4.3.2等比数列前n项和第一课时教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章数列 课题 4.3.2等比数列的前n项和公式（1） 授课时间 学科核心素养教学目标【课程标准】 1、探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列通项公式与前n项和公式的内在联系，能区分公式的适用条件。熟练运用等比数列前n项和公式解决基础计算问题，初步掌握公式的变形与应用技巧。 2、通过公式推导的探索过程，提升类比、转化与化归的数学思维能力，培养数学运算和逻辑推理核心素养。 3、结合国际象棋麦粒的经典问题，渗透德育目标：了解数学史、尊重科学规律，感受数学与生活的联系，激发数学探索兴趣。 教学重点 等比数列的前n项和公式的推导与灵活应用。 教学难点 错位相减法的理解与运用，以及公比 q=1时公式的特殊情况辨析。 教法 问题驱动法、启发式教学法、讲练结合法、情境教学法 教学过程 【情境导入】 　　国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。 这个问题就是我们今天要解决的等比数列的前n项和问题，让我们一起探索其中的计算方法。 【新知探究】 分析问题，定位数列类型 提问1：棋盘上每一格的麦粒数依次为1，2，4，8，…，这个数列是什么数列？请说出它的首项、公比和项数。 明确：该数列为等比数列，首项通项公式为。 提问2：该问题的数学本质是什么？如何表示这64项的和？ 明确：求等比数列前64项和，即 引导学生发现直接累加无法快速计算，需探索简便方法。 探索方法，推导特殊情况 针对 ，提出启发问题：等比数列中后项是前项的倍，能否通过构造式子，消去中间项实现简化计算？ 引导学生尝试构造等式： ① 两边同乘公比2，得： ② 提问3：用②式减①式，观察式子有什么变化？ 学生计算可得： 总结：这种通过“乘公比、错位减、消中间项”的方法，就是推导等比数列前n项和公式的核心方法——错位相减法。 推广一般情况，推导公式 设等比数列 公比为， 则 ①。 分情况讨论，逐步推导： 当 ②； ①-②得：，整理得等比数列前n项和核心公式： 结合等比数列通项公式，将公式变形为变式公式： 提问4：当 时，等比数列是什么数列？此时前项和该如何计算？ 明确：当 时，等比数列为常数列， 提问5：两个公式（）分别包含哪些量？解题时如何根据已知条件选择公式？ 明确： ，已知首项和项数即可；变式公式含根据已知条件灵活选择。 回归情境，解决问题 结合麦粒问题计算：，代入公式得 补充数据： ，千粒麦粒质量约克，可算出总质量约 ，得出结论：国王无法实现诺言，让学生感受数学的实际意义。　　 【例题导学】 例7.已知数列{是等比数列. （1）若，，求； 解： （2） 若，，，求； 解： （3） 若，，，求n。 解： 化简： 解得： 例8 已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q. 解：与已知矛盾） 根据等比数列前 n项和公式： 则 解得： 例9 已知等比数列{}的公比，前n项和为.证明,,成等比数列，并求这个数列的公比。 证明：先表示出各部分和： 验证等比中项性质： 故 成等比数列。 求公比：设新数列公比为，则 即该等比数列的公比为 【练习巩固】 　　1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( ) 　　 A. B. C. D. 解析：该数列为等比数列， 代入等比数列前n项和公式 2.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________. 解析： 化简得： 解得： 【归纳小结】 知识梳理：等比数列前n项和公式分两种情况， 牢记公式适用条件。 方法总结：推导公式的核心方法是错位相减法，关键在于乘公比后错位相减，消去中间项。 解题技巧：解题前先判断公比，再根据已知条件选择合适的公式，注重公式的变形与方程思想的运用。 【布置作业】 基础题：课本课后习题，熟练运用公式计算等比数列前n项和，巩固公式记忆。 思考题：尝试用等比数列前n项和公式解决实际生活中的复利计算问题，感受数学的应用价值。 板书设计 4.3.2 等比数列的前n项和公式（1） 核心问题：等比数列前的求解 推导方法：错位相减法（乘公比、错位减、消中间项） 前项和公式： （常数列求和） 课后反思 本节课以国际象棋麦粒问题导入，通过问题链引导学生探索错位相减法，推导等比数列前n项和公式，结合例题、练习让学生掌握公式应用，基本达成教学目标。课堂上注重学生逻辑推理和运算素养的培养，讲练结合的形式能及时巩固知识，但仍存在不足：部分学生对错位相减法的本质理解不深，仅机械模仿步骤；对公比q=1和q≠1的分类讨论运用不熟练，解题时易忽略判断；少数学生计算过程中易出现符号、指数运算错误。后续教学需强化方法本质讲解，增加分类讨论和运算的针对性练习，及时纠正学生解题误区。 学科网（北京）股份有限公司 $