4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.3.2《等比数列的前n项和公式》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：灵活运用等比数列的前n项和公式解决实际问题，能综合运用等比数列的概念、通项公式和前n项和公式解决复杂情境下的问题，体会等比数列与指数函数的关系以及数学模型在现实中的应用. 课标分析： 本节课是等比数列前n项和公式的深化应用.课标强调“灵活运用”和“综合运用”，教学中应从实际问题（如贷款还款、球体弹跳路程、数列分组求和等）入手，引导学生分析问题中的等比数列模型，选择合适的公式求解.重点在于将实际问题转化为等比数列模型，并正确运用公式；难点是复杂情境中公比与项数的确定、分段求和以及数列综合问题的处理.本节课对培养数学建模、数学运算和逻辑推理素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等比数列的前n项和公式（第2课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第3.2节的后续内容.教材在第1课时推导了公式并进行了基本计算训练，第2课时则聚焦于公式的实际应用和综合问题.教材通过例题（如球体弹跳路程、贷款分期还款、数列分组求和等）展示了等比数列求和公式在现实中的广泛应用，并引导学生分析数列中项数、公比等要素，体会数学建模的过程.本节内容是等比数列知识体系的综合，也是后续学习数列综合应用的基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及片段和性质，能够进行基本量计算.但是，在实际问题中，学生往往难以准确识别哪些量构成等比数列，对项数的判断容易出错（如弹跳问题中“经过的总路程”包括上升和下降）.此外，含参数的分组求和问题（如每一项由等差数列与等比数列乘积构成）需要综合运用多种求和方法，是难点.教师应通过典型例题、变式训练和小组讨论，帮助学生突破“建模”这一关键环节. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从实际情境中抽象出等比数列模型，识别首项、公比和项数. 1. 逻辑推理素养：能分析问题中的数量关系，合理选择公式，并能进行等价转化. 1. 数学运算素养：能熟练运用等比数列前n项和公式进行复杂的计算，能处理分组求和、错位相减等综合问题. 1. 数学建模素养：能将贷款还款、球体弹跳、人口增长等实际问题抽象为等比数列求和模型，并求解. 1. 数学语言素养：能准确表达实际问题中的数列模型，书写规范的求解过程. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：实际问题中等比数列模型的建立；等比数列前n项和公式的综合应用. 1. 难点：弹跳问题中总路程的项数判断；贷款问题中复利与等比数列的对应；分组求和与错位相减的灵活运用. 6、 教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1. 展示预习问题（口头或黑板）： （1）已知等比数列 中，，，则 ______. 答案：. （2）一个球从 米高处自由落下，每次着地后又弹起原高度的一半，则第 次着地时经过的总路程为______. 答案：（需讨论第一次着地后的弹起情况）. （3）数列 与 的对应项相加得到的新数列的前 项和为______. 答案：. 2. 请学生回答，教师点评并强调建模时的项数细节. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 等比数列的前n项和公式有哪两种情形？ (2) 学生回答：当 时，；当 时，. (3) 追问：除了基本计算，公式还能解决哪些实际问题？ 2.引入本课时的实际应用和综合问题. 环节三：合作探究 1. 实际应用：球体弹跳问题（5分钟） 教师展示问题：一球从 m 高处自由落下，每次着地后又弹回原高度的 ，求它第 次着地时经过的总路程（设 ）. 分析：第一次着地时路程为 m；第二次着地：先弹起 m（上升），再落下 m（下降），所以增加 m；第三次着地：弹起 m 再落下 m，增加 m；……. 因此，从第二次着地开始，每次着地增加的路程构成等比数列：，公比 . 第 次着地时的总路程为： . 特别地，当 时，，公式也成立（因为 ，）. 强调：要注意“第一次着地”与“第一次弹起”的区分，总路程是下落与上升之和. 2. 实际应用：分期付款与复利（5分钟） 教师以教材例10或例11为例（假设贷款问题）：某人贷款 元，月利率为 ，分 个月等额还清，每月还款 元.求每月还款额. 分析：贷款 元经过 个月，本息和为 .每月还款 元，第1个月还款 到第 个月本息和为 ，第2个月还款 本息和为 ，…，第 个月还款 本息和为 .所有还款的终值之和等于贷款终值： . 左边是首项为 ，公比为 ，项数为 的等比数列和，故 ，解得 . 教师可代入具体数值（如 万，，）计算每月还款额，让学生感受数学在金融中的应用. 3. 综合求和：分组求和与错位相减（5分钟） 教师设问：求数列 与 的对应项相加得到的新数列的前 项和. 解：新数列的通项 . . 强调：分组求和是处理“等差数列+等比数列”形式的常用方法. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：一弹性球从高处落下，每次弹起的高度是前一次高度的 ，若它第1次着地时经过的路程为 m，求第 次着地时经过的总路程. 解：第1次着地路程 ，第2次着地增加 ，第3次增加 ，第4次增加 . 总路程 . 括号内是首项 ，公比 ，项数 的等比数列和： . 所以 （m）. 答案： m. 例2：已知等比数列 中，，，求 和 . 解：由 ，当 时 ，故 . ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 或 . 当 时，；当 时，. 分别计算： 时，； 时，. 答案： 时 ； 时 . 例3：求数列 的前 项和，并求极限 时的和. 解：等比数列，，，. 当 时，，所以极限和为 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列说法正确的有（ ） A. 等比数列前n项和公式为 对任意 都成立 B. 弹性球弹跳问题中，第 次着地时的总路程 （设每次弹起高度为前一次的 ） C. 贷款等额本息还款的每月还款额公式为 D. 分组求和适用于形如 的数列，其中 为已知求和公式的数列 答案：B、C、D 解析：A错误， 时分母为0，需单独处理. 例5：已知数列 的前 项和 ，求 并判断数列类型. 解：. 当 时，. 检验 ：，所以 ，该数列从第2项起是等比数列（公比3），但整体不是等比数列. 注：此题型强调由 求 时需分段. 例6：设等比数列 的前 项和为 ，且 ，，求 . 解：由片段和性质， 成等比数列. ，，公比 （这里 ）. 于是 ， 所以 . 答案：273. 例7：某公司向银行申请贷款 万元，年利率为 ，计划用 年时间等额还清（每年年末还款一次，按复利计算），求每年应还款多少元？（结果保留整数） 解：设每年还款 万元. 贷款 万元到第 年年末的本息和为 . 每年还款的终值：第一年还款 到第 年末本息和为 ，第二年还款 到第 年末为 ，…，第10年还款 为 . 所有还款的终值之和等于贷款终值： . 计算 ，则 ， 所以 ⇒ 万元，即约 元. 答案：约 129500 元. 例8：求数列 与 的对应项相加得到的新数列的前 项和. 解：新数列 . . 等差数列前 项和 . 等比数列前 项和：. 所以 . 答案：（化简后）. . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 实际问题的建模步骤（确定首项、公比、项数，分清总路程是下降加上升）. (2) 贷款还款问题中的复利模型与等比数列求和. (3) 分组求和：将复杂数列分解为等差、等比数列的和. (4) 由 求 时注意 的情况. (5) 片段和性质的应用. 1. 教师强调： (1) 分析实际问题时要仔细，注意“第 次着地”与“第 次弹起”的区别. (2) 贷款问题中还款时间点与终值指数对应关系. 3.综合求和时，若数列通项形如“一次函数×等比函数”，需用错位相减法（下节课重点，这里可预告）. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第40页练习第1、2、3、4题；习题4.2第5、6、7、8题. (2) 配套课时达标检测《等比数列的前n项和（第2课时）》. 1. 拓展作业： (1) 以自己家庭为例，假设贷款购买某物品，设计一个还款计划，并用等比数列求和公式验证. 1. 预习引导： 预习下一节“数列求和专题”，重点掌握错位相减法、裂项相消法. 授课人个案修改记录： 本节课通过球体弹跳、贷款还款、分组求和等实际问题，学生逐步掌握了将实际问题转化为等比数列模型的方法.在弹跳问题中，学生最初容易忽略上升路程，通过画图和分析，纠正了错误.贷款还款问题的推导过程较为抽象，但代入具体数值后学生能够理解.分组求和练习强化了将复杂数列分解为简单数列的思想.不足之处：部分学生对于由 求 的分段形式理解不深，容易忘记检验 ；在贷款问题中，终值计算的指数表达式容易混淆，需要多举例.整体上，本节课达到了综合应用的教学目标. 学科网（北京）股份有限公司 $