精品解析：湖北黄冈市浠水县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

浠水一中2026年春季高一年级期中质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得虚部. 【详解】由题意可得：， 所以复数的虚部为2. 故选：D. 2. 已知向量，，若与的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求得，然后计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：B 3. 在 中，角的对边分别为，若，，则 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 4. 已知 的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】由 有两解，得即解得， 故选：A． 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对称轴的求法求得正确答案. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 所得函数图象的解析式为， 再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 所得图象的函数解析式是. 令，则，当时，. 故选：C 6. 如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，利用余弦定理求得. 【详解】在三角形中，， ， 由正弦定理得， ， 在三角形中，， 所以，所以， 由余弦定理得海里. 故选：B 7. 设函数，， ，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得的一条对称轴和一个对称中心，利用正弦函数的性质可得，再结合条件，即可求解. 【详解】由，则是的一条对称轴， 由，得到，所以是的一个对称中心， 即是的一个对称中心，所以，即， 又在区间上具有单调性，则，得到， 所以，故的最小正周期为. 8. 已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取线段 的中点 ，建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标公式结合二次函数即可求值域． 【详解】取线段 的中点 ，连接，则， 以点 为坐标原点， 、所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以， 故， 又，所以 设，则， 所以，， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为， 所以，， 故 ，D对. 故选：BD. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 向量，能作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量，满足：，则与的夹角为 【答案】AD 【解析】 【分析】把平方，由数量积的运算与性质判断A，确定是否共线判断B，根据投影向量的定义求出投影向量判断C，根据向量的加减法法则（作出相应的图形）判断D． 【详解】A．由得，即， 所以，是非零向量，因此它们共线且反向，A正确； B．由于，它们共线，不能作为平面内的一组基底，B错误； C．向量在向量上的投影是，与向量同向的单位向量为， 因此所求投影向量为，C错误； D．如图，，，作平行四边形， 则，， 由得是等边三角形，四边形是菱形， 所以，D正确； 故选：AD． 11. “费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点. 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中， ，，点 为 的费马点，则（ ） A. B. C. D. 在上的射影向量为， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，结合余弦定理，可判定A正确；再求得，进而得到，证得，求得，可判定C正确；设，在中，由余弦定理列出方程，求得，结合向量的数量积的运算公式，可判定B；由余弦定理求得，作，求得，进而可判定D正确. 【详解】因为， 由正弦定理得，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以，所以A正确； 又由且， 可得，解得， 由正弦定理可得，可得， 所以，所以 为直角三角形，且 所以点满足， 如图所示，因为，可得， 又因为，所以， 所以，所以， 可得，所以C正确； 设，则， 在中，由余弦定理得，解得， 所以， 所以，所以B错误； 在中，，由余弦定理，求得， 过点作，垂足为 ，可得， 所以，所以在上的射影向量为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】借助向量坐标运算与垂直性质计算即可得. 【详解】，则， 整理得，故. 13. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由三角函数的定义可知，， 则 ， 所以，解得或（舍去）， 则． 14. 某学习小组在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC的三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，且△ABC外接圆的半径为2，则______；若，且，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，利用和差角以及二倍角公式，结合三角函数的性质即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 在中，， 同理在中可得， 所以 ， 由于三角形为锐角三角形，所以，解得， 故，，所以， 进而，故，所以 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中 （1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数 的取值范围； （2）若是纯虚数，求的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用“第一象限”对应实部、虚部都大于； （2）利用“纯虚数”对应实部为且虚部不为，先求出 ，再代入模的运算公式即可. 【小问1详解】 因为在复平面内对应的点位于第一象限， 所以， 由得 又此时 从而成立，故实数 的取值范围为 【小问2详解】 因为是纯虚数，所以且 解方程得 所以又因为纯虚数的虚部不能为， 故所以因此 于是 其中 所以 16. 在锐角 中，角的对边分别为，，，且. （1）求角 的大小； （2）若，，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知：，又因为，， 由余弦定理，即， 解得， 所以 面积为. 17. 如图，在 中，已知CA=1，CB=2，． （1）求|AB|； （2）已知点D是AB上一点满足，点E是边CB上一点，满足．是否存在非零实数入，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在；． 【解析】 【分析】（1）由于，则化简计算即可， （2）假设存在非零实数，使得，则由题意可得，， 再由可得，化简可求得答案 【详解】（1）∵，且，，， ∴ （2）假设存在非零实数，使得， 由，得， ∴， ∵， ∴ ∴ =， 解得或λ=0（不合题意，舍去）， 即存在非零实数，使得 18. 在 中，设角所对的边分别为，已知且. （1）求角 ； （2）若，求边 上的角平分线 的长； （3）若 为锐角三角形，求边 上的中线 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角 ，求得角 的范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. 【小问2详解】 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. 【小问3详解】 由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为 是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 19. 已知 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，求当且时，的值; （2）设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）和 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解； （2）利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解； （3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得：， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. 【小问3详解】 ， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水一中2026年春季高一年级期中质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知向量，，若与的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 在 中，角的对边分别为，若，，则 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 4. 已知 的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 设函数，， ，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 向量，能作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量，满足：，则与的夹角为 11. “费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点. 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中， ，，点 为 的费马点，则（ ） A. B. C. D. 在上的射影向量为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则___________． 13. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________． 14. 某学习小组在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC的三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，且△ABC外接圆的半径为2，则______；若，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中 （1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数 的取值范围； （2）若是纯虚数，求的模. 16. 在锐角 中，角的对边分别为，，，且. （1）求角 的大小； （2）若，，求 的面积. 17. 如图，在 中，已知CA=1，CB=2，． （1）求|AB|； （2）已知点D是AB上一点满足，点E是边CB上一点，满足．是否存在非零实数入，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 18. 在 中，设角所对的边分别为，已知且. （1）求角 ； （2）若，求边 上的角平分线 的长； （3）若 为锐角三角形，求边 上的中线 的取值范围. 19. 已知 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，求当且时，的值; （2）设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $