4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.3.2《等比数列的前n项和公式》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：掌握等比数列的前n项和公式，理解公式的推导方法（错位相减法），能运用公式解决简单的实际问题，体会函数与方程思想、分类讨论思想. 课标分析： 本节课是等比数列知识体系的核心，在学习了等比数列的概念和性质之后，进入“求和”这一关键应用.课标强调“掌握”和“理解”，教学中应从实际情境（如父母逐年翻倍存款）导入，激发学生探究求和公式的兴趣.重点在于等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）及公式的应用，难点是错位相减法的理解和当公比 时的分类讨论.本节课对培养逻辑推理、数学运算和数学建模素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等比数列的前n项和公式（第1课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第3.2节内容.教材以“父母存款”故事（每年存入金额翻倍，求18年总金额）引入，通过错位相减法推导出等比数列前n项和公式 .教材通过例7、例8、例9等例题，让学生掌握公式的基本应用（知三求一），以及片段和性质 成等比数列等内容.本节内容是数列求和的重要内容，也是后续学习等比数列综合应用的基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了等比数列的定义、通项公式及性质，能够运用等比数列解决一些简单问题.但是，等比数列前n项和公式的推导中，“错位相减法”是一种全新的求和方法，学生需要理解为什么要乘以公比、为什么能够消去中间项.另外，学生对公式中 的特殊情况容易忽略.在运用公式时，方程思想的应用（如已知 求 ）需要一定的代数功底.教师应通过具体数值演算和分步引导，帮助学生突破难点. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体求和问题中抽象出错位相减法的思想，概括出等比数列前n项和公式的推导过程. 1. 逻辑推理素养：能通过错位相减法推导公式，并能根据公比 的取值进行合理分类，理解公式的适用条件. 1. 数学运算素养：能熟练运用等比数列前n项和公式进行基本量计算（知三求一），并能解决简单的实际问题. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如存款、贷款、细胞分裂等）抽象为等比数列求和模型并求解. 1. 数学语言素养：能准确用符号语言表达等比数列前n项和公式，并能规范地书写推导过程. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）及公式的应用. 1. 难点：错位相减法消除中间项的理解；公式中 与 的分类讨论；片段和性质的理解与应用. 6、 教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1.展示预习问题： （1）等比数列 的前n项和 S_n = \begin{cases} \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q eq 1 \\ ______, & q = 1 \end{cases}. 答案：. （2）错位相减法推导等比数列前n项和公式时，需将原和式乘以______，然后与原式相减. 答案：公比 . （3）在等比数列 中，若 ，，则 ______. 答案：. （4）已知等比数列的前 项和 ，则 ______，______. 答案：，. 2.请学生回答，教师点评并强调分类讨论的必要性. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 等比数列的定义是什么？通项公式如何表示？ (2) 学生回答：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数；. (3) 教师展示“父母存款故事”：第1岁存入1元，第2岁存入2元，第3岁存入4元，…，第18岁存入 元.问：总存款是多少？即求 . 2.引出等比数列求和问题. 环节三：合作探究 1. 等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）（5分钟） 教师设问：如何求 ？ 学生可能直接写出答案：. 教师追问：这种方法从何而来？能不能对一般等比数列进行推导？ 引导学生推导一般公式： 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 . 两边同时乘以 得：. 两式相减： ⇒ . 因此，当 时，；当 时，. 强调：错位相减法的核心是乘以公比后对齐项相减，消去中间项. 2. 公式的应用（5分钟） 教师示例：已知等比数列 中，，，求 . 解：. 已知 ，求 和 . 解：由 ， ⇒ ，所以 .验证 ，正确. 3. 等比数列片段和性质（5分钟） 教师引导学生思考：在等比数列中， 有什么关系？ 通过计算具体例子（如 ，，，，，，发现 ，），归纳出 成等比数列，公比为 . 推导：，同理 ，因此成等比数列. 此性质在解决部分求和问题时可以简化计算. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：求下列等比数列的和： （1）； （2）（前6项）. 解： （1）首项 ，公比 ，末项 ⇒ ⇒ . . （2），，， . 例2：在等比数列 中，，，求 和 . 解：. ，所以 . 或用性质：. 例3：已知等比数列 中，，，求公比 . 解：当 时，，故 . 由 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 或 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列说法正确的有（ ） A. 等比数列前n项和公式为 B. 错位相减法可用于推导等比数列求和公式 C. 若等比数列的公比 ，则 D. 在等比数列中， 成等比数列，公比为 答案：B、C、D 解析：A错误，当 时分母为零，公式不适用，需单独写. 例5：已知等比数列 的前 项和 ，求 和 . 解：. 当 时，. 验证 ，，符合.所以 ，. 例6：某公司第一年投入资金 100 万元，第二年投入 150 万元，此后每年投入的资金都比前一年增加 50 万元.求第 5 年的投入资金和 5 年总投入. 解：每年投入构成等差数列，不是等比数列.改为等比数列问题：设每年投入是前一年的 1.2 倍.第一年 100 万元，则第 5 年投入 万元，总投入 . 计算：，，，总投入 万元. 例7：已知等比数列 中，，，求 . 解：由片段和性质， 成等比数列. 设 ，，则公比为 ，所以 ⇒ . 例8：首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 项和为 ，求 的值，并判断它与 的关系. 解：，则 . 发现：，这可以从递推角度验证. . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 等比数列前n项和公式的推导方法（错位相减法）. (2) 公式的两种情形（ 与 ）. (3) 公式的基本应用：知三求一. (4) 片段和性质： 成等比数列，公比为 . 1. 教师强调： (1) 使用公式前必须判断 是否为特殊情况. (2) 错位相减法不仅适用于等比数列求和，也适用于等差数列与等比数列的乘积求和（后续学习）. 3.片段和性质可以简化计算，避免重复求通项. 环节六：布置作业 1. 书面作业： · 完成课本第37页练习第2、4、5题. · 配套课时达标检测《等比数列的前n项和（第1课时）》. 1. 拓展作业： · 探究等比数列前n项和公式的其他推导方法（如利用 解方程或从公式 入手）. 1. 预习引导： 预习下一节“等比数列前n项和公式的综合应用（第2课时）”，学习求和与不等式、实际应用等内容. 授课人个案修改记录： 本节课从父母存款的趣味故事导入，自然引出等比数列求和问题.错位相减法的推导过程通过具体数值 的演示，学生更容易理解.在公式应用环节，设计了基本量计算和片段和性质的应用，学生练习充分.不足之处：部分学生在推导中忽略了 的取值问题，导致错位相减时最后一项处理不当；另外，对 的分类讨论仍有遗漏.后续可通过更多变式练习强化公式的记忆和应用.整体上，本节课为等比数列的综合应用打下了良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $