第4章《三角形》章节复习题- 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第4章《三角形》章节复习题 一、选择题（共10题，每小题3分，合计30分） 1.已知三角形三条边的长分别为3、5、x,则x的值可能是() A.2 B.5 C.8 D.11 2.如图，小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起，记中点为0，即 AO=CO,B0=D0.测得C,D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上 A4,B两点之间的距离，图中△AOB与△COD全等的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 3.如图，已知△ADC≌△AEB,AB=8,CE=5,则AE的长度为(). A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，在△ABC中，直线1∥BC,若∠1=65°，LB=45°，则∠A的度数为() A.60° B.65 C.70° D.75 5.如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的 依据是() A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS 6.如图，在等腰三角形ABE中，AB=AE,点D为AE右侧一点，连接AD,BD,DE,点C是 BD上一点，连接AC,AC=AD,若∠BAE=∠CAD,∠1+∠2+∠3=100°，则∠3的度数为() E A.60 B.55° C.50° D.45° 7.如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则∠1与∠2的大小关系为() A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 C.∠1>∠2 D.无法比较 8.如图，用一种简易的测距工具测量地面上点A与点B的距离（两点之间有障碍无法直接测 量)，在点B处立垂直于地面的杆PB,并将顶端的活动杆PC对准点A(点A在射线PC上)，固 定活动杆与竖杆PB的角度后，转动工具至空地处，标记活动杆PC'的延长线与地面的交点D, 测得点B,D之间的距离为25m,则点A与点B的距离为() D A.12.5m B.25m C.30m D.50m 9.如图，BM是△ABC的中线，CD⊥BM,过点B作AB的垂线交DC延长线于点E,若AB=BE, MD=1,则CE的长是() E M A B A.3 B.2.5 C.2W2 D.2 10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，LBAF=LCAG=90°，AB=AF,AC=AG,连接FG, 交DA的延长线于点E,连接BG,CF.则下列结论：①BG=CF;②BG⊥CF;③EF=EG;④ BC=2AE,其中正确的有() G B D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（共9题，每小题4分，合计36分) 11.等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 12.已知△ABC≌△DEF,△ABC的三边长度为4、x+y和2x,△DEF的三边长度为6、x、 x+2y,则△ABC的周长是 13.如图，a+B= 人409 BA 14.如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度 相等)为5cm,则两面墙之间的距离EF的长为 cm C 15.如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长AB为6.8米，高BC始终与水平地面垂直，现 有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面EC推送至重心处在适当位置时， 无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱.此时，正方体货物点H到直线BC的距离为1米， 则正方体货物点G到直线AD的距离为米. D )C 16.如图，在△ACD中，∠ADC=90°，AD=CD,延长CD到点B,连接AB,在AD上找一点F, 延长CF交AB于点E,若CE1AB,AD=5,△ACF的面积为7.5，则BD的长为 D I7.如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC=a,AC=b,若a,b满足 a2-8a+b2-14b+65=0,则CD的取值范围是 B 18.如图，在RtAABC中∠ACB=90°，AC=BC,直线1经过点C,过A作AD⊥1，垂足为D,过 B作BE⊥I,垂足为E. (1)若AD=7,DE=3,则BE的长为； (2)在(1)条件下，点M为边AD上一点，连接CM,过点C作CN⊥CM,且CM=CN(点N 在直线1的上方)，连接BN交直线1于点F,若Sv=45,则DF的长为一· E B 三、解答题（共6题，合计54分） 19.(6分)“燕尾脊”是闽南传统建筑最具代表性的屋顶形式，如图是小明设计的一个“燕尾” 平面图案，已知AB=AC,BD=CD.求证：LB=∠C /D 20.(6分)用直尺和圆规，按照下面要求作出△ABC. B —B B C 21.（10分)在作∠A0B的平分线的过程中，阿天用了如下的办法：①以0为圆心，任意长为 半径画两条弧，分别与OA、OB交于点E、F,G、H;②连接EH、FG交于点P;③作射线 OP.请证明阿天作图的正确性. E G H 22.(10分)如图，某数学小组想要测量倾斜的树OP的长，设计了如下方案：①在点P的正 下方地面1上取一点Q,测得0Q的长；②在OP上取一点M,使OM=OQ;③过点M作 NM⊥OP交地面1于点N;④测得OW的长就是OP的长.（假设所有的点都在同一平面内.） (1)请你说明这样设计的理由； (2)设PO与MN交于点K,求证：PK=NK. D K N地面l 23.(10分)在△ABC中，AB=AC, (1)如图1，∠BAC=90°，E为BC上一点，BD⊥AE于点D,CF⊥AE于点F,BD=12, AF-CF=7,求AD的长； (2)如图2，点D、E分别是AB、BC上一点，连接AE、CD交于点F.点G是AE上一点， 连接BG,若∠1=∠2=LBAC,且CE=BE,Sc=12,求△ABG与△CEF面积之和， D E B 24.(12分)八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你 和他们一起参与本次探究活动吧. 【探究与发现】 (1)如图1，在△ABC中，AD是△ABC的中线，小聪同学表示：延长AD至点E,使ED=AD, 连接BE,就可以求证△ADC≌△EDB,请你帮助他写出证明过程. 【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题： (2)请你运用如图2，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F,且 AE=EF,求证：AB=CF; (3)如图3，CD是△ABC的中线，且AB=BE=AC,求证：CE=2CD. A E D E B D CE B D A 图1 图2 图3 参考答案 一、选择题 1.B 解：三角形的三边长分别为3，x,5, ∴.5-3<x<5+3, 即2<x<8, 故选B. 2.B 解：在△AOB与△COD, AO=CO .{∠AOB=∠COD, BO=DO ∴.△A0B≌aCOD(SAS), ∴△AOB与△COD全等的依据是SAS, 故选：B 3.B 解：，△ADC≌△AEB, ∴.AC=AB=8, ∴.AE=AC-CE=8-5=3. 故选：B 4.C 解：.I∥BC, ∴.∠C=∠1=65°， .LB=45°， .∠A=180°-65°-45°=70°. 5.A 解：已知该三角形为直角三角形，且露出了一个锐角、直角以及这两个角所夹的一条边. A选项(ASA): ,图中露出了直角、一个锐角，以及这两个角所夹的一条边，满足两角及其夹边对应相等的条 件 ∴.可以依据ASA判定全等，故A项正确，符合题意. B选项(AAS): ,图中未提供两角及其中一角的对边的信息，不满足AAS的判定条件 .不能依据AAS判定全等，故B项错误，不符合题意. C选项(SAS): ,图中未提供两条边及其夹角的信息，不满足SAS的判定条件 .不能依据SAS判定全等，故C项错误，不符合题意 D选项(SSS): ,图中未提供三条边的信息，不满足S$S的判定条件 ∴.不能依据SSS判定全等，故D项错误，不符合题意 故选：A 6.C 解：：LBAE=LCAD, ∴∠BAC=∠2， 在△ACB和ADE中， AB=AE ∠BAC=∠2， AC=AD △ACB≌△ADE(SAS, ∠1=LABC, :∠3=∠BAC+∠ABC, L3=∠1+2， :∠1+∠2+∠3=100°， .∠3=50°， 故选：C. 7.C 解：如图，EF=BC=1,DF=AC=2,∠DFE=∠ACB=90°， D F .△DFE≌△ACB(SAS), ∴∠DEF=∠1， ∠2在∠DEF的内部， .∠1>∠2. 故选：C. 8.B 解：由题意可得：LBPC=LBPC',PB⊥AD,BD=25m, 即∠BPA=∠BPD, .∠PBA=∠PBD=x180°=90°， 2 △PBA≌△PBD(SAS), ∴.BA=BD=25m, ∴.点A与点B的距离为25m; 故选：B; 9.D 解：如图所示，过点A作AH⊥BM,交BM的延长线于点H, H 、M ,CD⊥BM,AH⊥BM, .∠AHM=∠CDM=∠CDB=90°； ,BM是△ABC的中线， ∴.AM=CM, 又，LAMH=LCMD, ∴.△AMH≌aCMD(AAS), ∴.AH=CD,HM=DM=1, ∴.DH=DM+HM=2; BE⊥AB,即∠ABE=90°， .∠DBE+∠DEB=∠DBE+∠HBA=90°， ∴.∠DEB=∠HBA, 又：AB=BE, .∴.△DEB≌△BA(AAS), ∴.AH=BD,DE=BH, .'CD =BD, ∴.DE-CD=BH-BD, ∴.CE=DH=2, 故选：D. 10.D 解：∠BAF=∠CAG=90°，LBAF+∠BAC=LBAC+LCAG, .∠CAF=LGAB, 在△CAF与△GAB中， AF=AB ∠CAF=∠GAB, AC=AG ∴.△CAF≌AGAB(SAS), ∴.BG=CF,故①正确， ,△CAF≌△GAB, ∴.∠FCA=∠BGA, 如图，记BG,AC交于点H,BG,CF的交点为K, G E A H B ZAHG ZCHK, .∠HAG=∠CKH=90°， ∴.BG⊥CF,故②正确， 过点F作FM⊥AE于点M,过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N, N E K B D .∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°， ∴.∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°， ∴.∠BAD=∠AFM, 又AF=AB, .∴.△AFM≌△BAD(AAS), ∴AM=BD,FM=AD, 同理△ANG≌ACDA(AAS), ∴.NG=AD,AN=CD, .FM =NG FM⊥AE,NG⊥AE, ∴.∠FME=∠ENG=90°， .∠MEF=∠NEG, ∴.△FME≌△GNE(AAS), ∴.EF=EG,EM=EN, .'BC=CD BD=AN AM AE EN AE-EM 2AE 故③正确，④正确. 二、填空题 11.7 解：当3为腰长时，第三边长为3,3+3<7，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7,3+7>7，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7. 12.18 解：，△ABC≌△DEF,根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： x=4 情况1：列方程组6=x+y x+2y=2x x=4 解得 y=2 此时△ABC的三边长为4，x+y=6,2x=8,满足三角形三边关系，符合题意； x=4 情况2：列方程组{2x=6 ,由2x=6得x=3,与x=4矛盾，舍去； x+2y=x+y x=2x 情况3：列方程组{6=x+y, x+2y=4 由x=2x得x=0,边长不能为0，不符合题意，舍去； x=x+y 情况4：列方程组2x=6, x+2y=4 由x=x+y得y=0,则x+2y=x=4,此时2x=2×4=8,这与2x=6矛盾，舍去， 故△ABC的周长为4+6+8=18. 13.140° 解：由三角形内角和定理可知，a+B=180°-40°=140°. 故答案为：140°. 14.45 解：BE⊥EF,DF⊥EF,LBCD=90°， ∴.LBEC=∠BCD=∠DFC=90°， ∴.LBCE=90°-LDCF=LCDF, BC=CD, ∴.△BCE≌aCDF(AAS, ∴.CF=BE=3×5=15(cm,CE=DF=6x5=30(cm）, ∴.EF=CF+CE=45cm), 故答案为：45. 15.5.8 解：分别过点H、G作HF⊥BC,GP⊥BC,垂足为点F、P,连接GH,交BC于点O,如图所示： A B H G ∴.∠HF0=∠GP0=90°， 根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O, .∴.0H=0G, ∠HOF=LGOP, .△HFO≌GPO(AAS), ..GP =HF =1m 由题意可知AD∥BC,AB=6.8m, ∴正方体货物点G到直线AD的距离为6.8-1=5.8m; 故答案为5.8. 16.2 解：由题可知AD=CD=5, S.ACF =AF.CD=7.5, :AF=2×75-=3, 5 DF AD-AF =2, :CE⊥AB, ∠AEF=90°， :∠ADC=90°， .∠AEF=∠ADC, :∠AFE=LCFD, ∠BAD=LDCF, 在△ABD和△CFD中， ∠BAD=∠DCF AD=CD ∠ADB=∠CDF :△ABD≌△CFD(ASA, :BD DF =2, 故答案为：2. 17.<c 2 解：已知等式整理得：a2-8a+16+b2-14b+49=0, 即(a-4)2+(b-72=0, (a-4)2≥0，(b-72≥0， ∴.