4.3.2等比数列前n项和第二课时教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章数列 课题 4.3.2等比数列的前n项和公式(2) 授课时间 学科核心素养教学目标【课程标准】 1、 熟练运用等比数列前n项和公式的性质解决相关问题，深化对公式的理解。能在实际问题情境中识别等比数列关系，建立数学模型并求解，提升数学建模能力。 2、通过例题分析与练习，提高分析问题、解决问题的能力，强化数学运算素养。 3、通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，渗透德育目标：了解历史、尊重历史，尊重科学，提升学 生的数学建模和数学运算素养。 教学重点 等比数列前n项和公式性质的应用，以及等比数列在实际问题中的建模与求解。 教学难点 在实际问题中准确构建等比数列模型，处理含递推关系的等比数列综合问题。 教法 复习回顾法、问题驱动法、讲练结合法、模型建构法 教学过程 【复习导入】 回顾等比数列前n项和公式 梳理等比数列前n项和的核心性质 (1) 若，则 (2) 设 分别为等比数列奇数项和、偶数项和： ① ② 设计意图：通过复习，夯实第一课时基础，为本节课性质应用和实际建模做好知识铺垫。 【例题导学】 例：取各边中点作第2个正方形，再取第2个正方形各边中点作第3个正方形，依此继续。 (1) 求连续10个正方形的面积之和； (2) 若作图过程无限继续，所有正方形的面积之和趋近于多少？ 解析： ① 求各正方形面积，确定数列类型： 第1个正方形面积由中点作正方形，边长为前一个的则面积为前一个的 ，故正方形面积构成首项 的等比数列。 (1) 求前，代入公式： (2) 无限项等比数列和 代入得 即面积之和趋近于 答案： 　　 例：预计每年生活垃圾总量递增5%，环保处理量每年增加1.5万吨。测算从今年起5年内填埋处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）。 解析： 1 ② ③ ④ ⑤ 答案：约万吨 例：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中,为常数； （3）求=的值（精确到1）. 解析： 故递推公式为： 其中 代入得 答案： 【练习巩固】 1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于( ) 　　A.31 B.33 C.35 D.37 2.数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋…＋a＝( ) A.(3n－1)2 B.(27n－1) C.(3n－1) D.27n－1 【归纳小结】 知识层面：熟练掌握等比数列前n项和的性质，能区分性质适用条件；会在实际问题中识别等比数列（或等差+等比综合）关系。 方法层面：实际问题建模三步法——①确定数列类型，②求首项、公比（公差），③代入公式求和；递推关系可通过构造法转化为等比数列求解。 素养层面：强化数学建模、数学运算素养，树立“用数学解决实际问题”的意识。 【作业布置】 基础题：整理本节课例题解题步骤，完成练习巩固的变式题（公比为3的等比数列性质应用）； 应用题：某银行定期存款年利率为2%，每年复利一次，若存入1万元，求5年后的本利和（精确到1元）； 板书设计 4.3.2 等比数列的前n项和公式（2） 复习回顾 求和公式： 核心性质： 课后反思 本节课以复习等比数列求和公式及性质为切入点，通过三个梯度的例题，实现了从性质应用到实际建模、再到递推综合的层层递进，基本达成教学目标。课堂上注重引导学生分析实际问题中的数列关系，培养建模意识，但部分学生在构造等比数列处理递推关系时，对常数 k的求解思路理解不深；在等差与等比数列综合求和时，容易出现运算错误。后续教学中，需增加构造法的专项练习，强化运算步骤的规范性指导，同时通过更多生活实例，让学生更熟练地掌握实际问题的建模方法，提升综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $