重庆市第八中学校2026届高三考前适应检测数学试题

**基本信息** 重庆八中高2026届三模数学试卷，以圆锥灯罩制作、乒乓球比赛等真实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，适配高考模拟需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、三角函数等|第4题结合圆锥制作考查空间观念，体现数学眼光| |多选|3/18|向量、函数性质、抛物线|第10题探究函数奇偶性与零点，培养推理意识| |填空|3/15|统计百分位数、三角函数最值等|第14题正四面体动态问题，发展空间想象| |解答|5/77|解三角形、立体几何、概率分布等|第17题工厂零件生产问题，用数学语言表达现实；第19题导数与不等式证明，提升逻辑推理|

重庆八中高2026届5月适应性月考（七） 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.试卷由"整理排版。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合则= A.{5} B.{4,5} C.{3,4,5} D.{2,3,4} 2.已知复数z满足z(1+2i)=5,则|z|= A. B. C.1 D. 3.已知且则 A.-5 B. C. D.5 4.小明在一张半径为5dm的圆形竹编中，剪出一个半径为5dm的扇形用以制作圆锥状灯罩，如图若灯罩的径深(顶点到底面的距离)为3dm，则需要用到的材料面积至少为 A. B. C. D. 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制(当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6(没有平局)，且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为 A.0.16 B.0.36 C.0.48 D.0.52 6.已知圆C与直线x+y-6=0和圆(都相切，当圆C的半径最小时，其标准方程为 A. B. C. D. 7. 已知函数若f'(1)=0,且f(1)不是f(x)的极值,则 A.a+b>0 B.a+b=0 C.ab≥3 D.ab=-3 8.已知数列的前n项和为,=1且则对∀n∈N₊ A. B. C.存在常数M，使得 D.存在常数m，使得 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知向量m=(3,2),n=(2,a),则 A.当m∥n时, B.存在a∈R,使|m+3n|=7 C.当a=2时，m在n方向上的投影向量为 D.当m与n的夹角为锐角时， 10.已知函数则 A.∃a∈R,使得f(x)为偶函数 B.∃a∈R,使得f(x)存在零点 C.∀a∈R,f(x)为增函数 D.∃a∈R,使得f(x)的最小值为0 11.已知抛物线的焦点为F，直线l1交C于A，B两点，交y轴于点E，直线l2与C相切于点D,且l1∥l2,O为坐标原点,若A,F,D三点共线,则 A. B.△AEF为等腰三角形 C.与x轴垂直 D.△ABD面积的最小值为16 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位:环)如下:5,5,5,6,7,7,8,9,9,9,这组数据的第30百分位数为________.. 13.函数f(x)=sinx-sin2xtanx的最大值为________. 14.在空间直角坐标系O-xyz中，正四面体ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，若OD的最大值为1，则该四面体的棱长为________.. 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 在△ABC中, (1)求边AB的长; (2)若AC=5,AD⊥BC于点D,BC的中点为E,求线段DE的长. 16.(本小题满分15分) 如图,在多面体ABCDE中,AC⊥BC,AC=BC=2,AE=CE=,BD=1,且BD⊥平面ABC,平面ACE⊥平面ABC. (1)求点D到平面ACE的距离; (2)求平面ACD与平面ACE所成角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数V∈{1，2，3，4，5}，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行. (1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值； (2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的方程; (2)椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方.射线AP,BP分别交于点R,S,直线PF交于另一点Q. (i)求直线AR与BQ的斜率之比 (ii)若△PAB与△PRS的面积相等,求直线AS的斜率k(k>0). 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)若f(x)在[0,+∞)内单调递增,求a取值范围; (2)记 (i)对任意实数x和正整数k，fₖ(x)≥0,求 (ii)若,集合集合M，N为A的子集，它们各有n个元素，且M∩N=.设且证明： 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 C A D B C A B D 【解析】 1.对于集合A 即x(x-3)≤0且x≠3，所以A=[0,3),故(CA)∩B={3,4,5}, 故选C 故z仁 5 5 2.z= 1+2i’ 1+2i√5 =5,故选A. 3.snu+勇-号则i+-子，结合-得-0 3 tana sinacosB tan B cosasin B =5,故选D, 4.即求圆锥形灯罩的侧面积，该圆锥的高为3dm,则底面半径为4dm,则侧面积为 S=4×5×π=20mdm2,故选B. 5,只进行两局比赛结束的概率为0.62+0.42=0.52，则两人进行第三局比赛的概率为 1-0.52=0.48,故选C. 6.设西C的半径为，2+2≥"2，即产E,取等时，知图， √2 圆心在过(1，-1)的直线x+y-6=0的垂线段上，即在y=x-2上， 设C(t,t-2),则Vt-1)+(t-2-(-1)2=√2+r=22,解得t=3, 故选A. 图1 7.f'(x)=3x2+2ax+b,由题意，')=3+2a+b=0且△=4a2-12b=0,联立解得 a=-3,b=3,故选B. 8由题意，由4=1，当≥2时，S=4+4<4u,-1,则4>号，另一方面，S,<4S-S) 即38>451，则+1>6+，8+1>6+ (Sn2+1>…> + 当m=0时，Sn>m,故选D. 数学参考答案·第1页（共7页） ■■口■■口■口 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AD ABD BCD 【解析】 4 9.对A,m/n,则3a=2×2=4,解得a=3,A正确：对B,m+3n=(9,2+3@),若m+3n7, 则81+4+9a2+12a=49,即3a2+4a+12=0,△=16-144<0，故不存在a∈R,使 |m+3n=7,B错误；对C,当a=2时，m=(3,2),n=(2,2),m在n方向上的投影向 量为m”×”=5 )nXm4”,C错误：对D,当m与n夹角为锐角时，mn>0且m,n不共 线，博6+2a>0且a*行，解得a(3引川管+小D正痛， 故选AD 10.对A,若f(x)为偶函数，则f(-x)=2-|-x-a-a= g)=2划 f(x)=2-lx-a|-a,即|x-a月x+a,则a=0时， f(x)为偶函数，A正确：对B,当a=2时，f(x)= h(x)=x-a+a 2-（x-2+2)=0,当x∈(0,2)时，y=2单调递增， yx-2|+2=4-x单调递减，因此f(x)在x∈(0,2)上单 图2 调递增，又f(0)=-3<0,f(2)=2>0,由零点存在定理，f(x)在x∈(0,2)时必然存在 零点，B正确；对C,a=2时，f(4)=16-8=8:f(-3)=1<f(-4),故f(x)不是单调 递增函数，C错误；对D,设g(x)=2,h(x)x-a+a,则f(x)=g(x)-h(x),在坐标 系中作出g(x)和(x)的图象，则h(x)的图象是yx向上和向右分别移动a个单位形成. 如图2所示，当g(x)与h(x)的图象在第二象限相切时，f(x)的最小值为零.D正确，故选 ABD 11.对A,如图3所示，F(0,),设直线AD:y=+1,A(x,)》 D(x2,y2),B(x,y3),联立直线与抛物线，得x2-4x-4=0, 故x+x2=4k,xx2=-4,因此OA.OD=xx2+y2= (K2+1)xx2++x2+1=-4(k2+1)+4k2+1=-3,A错误： 图 数学参考答案·第2页（共7页） ■■口■■口■口 对B,由于少= 所以直线，的斜率为专，则：y-y=之 (x-x),令x=0,得 E0,片- 2 即E(0,片+2)，则|EF月+I,由抛物线定义，AF=y+1,故 EF曰AF|,所以△AEF为等腰三角形，B正确：对C,由上述假设，可知 尔y=竞x+2+%,与抛物线联立，可得：-28-4奶=0，所以写+=2年， xx=-8-4因此乃+为=x号+4+2即DA+DB=(x-x,片-)+ (x-2,3-y2)=(0,+-22)，所以DA+DB与x轴垂直，C正确；对D, 4:y空x+2+,4:y=之-车，由C可求得8中点月 所以 2 4 +2+川 22 6-D2-x+2+男-⅓上4+32+16x×年+2+ 1 44 4 居++8×G++8)i6+16≥16、敢D正确，故选BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 5.5 8 5-1 【解析】 12.10×0.3=3,将数据从小到大排列后，这组数据的第30百分位数为第3个与第4个数的 平均数：5.5. =sinx-sin 2xtanx=sinx-2sin'x=sin x(1-2sinx)sinx 4 14.如图4将正四面体ABCD补齐为正方体，设正方体的边长为a,则 原点O即在以AB为大圆直径的球M上.如图所示，当O为射线 DM与球的外侧交点时，OD取得最大值1，此时 0D=6+ 2 2a=1→a= 2 6+万，正四面体的边长为 V2a=22 V6+V5 =V5-1. 图4 数学参考答案·第3页（共7页） ■■口■■口■口 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为A∈(0，)， 所以sinA=-cosA-22 …(2分) 3 由正弦定理：AB.sinA=BC.sinC=22, 所以AB=3. …(5分) (2)由余弦定理：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·C0SA=24, 所以BC=2N6: …(8分) 因为△1BC的面积为S=40.4C,sm44D.BC, 所以AD=4B·AC·sin45V3 …(10分) BC 3 勾股定理：BD=√AB-D- 3 所以DE=BC-BD=2N6 …（13分) 3 16.(本小题满分15分) (1)证明：由平面ACE⊥平面ABC,且交线为AC,又AC⊥BC, 所以BC⊥平面ACE. 由BD⊥平面ABC,所以BD∥平面ACE, 则点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即BC的长， 故点D到平面ACE的距离为2. …(5分) (2)解：分别取AC、AB的中点O、F,连接OE,OF,由AE=CE=√5，所以OE⊥AC, OE⊥平面ABC. 又OF∥BC,所以OF⊥AC. 以O为原点，OA所在直线为x轴，OF所在直线为y轴，OE所 在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图5，… (8分) 则A(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,2,1),F(0,1,0), 图5 取平面ACE的法向量m=OF=(0,1,O). …(10分) 设平面ACD的法向量i=(x,z),AC=(-2,0,0),CD=(0,2,1), 数学参考答案·第4页（共7页） ■■口■■口■口 n·AC=0m「-2x=0 由 ncD=0'得 2y+2=0’故i=0,1-2, …（13分) 所以cos(m0=1=V5 155 故平面4CD与平面ACE所成角的余弦值 …（15分)） 5 17.(本小题满分15分) 解：(1)由题意，X~B10,0.), 故P(X=k)=C(0.9)0-(0.1), …………………（2分) PX=)-C60.9)0-*(0.1)_11-k PX=k-1)C(0.9y-(0.1)9k 今其大于1得>1，解得长<1 …(4分) 所以X最有可能为1. …(5分) (2)设生产一个零件的尺寸为Y,则Y的可能取值有0.5,1,1.5,2,2.5,3,4,5， ……………（6分) 1 1 1 X=05)Ex01-0;PX=x09+X0EPX15)01E 50 PX=2)=写x09+5x01-5PX=25)=01=0:Px=)=3x09=号 1 5 50 5 50 Px=-写x090:PK=5列=x099 …(14分) 0 其分布列为： Y 0.5 1.5 2 2.5 3 J 1-5 1 0 P 9 50 5 50 50 50 50 50 期望E(Y)=2.85 (15分) 18.(本小题满分17分) 解，（D由题应得e=日2=4，解得c=2a=4625. 故椭圆G的方程为云+片-1。 …(4分) 1612 数学参考答案·第5页（共7页） (2)(i)F(L,0),设直线PQ的方程为x=y+1, C:女+1联立得：6+4y+6-9=0 -6t -9 设P,(x,),则y+为=3+4=3+4' …(6分) yiy2 yiy2 VV 于是k0·k0G-2X5-2)0侧-0-)-10+为)+刊 -_9 9 -9r2+602+30+4=-4 31-1 4 3 又kAR·k即= (x+2)x-2)x2-4 ,故k3 …(10分) (i)由△PAB与△PRS的面积相等，得△ASR与△ASB的面积相等， 故有AS∥BR. 延长SA交C于点T,因为AS∥BR, …(12分) 由椭圆的对称性知，四边形ATBR为平行四边形，故人·k=kkp=-子 4 设直线AS方程为y=k(x+2),k>0, 与椭圆C,方程联立得：(4k2+3)x2+162x+16k2-48=0,△>0， 设S(x,)2T(x4,y4), 则x3+x4= -16k2 16k2-48 42+3’专x 4k2+3 yy4 3 故km·ks6K-2-24' 得4(x+2k)x4+2k)+3(x3-2)(x4-2)=0, 得(4K2+3)xx4+(8k2-6)(x3+x4)+16k2+12=0, 得16k2-48-16(8x20+16k2+12=0, 4k2+3 解符6}及 …(17分) 2 19.(本小题满分17分) (1)解：函数f(x)=e-ax+x2,则f'(x)=e-a+2x, 由于f(x)在[0，+o)内单调递增，有f'(x)mm=f'(0)mm=1-a≥0→a≤1. 故a取值范围为a∈(-o,]. …(4分) 数学参考答案·第6页（共7页） ■口■■口■口 (2)(i)解：当a=1时，结合(1)， 当x<0时，(x)<0,f(x)单调递减：当x>0时，f(x)>0,f()单调递增， 所以f(x)的最小值为f(0)=na-a+1=0 设)=nx-x+1,)=1-1=1=x 当0<x<1时，h(x)>0;当x>1时，h(x)<0 所以h(x)在(0，)上单调递增：在(1，+∞)上单调递减， …(7分) 所以h(x)≤h(I)≤0，当且仅当x=1时取等号， 所以a=1k=1,2,,m),所以∑(a+1)=2n. …(9分) k=1 (i)证明：结合(i)f(x)中的单调性，以及lna一a<-l, 得到f(x)有两零点c,d,不妨设c,<0<d,下证c,+d,<0. 而M,N为A的子集，它们各有n个元素，且M∩N=☑， 则A至少有2n个元素. …(11分) 而A的元素只可能在c,d,c:d2,,C,dn之中，这表明它们两两不等 且M={C,c,Cn,d,d,,dn},所以A包含n个正数，n个负数 而M,N为A的子集，它们各有n个元素，且M∩N=☑，则MUN=A. 设M包含k个负数，n-k个正数，则N包含n-k个负数，k个正数， 因为x<x2<…<xn,y>2>…>yn, 所以x<2<…<xk<0<k1<…<xn，乃>y2>…>yk>0>y+>…>n, 从而∑xy<0. …(13分) 设g(x)=e-x+x2,则g(c)=g(d), 设h(t)=g()-g(-)=e-e-2t,则h(t)=e'+e'-2≥0， 所以h(t)单调递增，所以h()mn=h(O)=0, h(d)=g(d)-g(-d)≥0→g(d,)≥g(-d). 又因为g(c)=g(d),所以g(c)>g-d). 由(i)知，g(x)在(-0,0)上单调递减，故c,<-d,即c,+d,<0, 所以∑（化+y)=x+x2++xn+以+2++y =6+6+…+c+d+d++d-立+d)20=0, 所以 +2X0+2)=2y+2+2+4-2别+22++24<0+0+4=n (17分) 数学参考答案·第7页（共7页）