经检验，满足， 所以的通项公式. （2）由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故的最大值为. 2.（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）解：由（1）知，，所以， 因为，即， 可得， ， 所以，所以数列的前2n项的和为． 3.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，记． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）先根据已知条件推出与的关系，结合，确定是等比数列，进而求出的通项公式. 再根据与的关系，分为偶数和奇数两种情况求出的通项公式. （2）由（1）结果得到的表达式. 采用错位相减法求，先写出和的表达式，然后两式相减，通过等比数列求和公式化简得出. 【详解】（1）因为 ， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ，也符合上式． 综上所述， （2）由（1）可知，， 则， 所以， 两式相减得 ， 故． 4.已知函数. (1)若，求实数k的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）将题设等价于对恒成立，从而利用导数工具求出即可得解； （2）由（1）可得对恒成立，进而得，再结和累加法即可求证. 【详解】（1）若，则由题对恒成立， 因为， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 所以实数的取值范围为：. （2）证明：由（1）可得对恒成立，且当且仅当时， 所以，即， 所以 . 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $数列复习题2 1.(2026广东惠州二模)已知数列an}的前n项和为Sn=n2+n (1)求{an}的通项公式： ,数列的前项和为，若工<求的最大馆 1 (2)设b,=2 15 2.(2025广东梅州一模)在公差不为0的等差数列{an}中，已知a,42,a成等比数列，a2m=2an+1n∈N) (1)求数列an}的通项公式： （Q洁数列6满远么=sm0+oa小，求数列6的前2a顶和： 2an+n-1,n为奇数， 3.(2025甘肃白银模拟预测)已知数列an}满足a=1，a1= a,2”n为偶数， 1 记bn=a2n· (I)证明：数列{b}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)设c,=(2n-1b.,求数列cn}的前n项和S· 4.已知函数f=nx+k∈R) (1)若x∈(0，+oo),f(x)≥1，求实数k的取值范围； (2)证明： 1+1 0+m+2f+。<1n2neN 2n 2