精品解析：广东省中山市龙山中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东中山龙山中学高二下学期数学期中考试 一、单选题（每题5分） 1. 已知随机变量，且，则=（　　） A. 1 B. 2 C. D. 2. 函数，当时，有恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 24 C. D. 5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 7. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 8. 已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（ ） A. （0，2022） B. （2022，+∞） C. （2023，+∞） D. （2022，2023） 二、多选题（每题6分） 9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 有极大值 D. 方程有两根时的范围是 11. 已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开，且在每一局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”．记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数，则下列结论正确的为（ ） A. B. 若采用“五局三胜制”，则 C. 采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利 D. 若采用“五局三胜制”，则 三、填空题（每题5分） 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________. 13. 在某市年月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的全市理科学生约人.某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名. （参考数值：，，） 14. 已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球.现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是_________，从2号箱取出红球来自1号箱的概率是_________ . 四、解答题（第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知的展开式中，所有项系数之和为729． （1）求 n 的值以及二项式系数最大的项； （2）若，求的值． 16. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数． （1）若有放回的抽取，求X的分布列与期望； （2）若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率． 17. 已知. （1）若，求的极值； （2）当时，，求的取值范围. 18. 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. （1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； （2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； （3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东中山龙山中学高二下学期数学期中考试 一、单选题（每题5分） 1. 已知随机变量，且，则=（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由期望的性质有，结合二项分布期望公式求参数，再由其方差公式求. 【详解】由题设，，则， 所以. 故选：D 2. 函数，当时，有恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用导数法求得函数的最小值，再根据时，有恒成立求解. 【详解】解：函数， 则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值， 又当时， ，当时， ， 所以的最小值为：-33 因为当时，有恒成立， 所以， 故选：C 3. 对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两个正态曲线的对称轴位置和集中分散程度判断结果. 【详解】由可知，由可知， 因，故曲线的对称轴应在曲线的右侧，排除A,B两项； 又因，故曲线比曲线“矮胖”，总体分布较分散，排除C项. 故选：D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 24 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数. 【详解】由的展开式通项为， 所以的展开式项为， 故系数为. 故选：B 5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以． 故选：C． 6. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断； 【详解】解：因为定义域为， 所以， 所以当时，当或时， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 又，故符合条件的函数图象为A； 故选：A 7. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 8. 已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（ ） A. （0，2022） B. （2022，+∞） C. （2023，+∞） D. （2022，2023） 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：. 故选：D. 二、多选题（每题6分） 9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：利用捆绑法分析；B：利用插空法分析；C：先考虑人全排列，然后甲在乙的左边的排法数占一半，由此求解出结果；D：先选人与甲乙捆绑在一起，然后再看成个元素全排列. 【详解】对于A：将名男生捆绑在一起看成一个元素，所以排法有种，故A正确； 对于B：将名男生放入到名女生形成的个空位中，所以排法有种，故B错误； 对于C：名男生和名女生全排列，排法有种， 其中甲在乙的左边的排法占总数的，所以有种排法，故C正确； 对于D：先选人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余人全排列， 所以有排法种，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 有极大值 D. 方程有两根时的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，求得，求得函数的单调性和极小值（最小值），可判定A正确，B正确，C错误；再由有两个实数根，转化为与的图象有两个交点，求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】由函数，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值， 所以A正确，B正确，C错误； 又由时，可得， 且当时，，当时，， 要使得有两个实数根，即与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开，且在每一局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”．记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数，则下列结论正确的为（ ） A. B. 若采用“五局三胜制”，则 C. 采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利 D. 若采用“五局三胜制”，则 【答案】AD 【解析】 【分析】分析可得表示决出冠军需进行2局比赛，计算即可判断A的正误；分析、、的意义，即可判断B的正误；分别计算采用“五局三胜制”和采用“三局两胜制”时的，即可判断C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：表示决出冠军需进行2局比赛，即甲连赢2局或乙连赢2局， 则，故A正确； 对于B：若采用“五局三胜制”，则表示甲赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛， 表示乙赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛， 表示比赛3局决出冠军，表示比赛4局决出冠军，表示比赛5局决出冠军， 所以，故B错误； 对于C：采用“五局三胜制”则， 若采用“三局两胜制”则， 所以采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利，故C错误； 对于D：若采用“五局三胜制” 则， 所以，故D正确. 故选：AD 三、填空题（每题5分） 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________. 【答案】或 【解析】 【分析】设，根据点P处的切线与直线平行，由求解. 【详解】因为曲线， 所以， 设， 因为点P处的切线与直线平行， 所以， 解得或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或 13. 在某市年月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的全市理科学生约人.某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名. （参考数值：，，） 【答案】 【解析】 【分析】分析可得，计算得出的概率，乘以可得结果. 【详解】考试的成绩服从正态分布，所以，，， 所以，，则， 数学成绩为分的学生大约排在全市第名. 故答案为：. 14. 已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球.现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是_________，从2号箱取出红球来自1号箱的概率是_________ . 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】①设“从2号箱中取出的是红球”，“从1号箱中取出的是红球”， 则，， ，， 故P(A)=； ②由①得从2号箱取出红球的概率是， 则从2号箱取出的红球来自1号箱的概率为， 则从2号箱取出红球来自1号箱的概率为. 故答案为：；. 四、解答题（第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知的展开式中，所有项系数之和为729． （1）求 n 的值以及二项式系数最大的项； （2）若，求的值． 【答案】（1），二项式系数最大的项为； （2）365. 【解析】 【分析】（1）根据所有项系数之和先求出，即可得到二项式系数最大的项； （2）对等式赋值，，将得到的等式相加即可解出． 【小问1详解】 ∵的展开式中，所有项系数之和为729， ∴， 所以， 所以的通项公式为， 故当时，二项式系数最大， 此时所求项为； 【小问2详解】 令得：， 令得：， 两式联立得：. 16. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数． （1）若有放回的抽取，求X的分布列与期望； （2）若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率． 【答案】（1）X的分布列为： P 0 1 2 3 4 X 数学期望为. （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，求出对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望. （2）总体中合格品的比例为，样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过即样品中合格品的比例大于小于. 【小问1详解】 有放回的抽取，， 根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4， 所以, , , , . X的分布列为： P 0 1 2 3 4 X 所以X的数学期望. 【小问2详解】 由题意得总体中合格品的比例为， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过， 所以样本中样品中合格品的比例大于小于，即样品中合格品的个数为2或3. , 。 所以 17. 已知. （1）若，求的极值； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）极小值0，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求得的单调性，再求极值即可； （2）求导，设新函数，分类讨论函数的正负，从而得出函数的单调性，找出符合题意的的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 时，，即单调递减；时，，即单调递增； 故在处有极小值，无极大值， 所以有极小值0，无极大值. 【小问2详解】 由题意得，，令， 易得在为增函数， ①若，即时， 则时，所以单调递增， 故，符合题意； ②若，即时， ， 故存在，使得， 时，即，单调递减；时，即，单调递增， 故时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 18. 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. （1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； （2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； （3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）不正确 （3） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. 【小问2详解】 解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. 【小问3详解】 解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）最大值，最小值是；（3） 【解析】 【分析】（1）先确定切点纵坐标，在求导，求出切线的斜率，最后写出切线方程；（2）求导研究函数在区间上的单调性，在求最值（3）由题意求出（用含a的式子表示），根据题意：，在求出a的取值范围 【详解】（1）时，， ， 曲线在点处的切线方程为： ，即 （2）时，， 由，得 当时，；当时， 在上单调递增；在上单调递减. 又 又 函数在区间上的最大值是；最小值是 （3） 当时，的值域是 的定义域为， ①当时，，在定义域为上单调递增，且值域是 所以，对任意的，均存在，使得 ②当时，由 得 当时，，当时， 当时，取得最大值 所以“对任意的，均存在，使得”等价于 ，即，解得 综合①，②得的取值范围是 【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程以及区间最值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $