精品解析：广东中山市华辰实验学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

广东省中山市华辰实验学校2025-2026学年高二下数学期中考 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列满足，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式，依次求出数列各项的值，直接计算的值 【详解】当时, ， 同理, 所以. 故选：D. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可结合选项求解. 【详解】对于A, ,故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D, ,故D错误， 故选：B 3. 已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可得，进而推出且，反之不成立，即可判断. 【详解】数列为等比数列设其公比为，则， 若，即数列不一定为等比数列， 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件， 故选：B. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】依题意，，因为， 所以，所以切线方程为，即. 故选：C． 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解. 【详解】， 令可得解得， 所以，所以， 故选:B. 6. 设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数在内存在零点，利用参变分离，转化为函数值域问题，即可求解. 【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以. 故选：B 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 【答案】C 【解析】 【分析】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案. 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】令函数，由，得， 又，求导得， 函数在R上单调递增，不等式， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：CD. 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出，可判断AB；写出数列的前n项和公式，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为， 由是与的等比中项，得， 即，解得，故AB正确； 则，，， 所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设公比为.由，得，整理得，即.令，利用导数判断的零点在上，即，从而可以判断选项的正误. 【详解】成等比数列，设公比为. ， ， 整理得，即. 令，则. 由，得或；由，得， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 的极大值为，极小值为. 又，在区间上有一个零点. 即时，，. ，等比数列中，均为负数，均为正数. . 故选：. 【点睛】本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 正项等比数列，满足，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】由数列为等比数列，利用等比数列的性质化简已知的式子，再利用完全平方公式变形后，根据此等比数列为正项等比数列，开方后即可求出所求式子的值． 【详解】∵{an}为等比数列， ∴a2a4=a32，a42=a3a5，a4a6=a52， ∴=++==81， 又a3＞0，a5＞0， ∴=9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了等比数列的性质，以及完全平方公式的运用，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键． 13. 若，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法，求得，对的展开式两边求导，再利用赋值法可求得正确答案. 【详解】令x＝0可得：（1﹣0）2021＝a0，则a0＝1， 令x＝1可得：（1﹣2）2021＝a0+a1+a2+...+a2021， 所以a1+a2+...+a2021＝﹣1﹣a0＝﹣1﹣1＝﹣2， 又由（1﹣2x）2021＝两边分别求导可得： 2021×（1﹣2x）2020×（﹣2）＝， 再令x＝1可得：2021×（1﹣2）2020×（﹣2）＝a1+2a2+...+2021a2021， 所以a1+2a2+...+2021a2021＝2021×（﹣2）＝﹣4042， 故答案为：﹣2；﹣4042 14. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案； （2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案. 【详解】（1）由题意得，，则，， 则. （2）由题意得，，，∴， 令，则，令，则， 显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1. 故答案为：，1. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤. 15. 已知 （1）当时，求的单调区间； （2）若当时为单调递增函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）在上的单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令和求解即可得到对应的减区间和增区间； （2）依题意，在上恒成立，分离参数求解即可. 【小问1详解】 的定义域为，当时， ∴, 当时，，当时，， 所以在上的单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时为单调增函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令（），则恒成立， 所以在单调递减， 所以. ∴. 16. 在数列中，已知． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为数列中，， 可得，,所以， 因为，所以数列是首项为2，公比为的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1），可得，所以， 所以数列的前项和． 17. 已知数列的前项和为． 若为等差数列，，，求和的表达式； 若数列满足，求． 【答案】，；. 【解析】 【分析】 设等差数列的通项公式，并结合条件列式求解即可； 根据题干再构造出一组求和，两式做差得到，分步讨论进而得出. 【详解】解：设等差数列的通项为（为等差数列的公差）， 则，解得， 所以，． ，① 当时，，② 由①②得，，， 当时，，， 所以 当时，； 当时，； 当时，， 所以. 【点睛】本题考查等差数列通项、前项和的求法，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题.求数列通项、前项和的方法如下： 判断数列是等差数列还是等比数列，列出相应通项公式； 根据和之间的关系，求得（讨论符合的取值）； 判断数列是等差数列还是等比数列，列出前项和的式子. 18. 已知函数. （1）证明：当时，； （2）从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明：. 【答案】（1）证明：由已知得函数的定义域为， ∵， ∴ 函数在区间上单调递增， 又∵ ∴ 当时，，即. （2）证明：由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为 ， ∵， 同理，，，， ∴， ∴， 再证：， 即证：，即，， 由（1）得，当时，，取， 则，证毕. 【解析】 【分析】（1）先利用导数证明函数在定义域上为增函数，再考虑当时，，故当时， （2）先计算概率，再证明，即证明，最后证明，即证，即证，即证，而这个结论由（1）所得结论可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数的定义域为，若，则称为类周期函数，为的一个类周期. （1）证明：不是类周期函数； （2）若是函数的一个类周期，且，记，求数列的前项和； （3）若且是类周期函数，求的取值范围. 【答案】（1） 假设是类周期函数，且为的一个类周期， 则由，得， 令，得，从而， 若为奇数，则由，得，即① 若为偶数，则由，得，即②， ①，②式不可能恒成立，故假设不成立，从而不是类周期函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设是类周期函数，且为的一个类周期，根据题中定义得出，令，可得出，然后对是奇数、偶数进行分类讨论，推导出结论不成立，结合反证法可得出结论； （2）根据定义得出，令，可求出的值，再令，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求得； （3）由定义得出， 方法一：可得出，令，利用导数分析函数的单调性，并求其值域，可得出关于的不等式，即可解出的取值范围； 方法二：令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是函数的一个类周期，所以， 令，则， 令，则，即， 因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 则. 【小问3详解】 设的类周期为，则由，得，则， 方法一：由，得，即， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 若，从而，解得或， 即的取值范围为； 方法二：令，由题意可知在上存在零点， ， 若，则单调递减， 因为，所以在上存在零点，符合题意， 若，则，由，得， 若，则，当时，单调递减， 当时单调递增， 从而当时，，故在上不存在零点，不符合题意， 若，则，当时，单调递减，当时，单调递增， 从而当时， 由在上存在零点，得， 则，则，从而， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市华辰实验学校2025-2026学年高二下数学期中考 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列满足，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 8. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 3 D. 4 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为8 11. 已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 正项等比数列，满足，则______． 13. 若，则_____，_____． 14. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤. 15. 已知 （1）当时，求的单调区间； （2）若当时为单调递增函数，求实数a的取值范围. 16. 在数列中，已知． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的前项和． 17. 已知数列的前项和为． 若为等差数列，，，求和的表达式； 若数列满足，求． 18. 已知函数. （1）证明：当时，； （2）从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明：. 19. 已知函数的定义域为，若，则称为类周期函数，为的一个类周期. （1）证明：不是类周期函数； （2）若是函数的一个类周期，且，记，求数列的前项和； （3）若且是类周期函数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $