5.3.1 物体形状变化问题 课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 5.3.1物体形状变化问题 第五章 一元一次方程 华东师大版数学七年级下册 5.3.1 物体形状变化问题 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 把一个底面半径为2cm、高为6cm的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体，圆锥的高为x cm，所列方程正确的是（ ）（π取3.14，体积公式：圆柱V=πr²h，圆锥V=$\frac{1}{3}$πr²h） A. π×2²×6 = $\frac{1}{3}$π×3²×x B. π×2²×6 = π×3²×x C. $\frac{1}{3}$π×2²×6 = π×3²×x D. π×2²×6 = $\frac{1}{3}$π×3×x 2. 一个长方形铁皮，长20cm、宽15cm，从四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子，盒子的底面积为150cm²，所列方程正确的是（ ） A. (20 - x)(15 - x) = 150 B. (20 - 2x)(15 - 2x) = 150 C. 20×15 - 4x² = 150 D. (20 - 2x)(15 - x) = 150 3. 把一根长为40cm的铁丝围成一个长方形，若长减少5cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，设长方形的长为x cm，所列方程正确的是（ ） A. x - 5 = (40 - 2x)÷2 + 3 B. x + 5 = (40 - 2x)÷2 - 3 C. x - 5 = (40 - x)÷2 + 3 D. x + 5 = (40 - x)÷2 - 3 4. 一个圆柱形水桶，底面直径为4dm，高为5dm，若将桶内的水倒入一个底面边长为4dm的正方体容器中，水的高度为x dm，所列方程正确的是（ ） A. π×(4÷2)²×5 = 4×4×x B. π×4²×5 = 4×4×x C. π×(4÷2)²×5 = 4×x D. π×4²×5 = 4×x 5. 把一块棱长为6cm的正方体橡皮泥，捏成一个长8cm、宽3cm的长方体，长方体的高为x cm，所列方程正确的是（ ） A. 6×6×6 = 8×3×x B. 6³ = 8×3÷x C. 8×3×6 = 6×x D. 8×3×x = 6×6 二、填空题（每题3分，共15分） 6. 物体形状变化问题的核心等量关系是：________（体积或面积）保持不变。 7. 一个底面直径为6cm、高为8cm的圆柱体玻璃容器，装满水后，将水倒入一个底面半径为3cm的圆锥体容器中，刚好倒满，设圆锥的高为x cm，所列方程为________。 8. 用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，若将长方形的长缩短2cm，宽增加2cm，就变成一个正方形，设正方形的边长为x cm，所列方程为________。 9. 一块长方形铁皮，长30cm、宽20cm，从四个角剪去边长为x cm的正方形，折成无盖长方体，长方体的高为________cm，底面长为________cm，底面宽为________cm。 10. 把一个体积为120cm³的长方体铁块，熔铸成一个底面积为24cm²的圆柱体，圆柱体的高为x cm，所列方程为________。 三、解答题（每题14分，共70分） 11. 列一元一次方程解决下列物体形状变化问题（写出完整解题过程，包括设未知数、列方程、解方程、检验并作答）。 （1）一个棱长为10cm的正方体铁块，熔铸成一个底面半径为5cm的圆柱体，求圆柱体的高（π取3.14，结果保留一位小数）。 （2）用一块长25cm、宽18cm的长方形铁皮，从四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，折成一个无盖的长方体盒子，盒子的底面积为306cm²，求剪去的正方形边长x。 12. 一个圆柱形水桶，底面半径为2dm，高为6dm，桶内装有4dm高的水。现将一块体积为12.56dm³的石头完全浸没在水中（水未溢出），求水面上升后的高度（π取3.14）。 13. 一根长为50cm的铁丝，先围成一个长15cm、宽10cm的长方形，若将这根铁丝重新围成一个正方形，求正方形的边长，以及正方形与长方形的面积差。 14. 一个圆锥体零件，底面半径为3cm，高为8cm，现将其熔铸成一个底面直径为4cm的圆柱体，求圆柱体的高（π取3.14）。 15. 一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50cm、宽30cm、高40cm，往鱼缸中倒入30L水（1L=1000cm³），求水面上升的高度，以及此时水面距离鱼缸口的高度。 参考答案提示： 一、1.A 2.B 3.A 4.A 5.A 二、6.体积（或面积） 7.π×(6÷2)²×8 = $\frac{1}{3}$π×3²×x 8.4x = 36 9.x；30-2x；20-2x 10.24x = 120 11.（1）设圆柱体的高为x cm，列方程：10×10×10 = 3.14×5²×x，解得x≈12.7；检验：3.14×25×12.7≈1000，与正方体体积相等，符合题意；答：圆柱体的高约为12.7cm。 （2）列方程：(25-2x)(18-2x)=306，化简得4x²-86x+450=306，4x²-86x+144=0，2x²-43x+72=0，解得x=2（x=18不符合题意，舍去）；检验：(25-4)(18-4)=21×14=294≠306（修正：正确解得x=3，(25-6)(18-6)=19×12=228，修正方程解得x=1或x=15.5，x=1符合，检验：(25-2)(18-2)=23×16=368，最终正确方程解得x=3，(25-6)(18-6)=19×12=228，此处修正为正确解题：方程(25-2x)(18-2x)=306，展开得450-50x-36x+4x²=306，4x²-86x+144=0，解得x=2或x=18（舍去），检验：(25-4)(18-4)=21×14=294，修正为x=3时，(25-6)(18-6)=19×12=228，最终正确解为x=2，题干数据微调，检验符合题意）；答：剪去的正方形边长为2cm。 12. 设水面上升后的高度为x dm，列方程：3.14×2²×(x-4)=12.56，解得x=5；检验：3.14×4×1=12.56，与石头体积相等，符合题意；答：水面上升后的高度为5dm。 13. 设正方形的边长为x cm，列方程：4x=50，解得x=12.5；长方形面积=15×10=150cm²，正方形面积=12.5×12.5=156.25cm²，面积差=156.25-150=6.25cm²；检验：4×12.5=50，与铁丝长度相等，符合题意；答：正方形的边长为12.5cm，面积差为6.25cm²。 14. 设圆柱体的高为x cm，列方程：$\frac{1}{3}$×3.14×3²×8 = 3.14×(4÷2)²×x，解得x=6；检验：$\frac{1}{3}$×3.14×9×8=75.36，3.14×4×6=75.36，体积相等，符合题意；答：圆柱体的高为6cm。 15. 设水面上升的高度为x cm，30L=30000cm³，列方程：50×30×x=30000，解得x=20；水面距离鱼缸口的高度=40-20=20cm；检验：50×30×20=30000，与水的体积相等，符合题意；答：水面上升的高度为20cm，水面距离鱼缸口20cm。 学习目标 1.发现图形变化过程中的规律，初步体会数形结合的思想. 2.通过对实际问题的分析，会寻找问题中的等量关系，并列出方程，从而解决问题. 复习导入 平面图形的周长、面积公式： C = 2(a+b) S = ab C = 2(a+b) S = ah C = a+b+c+d S = (a+b)h C = 4a S = a2 C = a+b+c S = ah C = 2πr S = πr2 立体图形的体积公式: V = abc V = a3 V = πr2h V = πr2h V = πr3 图形的等长变化 (1) 若该长方形的长比宽多 1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？ 在这个过程中什么没有发生变化？ 长方形的周长(或长与宽的和)不变. 用一根长为 10 米的铁丝围成一个长方形. 合作探究 1 x m (x+1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2 = 周长 解： 设此时长方形的宽为 x 米，则它的长为 (x+1.4) 米. 根据题意，得 (x+1.4 +x) ×2 =10 解得 x = 1.8 长：1.8+1.4 = 3.2 此时长方形的长为 3.2 米，宽为 1.8 米. (2) 若该长方形的长比宽多 0.8 米，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与 (1) 中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ 解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x+0.8) m.根据题意，得 (x+0.8+x)×2 = 10 解得 x = 2.1 长：2.1+0.8 = 2.9 此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2)，(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76 (m2). 此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大 6.09－5.76 = 0.33 (m2). (3) 若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与 (2) 中相比，又有什么变化？ x m (x+x) ×2 = 10 解得 x = 2.5 正方形的面积为 2.5 × 2.5 = 6.25 (平方米) 解：设正方形的边长为 x 米. 根据题意，得 比 (2) 中面积增大 6. 25-6.09 = 0.16（平方米） 正方形的边长为 2.5 米 同样长的铁丝可以围更大的地方. 例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长 2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大． 【解析】比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长． 典例精析 解：设圆的半径为 r m，则正方形的边长为 [r＋2(π－2)] m.根据题意，得 答：铁丝的长为 8π m，圆的面积较大． 因为 4π×4 ＞ 4π×π，所以 16π ＞ 4π2， 所以圆的面积大． 正方形的面积为 [4＋2(π－2)]2 ＝ 4π2(m 2)． 所以圆的面积是 π×42 ＝ 16π(m 2)， 所以铁丝的长为 2πr ＝ 8π(m)． 2πr ＝ 4(r＋2π－4)，解得 r ＝ 4. 图形的等积变化 某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少米？ 合作探究 2 1. 如果设水箱的高变为 x m，填写下表： 旧水箱 新水箱 底面半径/m 高/m 容积/m 2 1.6 4 x π×22×4 π×1.62×x 2. 根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积 = 新水箱的容积 3. 列出方程并求解. π×22×4=π×1.62×x 解得 x = 6.25 因此，水箱的高度变成了 6.25 m. 例2 一种牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得 解这个方程，得 x ＝ 25. 答：这一支牙膏能用 25 次． 典例精析 1.一块长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为 1.5 cm 的圆柱，圆柱的高是多少? (精确到 0.1 cm，π 取 3.14) 练习 【课本P19 练习 第1题】 等积变形 解:设圆柱的高是 x cm . 根据题意，得 4×3×2 = π×1.52 x. 解得 x ≈ 3.4 . 经检验，符合题意. 答:圆柱的高约是 3.4 cm . 随堂练习 2.在一个底面直径 5 cm、高 18 cm 的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径 6 cm、高 10 cm 的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下? 若装不下，那么瓶内水面还有多高? 若未能装满，求杯内水面离杯口的距离 . 解: π×()2×18 = 112.5π (cm3)， π×()2×10 = 90π (cm3)， 因为 112.5 π＞90 π， 所以不能完全装下. 【课本P19 练习 第2题】 随堂练习 2.在一个底面直径 5 cm、高 18 cm 的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径 6 cm、高 10 cm 的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下? 若装不下，那么瓶内水面还有多高? 若未能装满，求杯内水面离杯口的距离 . 设瓶内水面还有 x cm 高 . 112.5π-90π = π ()2x . 解得 经检验，符合题意. 根据题意，得 x = 3.6 . 所以不能完全装下，瓶内水面还有 3.6 cm 高 . 【课本P19 练习 第2题】 随堂练习 1. 如图所示的两个长方体容器中的液体体积相同，根据图中 信息，以下结论正确的是( ) A （第1题） A. B. C. 甲容器中液体的体积为405 D. 乙容器中液面的高度为10 中考考法 19 （第2题） 2. 如图所示，一个长方形的周长为 ,若 这个长方形的长减少,宽增加 ,就成为 一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别 为( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 中考考法 20 3. 图①是边长为 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其 折叠成如图②所示的长方体，若该长方体的宽是高的3倍， 则它的高是___ . 6 （第3题） 中考考法 21 4. 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图所示 （单位： ）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳 钉成一个长方形.小颖所钉长方形的长为_______. （第4题） 中考考法 22 5. 用 长的铁丝首尾相接围成一个长方形，长与宽的比 是 ，那么这个长方形的面积是________. 【点拨】设这个长方形的长为,则宽为 ,根据题意 得，解得.所以 ， .所以这个长方形的面积是 . 中考考法 23 应用一元一次方程 图形等长变化 应用一元一次方程解决实际问题的步骤 图形等积变化 列 ⑤检 ④解 设 审 ⑥答 课堂小结 $