(a-4)2=0,(b-7)2=0 ∴.a-4=0,b-7=0, 解得：a=4,b=7, ∴.BC=4,AC=7, 延长CD到E,使DE=CD,连接AE, b a E CD为AB边上的中线， .BD AD CD=ED 在△BCD和△AED中， ∠CDB=∠EDA. BD=AD ∴△BCD≌aAED(SAS), ∴.AE=BC=a, 在△ACE中，AC-AE<CE<AC+AE, .AC-BC 2CD<AC+AE, :4C,BC<CD<4C+BC」 2 2 ·3 11 2CD<2 3 改答案为：)<CD<, 18. 4 4-√5 解：∠ACB=90°，LADC=∠BEC=90°， ∴.∠ACD+LCAD=90°，∠ECB+LCBE=90°，LACD+LECB=90°， ∴.LACD=LCBE, 在△ACD和△CBE中， [∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠CBE AC=CB .△ACD≌aCBE(AAS), ∴.AD=CE,CD=BE, 又AD=7,DE=3, .BE CD=CE-DE=7-3=4 如图，过点N作NG⊥I交直线1于点G, A E B .NC⊥CM,NG⊥CD, .∠NCM=90°，LNGC=90°， ,∠CNG+∠NCG=90°，∠WCG+∠DCM=90°， ∴.∠CNG=∠DCM, 在△CNG和△MCD中， [∠NGC=∠CDM ∠CNG=∠DCM, CN=CM .△CNG≌AMCD(AAS), ∴.NG=CD=4, SANCF +SABCF=SACON “}cF4cr4=46,解得CP-, ∴.DF=CD-CF=4-5. 三、解答题 19. 解：证明：连接AD, D 在△ABD和△ACD中， 「AB=AC .BD =CD. AD=AD △ABD≌△ACD(SSS) .LB=∠C. 20. 解：如图：△ABC即为所求 BB- c M B 21. 解：证明：由作图可得，OE=OG,OH=OF, 在△EOH与△GOF中， OE=OG ∠EOH=∠GOF, OH=OF △EOH≌△G0F(SAS), ∠0HE=∠0FG, .OH =OF,OE=OG, :EF=GH 在△EPF与△GPH中， ∠EFP=∠GHP ∠EPF=∠GPH, EF =GH :△EPF≌aGPH(AAS), :HP=PF, 在△OPF与△0PH中， [OF=OH OP=OP FP=PH △OPF≌aOPH(SSS), ∠AOP=∠BOP, 即OP为∠AOB的平分线. 22.(1)解：由图可知：∠MON=∠QOP, .OM=OQ,∠NM0=∠PQ0=90°， ∴.△NM0≌△PQ0, .0N=0p; (2)证明：，'△NMO≌△PQ0, ∴.OQ=OM,ON=OP, ∴.ON-O0=OP-OM,即ON=PM, .∠KQN=∠KMP=90°，∠NKQ=∠PKM, .∴.△KNQ≌△KPM, ∴.PK=NK; 23.(1)解：：LBAC=90°，BD⊥AE,CF⊥AE, ∠BAC=∠BDA=∠AFC=90°. :∠BAD+∠FAC=90°，LBAD+LABD=90°， .∠FAC=∠ABD. :AB=AC, △ABD≌△CAF, :BD=AF =12,AD CF. AF-CF =7, CF=12-7=5, :AD=CF=5. (2)解：：∠1=∠BAG+∠ABG,L2=LCAF+LACF, 又：∠1=L2=LBAC,LBAC=∠BAG+LCAF, ∠ABG=∠CAF,LACF=∠BAG. :AB=AC, :△ABG≌△CAF, ∴.SAABG+S△cEr=S△cHF+S△cEF=S△HCE. CE-3BE,SAme=12, 2 3 :.CE =BC, 3 .S0E=5S△8c526 5 24.(1)证明：：AD是△ABC的中线，延长AD至点E, 使ED=AD, :BD =CD 在△BDE和ACDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA, ED=AD △BDE≌△CDA(SAS); (2)证明：在△ABC中，AD为中线，如图2，延长AD至点G,使GD=AD, A E F B D 图2 G :BD=CD 在△BDA和△CDG中， BD=CD ∠BDA=∠CDG, GD=AD :aBDA≌CDG(SAS), AB=CG,LBAD=∠CGD, AE=EF,.LEAF=∠AFE, ZAFE ZDFC :ZCFG=ZCGF CF=CG=AB,即AB=CF; (3)证明：CD是△ABC的中线，如图3，延长CD至点G,使GD=CD, C B D A 图3 G .BD AD 在△BDC和△ADG中， BD=AD ∠BDC=∠ADG GD=CD △BDC≌△ADG(SAS), ∠DBC=LDAG,BC=AG, :AB=AC, ∠ABC=LACB, ∠ABC=∠ACB=∠DAG, :∠CBE是△BCE的一个外角， :∠CBE=LACB+LBAC, ∠CAG=∠DAG+LBAC, :ZCBE ZCAG 在△BEC和△ACG中， BC=AG ∠CBE=∠CAG BE=CA △BEC≌△4CG(SAS), ·CE=CG=2CD,即CE=2CD.