21.2.3三角形的中位线 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.3三角形的中位线 学习目标 01 02 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线 定理； 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 重点 难点 复习引入 导入新课 问题 平行四边形的性质和判定有哪些？ 边： 角： 对角线： B O D A C AB∥CD, AD∥BC AB=CD, AD=BC AB∥CD, AB=CD ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC AO=CO,DO=BO 判定 性质 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧. 思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 1. 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 2. 三角形的中位线与中线有什么区别？ D E A B C F . 练一练 求证： 猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点. D E F 求证： 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点. D E F 证明1： 延长 DE 到 F，使 EF = DE．连接 AF、CF、DC. ∵ AE = EC，DE = EF ， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形． ∴ 四边形 BCFD 是平行四边形， ∴ CF AD. ∴ CF BD. 又∵ ， ∴ DF BC． ∴ DE∥BC， ． 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． D E 在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点， 则DE∥BC，DE= BC． 三角形中位线定理： 符号语言： 新知讲解 例：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连接AC，如图所示. ∵点E是AB的中点，点F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF= AC. 同理，可得出：HG∥AC，HG= AC， ∴EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 典例分析 证明： D E 延长DE到F，使EF=DE． 连接AF、CF、DC ． ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． F ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴CF AD , ∴CF BD , 又∵ ， ∴DF BC ． ∴ DE∥BC， ． 如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点， 求证： 证一证 D E 证明： 延长DE到F，使EF=DE． F ∴四边形BCFD是平行四边形． ∴△ADE≌△CFE． ∴∠ADE=∠F 连接FC． ∵∠AED=∠CEF，AE=CE， 证法2： ，AD=CF, ∴BD CF． 又∵ ， ∴DF BC ． ∴ DE∥BC， ． ∴CF AD , 10 65 8 1.如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC中点． (1)若DE=5,则BC= ． (2)若∠B=65º,则∠ADE= º． (3)若DE+BC=12,则BC= ． 2.如图,A,B两点被池塘隔开,在A,B外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点间的距离为____m. N M 40 12 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线 三角形中位线的两个端点都是边的中点. 三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的顶点. 都和边的中点有关. 例1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1） 若DE=5，则BC= ． （2） 若∠B=65°，则∠ADE= °． （3） 若DE+BC=12，则BC= ． 10 65 8 变式A1. 如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，连接DE，EF，FD得到△DEF，如果△ABC的周长是24 cm，那么△DEF的周长是（　　　） A. 6 cm B. 12 cm C. 18 cm D. 48 cm B 变式A2：如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， 且DF=3 ∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 1 2 3 【例2】如图，为测量位于一水塘旁的A，B两点间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10 m，则A，B之间的距离是（　　） A. 5 m B. 10 m C. 20 m D. 40 m 知识点2 三角形中位线定理的实际应用 C 变式B. 如图,是一块等腰三角形空地ABC，已知D，E分别是AB，AC的中点，量得AC＝12 m，AB＝BC＝8 m，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（　　） A. 22 m B. 20 m C. 17 m D. 14 m A 【例3】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点.求证：四边形BEFD是平行四边形. 知识点3 运用三角形中位线定理证明 证明：∵D，F分别是AB，AC的中点， ∴DF∥BC 即DF∥BE. 又∵E，F分别是BC，AC的中点， ∴EF∥AB 即EF∥DB. ∵DF∥BE，EF∥DB ∴四边形BEFD是平行四边形. 变式C. 如图,已知△ABC的中线BD,CE交于点O，F,G分别是OB,OC的中点. 求证：四边形DEFG是平行四边形. 证明：∵△ABC的中线BD,CE交于点O ∴D,E分别是AC,AB的中点， ∴ED∥BC，ED＝BC. 同理可得FG∥BC，FG＝BC. ∴ED∥FG,ED＝FG. ∴四边形DEFG是平行四边形. 当堂练习 2.如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为 （　　） A.1 B.2 C.4 D.8 第2题图 第1题图 C C 3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、 AC的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B= °； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8， 则△ DEF的周长为 . 50 15 A B C D F E C C A B D C O 平行四边形中与周长有关的结论： （1）C△AOB = C△DOC = (AC + BD) + AB (或CD)； （2）C△AOD = C△BOC = (AC + BD) + AD (或BC)； （3）C△AOB － C△BOC = AB － BC ； （4）C△ABC － C△ABD = AC － BD . 4. 在 ▱ ABCD 中，∠A = 45°，AB = 4，AD = 2. 求 ▱ ABCD 的面积. 解：如图，过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E， ∴∠BEA = 90°. ∵∠A = 45°，∴∠ABE = 45°= ∠A . ∵AB = 4，∴易得 BE = AB = . ∴S▱ABCD =AD·BE = 2× = . 解析：由勾股定理得： ， ∵D，E分别为 ， 的中点， ∴ ，故选：C. 练习5 如图，每个小正方形的边长均为1，在 中（其中B，C为网格格点），D，E分别为 ， 的中点，则线段 的长为( ) A. B.2 C. D.3 练习6 如图，A，B，C分别是 的边 ， ， 的中点，连接 ， ， ，若 的面积为2，则 的面积为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 解析：∵A，B，C分别是 的边 ， ， 的中点， ∴ ， 是 的中位线， ∴ ， ，∴四边形 是平行四边形， ∴ .故选：C. $