2025-2026学年华东师大版八年级数学下册期末提升卷

2025-2026学年华东师大版八年级数学下册期末提升卷 一.单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.根据下列表格中的部分信息，分式'可能是() -2 无意义 A. x+1 B -1 c. x-1 D. x-2 x+2 x+2 x-2 x-1 2.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（) 表达式=5中，》是的晒数 ② 等边三角形的周长是边长”的函数： ③ 下表中，是“的函数： 0 3 2 2 3 b -2 -3 6 ④ 下图中，曲线表示是的函数 -10 八1234x -2 A,①② B.②④ C.①②③ D,①②③④ 3.小丽参加了学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛，评定成绩时，如果将7位评委所给 出的分数去掉一个最高分，去掉一个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始 评分相比，一定不变的数据是() A.中位数 B.众数 C.平均分 D.中位数和众数 试卷第1页，共3页 Q3)2 （a 12 4.若 = 3,则a6=（) A.6 B.9 C.12 D.81 5.如图，在口ABCD中，AB=5,BC=8,∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E 和F,则EF的值为() F D B A.1 B.2 c.2.5 D.3 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E、F分别是AB,BC的中点，连接 EF EF=2,BD=6 ，若 ,则菱形 ABCD 的面积为() E A.12 B.24 C.25 D.43 7.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=5cm,BC=10cm,现将其沿EF折叠，使得点C 与点A重合，则AF的长为() D' B A.3cm B.√5cm C.5cm 0 8.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB,EF是△DEC的角平分线，有下列四个结 试卷第2页，共3页 t论：O∠BDE=∠DBE;②EF∥BD:③∠CDE=∠ABC: S8D=S64F.其 中，正确的是() A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 9.如图，直角坐标系中长方形MBC 的四个顶点坐标分别为-L,2,B(-,-) C1,-1)D1,2) p ，点从点“出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单 位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P, 在长方形边上第'次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为 M M, M M2025 ,…,则点 的坐标为(). A.(-1,2) B.(1,2) C.(L,-1) D.(0,1) 10.把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的 是() A.2y.4810,12y B.2,4号8,10,12 C.2,48y{10,12y {2,4,8,10}{12} 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 试卷第3页，共3页 x k 1L.若关于x的分式方程x-x-i无解，则k的值为 12.若正比例函数”=经过第二、四象限，则函数”=（依-3）-水 的图象经过第 象 限 13.若-=1，则x= 14.两个全等的矩形ABCD,AECF按如图所示的方式交叉叠放在一起，AB=AF, AE=BC,若AB=6,BC=2,则图中阴影部分的面积为 15.某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 估计该校学生的视力的方差是 16。如图，点A在y=(>0)的图象上，过点4作4BL轴，垂足为B,过点4作 MAC⊥y箱，垂足为C,交y=6>0)的图象于点E,连接O6,若=3CE,四边形 OBAE的面积为7，则m-n= B 三、解答题（本大题共8小题.每题9分，共计72分） 17.计算 试卷第4页，共3页 -3+8×红--5+4 ②1-a+2ab+89+6 a2-ab a-b I8.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF L AC,垂足分别为 点E,F,且AE=CF,∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形. I9.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点C作CE∥DB,过点B作 BE∥AC,CE与BE交于点E. D (I)求证：四边形OBEC是矩形： (2)若AB=5,CE=3,求菱形ABCD的面积. 20.学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳 远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号.现 有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如下表： 跳 姓名 仰卧起坐 立定跳远 绳 小泽 93 84 81 小航 83 91 (I)若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体 育打卡小能手”称号： (2)若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按2：3：5的权重计算综合评分，小航想要获得该 试卷第5页，共3页 称号，求他的立定跳远成绩x至少需要多少分（成绩为整数）· 21.“歼-10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗 机.宋文骢生于云南省昆明市，是“歼-10”战机的总设计师，被誉为中国“歼-10之 父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博JAS-39”并驾齐 驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼-10”战机以其超过音速的速度 优势，是“阵风”战机的1.2倍，已知A地与B地的直线距离300公里，若“阵风”战机在 B地先1分钟起飞飞往A地，“歼-10”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到 达各自的目的地，求“歼-10”战机的速度是每小时多少公里？ 22.小明和同学们组建一个骑行队，周日小明率领骑行队的队员们一起从通州区的绿心公 园出发，骑行去怀柔区的雁栖湖的国际会议中心.从通州区的绿心公园到雁栖湖国际会议 中心的骑行路线全长约69千米，如果他们早上7：00从通州区绿心公园出发，骑行速度是 2 12千米/小时，骑行队计划在骑行到全路程3处，休息20分钟，然后按照原速度继续骑 行，出发x小时后，距雁栖湖国际会议中心还有y千米。 (千米) x(小时) (1)求y(千米)与x(小时)的函数表达式： (2)在平面直角坐标系x0中，画出函数图像. 171 23.如图，一次函数y=:+b的图象与反比例函数y=x的图象交于点A(-2,-3), C3,川），交》轴于点B,交轴于点D. 试卷第6页，共3页 ()D求反比例函数y= x和一次函数y=+b的表达式； ②根据图像直接写出红+6一-？<0的，的取值范日 (2)求△OAC的面积 (3)点P为x轴上一动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标. 24.【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任 务 【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD,其中AB=6,BC=8,现将纸片折叠，点A ,B的对应点分别记为点P,Q,折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点) D(F) B B 图1 图2 【探究1】 如图I,小明沿EF(点E在BC上，点F在AD上)折叠纸片ABCD,点P落在矩形 ABCD的BC边上，连接AE 【任务1】 (I)①四边形AEPF形状是 ②调整折痕EF的位置，当AEPF的面积最大时，BE= 【探究2】 如图2，小丽沿EF(点F与点D重合，点E在AB上)折叠纸片ABCD,点P落在BD 试卷第7页，共3页 上 【任务2】 (2)求BE的长： 【探究3】 小亮沿EF(点F与点D重合，点E在AB上)折叠纸片ABCD,射线CB与射线FP交于 点M. 【任务3】 (③)在折叠过程中，当BM=AE时，BE= 试卷第8页，共3页 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册期末提升卷 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 2．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 3．小丽参加了学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛，评定成绩时，如果将7位评委所给出的分数去掉一个最高分，去掉一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，一定不变的数据是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均分 D．中位数和众数 【答案】A 【分析】本题考查中位数、众数、算术平均数的意义，掌握相应的定义是关键． 中位数是数据排序后中间位置的数，去掉最高分和最低分后，中间位置的数保持不变，因此中位数一定不变；众数和平均分可能改变，不一定不变. 【详解】解：∵ 原始个评分排序后，中位数为第个评分；去掉最高分和最低分后，剩余个评分排序，中位数为第个评分，即原始的第个评分； ∴ 中位数不变． 众数可能因去除极端值而改变，平均分也可能改变，因此中位数不变． 故选：A． 4．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，和的角平分线分别交于点和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得到，，，，结合角平分线的性质可推出，，则，，根据，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ，，，， 和的角平分线分别交于点和， ，， ，， ，， ， 故选：B． 6．如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O，， ∴菱形的面积为， 7．如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点C与点A重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 8．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确． 【详解】∵， ∴，， ∵BD平分，EF平分， ∴，， ∴， ， ∴， 故①②正确； ∴ 与不一定相等， 由题意可知， ∴与不一定相等， 故③错误； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴， 故④正确， ∴①②④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 9．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 10．把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查离差平方和，为了使组内离差平方和最小，应将数据分成两组，使得每组内部数据尽可能接近，即方差小． 通过计算各选项的组内离差平方和，比较大小即可． 【详解】数据从小到大排序：2， 4， 8， 10， 12，计算各选项组内离差平方和： A、，； ，平均值，； ； B、，平均值； ，平均值； ； C、，平均值，； ，平均值， ； D、 ，平均值； ； ； ∴ 选项B的总组内离差平方和最小，为10， 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 12．若正比例函数经过第二、四象限，则函数的图象经过第______象限． 【答案】一、二、四 【分析】根据正比例函数经过的象限确定的取值范围，再判断一次函数的一次项系数与常数项的符号，即可确定一次函数图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数经过第二、四象限， ∴． ∴ ，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． 13．若，则_________ ． 【答案】或2 【分析】根据幂运算结果为1的三种不同情况，利用零指数幂的性质和有理数乘方运算法则分类讨论求解，即可得到的值. 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当指数为0，底数不为0时，根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，可得 解得，且，即，符合题意； （2）当底数为1时，1的任意次幂都等于1，可得， 解得，此时，符合题意； （3）当底数为时，， 解得，此时，不符合题意，舍去. 综上，的值为或． 14．两个全等的矩形，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】设交于点G，先证，得到．设，在中，根据勾股定理求出的长度，可得的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 在和中 ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：， ∴， 阴影部分的面积：． 15．某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 估计该校学生的视力的方差是________． 【答案】/ 【分析】先计算样本的平均数，再根据方差公式计算样本方差，用样本方差估计总体方差即可． 【详解】解： ， ． ∴用样本方差估计总体方差，可得该校学生视力的方差为． 16．如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．计算 (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【分析】先证明，则，又，所以，再通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如下表： 姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远 小泽 93 84 81 小航 83 91 (1)若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号； (2)若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩至少需要多少分（成绩为整数）． 【答案】(1)小泽的综合评分为86分，能获得“体育打卡小能手”称号 (2)小航的立定跳远成绩至少需要85分 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式计算小泽的综合评分，再与86分比较即可得出结论； （2）根据加权平均数的计算规则，结合获奖要求列出不等式，求解后取符合条件的最小整数即可． 【详解】（1）解：已知小泽三项成绩分别为93，84，81， 计算算术平均数得 （分）， ∵， ∴小泽能获得“体育打卡小能手”称号； （2）解：已知三项成绩权重比为，总权重为， 小航想要获得该称号，综合评分需要达到86分及以上， ∴， 解得， ∵成绩为整数， ∴的最小整数值为85． 答：小航的立定跳远成绩至少需要85分． 21．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 22．小明和同学们组建一个骑行队，周日小明率领骑行队的队员们一起从通州区的绿心公园出发，骑行去怀柔区的雁栖湖的国际会议中心．从通州区的绿心公园到雁栖湖国际会议中心的骑行路线全长约69千米，如果他们早上从通州区绿心公园出发，骑行速度是12千米／小时，骑行队计划在骑行到全路程处，休息20分钟，然后按照原速度继续骑行，出发小时后，距雁栖湖国际会议中心还有千米． (1)求（千米）与（小时）的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图像． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）分三个阶段分别求出函数解析式即可； （2）根据（1）的函数解析式画出函数图像即可． 【详解】（1）解：休息时骑行的路程千米，剩余距离为千米 休息时出发后的时间为， ∴当时，（千米）与（小时）的函数表达式为； 当，（千米）与（小时）的函数表达式为； 当，（千米）与（小时）的函数表达式为； 综上，． （2）解：根据题意画出函数图像如下： ． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点． (1)①求反比例函数和一次函数的表达式； ②根据图像直接写出的的取值范围 (2)求的面积 (3)点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或 (2) (3) 【分析】（1）①先把代入求出m确定反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出n，确定C点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式； ②根据图象求得即可； （2）由直线的解析式求得B点的坐标，求得，然后根据即可求得； （3）取点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，则，此时的周长取得最小值． 待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出点的坐标． 【详解】（1）解：①∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵，在一次函数上， ∴， 解得， ∴一次函数； ②即 由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或； （2）解：当时，， ∴， ． （3）解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则， ∴的周长，即此时的周长取得最小值． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ， 当时，， 解得， ∴． 24．【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 (1)①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 (2)求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 (3)在折叠过程中，当时，__________． 【答案】(1)①菱形；② (2) (3)或 【分析】（1）①由折叠的性质可得到，，，再由矩形的性质证出，即可得到四边形是菱形； ②分析出当点与重合时，最大，再利用勾股定理列式运算即可； （2）利用勾股定理求出的长，设，则，利用折叠的性质和勾股定理列式运算即可； （3）分类讨论的位置，当点在点右边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可；当点在点左边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可； 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵， ∴当最大时，菱形的面积最大， ∴当点与重合时，最大，如图所示： ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （2）∵四边形为矩形， ∴ ， 解：在中，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （3）解：如图1，当点在点右边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ， ∴ ， 设，则， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：； ②如图2，当点在点左边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴ ∴ 设，则，，， 则 ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上所述，线段的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $