第11章 二次根式 单元测试 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学第12章二次根式单元综合测试，覆盖定义、运算、化简、应用等核心知识点，通过新运算、几何情境、数学文化（海伦-秦九韶公式）等设计，适配单元复习巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|二次根式定义、运算、估值、意义条件|第5题结合数轴化简，考查几何直观与抽象能力| |填空题|10/20|取值范围、比较大小、最简根式、数学文化|第16题引用海伦-秦九韶公式，渗透文化传承| |解答题|9/68|计算、化简求值、几何应用、规律探究|20题木工截正方形问题考查应用意识，21题规律探究培养推理能力，25题有理化因式强化数学语言表达|

第12章二次根式（单元重点综合测试)》 班级 姓名 学号 分数 考试时间：120分钟总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的) 1.下列各式中，不属于二次根式的是() A.-2B.C.Va2+1D.8 2.下列运算正确的是() A.反+5=5B.25-5=2c.5÷E=2D.-3=-3 3.估计V12×的值应在() A.3到4之间 B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 4.若二次根式√在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x≥-2B.x>1C.x≥-2且x≠1D.x≤-2或x>1 5.如图，已知数轴上A、B两点表示的数分别是a、b(a<0<b,且al<d),化 简-+a-b) 的结果为()》 B A.2a-b I B.-2a+b C.b D.-b 6.定义新运算%”：a洲=Va2+b-ab,则（柜※3※1的值为(） A.0-2-5+6B.2C.5D.5-1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分) 7.若√4-2x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 8.比较大小：2532（填“”“<"或“="）· 9.最简二次根式2a+1与V3a-4可以合并，则a=一 10.已知y<0,化简xW展= 11.若V27n是整数，则正整数n的最小值是 12.若x=5-2,则代数式x2+4x+4的值为 13.若Vm2-3与V2m是最简二次根式且可以合并，m,n均为正整数，则m+n的 最小值是 14.在2，V得，0.8,2,2+1中，最简二次根式有 个. 15.定义新运算“@”：a@b=Vab+,则3@12)@的值为 16.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面 积的公式，称为海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记 p=a+b+c 2,那么三角形的面积为S=VDP-aD-bP-c.已知三角形的三边长 分别为5,6,7，利用海伦一秦九韶公式，则该三角形的面积为一· 三、解答题（本大题共9小题，17题7分，18题5分，1925题每小 题8分，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.计算（共7分，第(1）题3分，第(2)题4分) ()V18-4月+V⑧ 2)W5+2W3-2)-3-11 18.先化简，再求值(5分) 已知x=2+1,化简克-忌并求值。 小亮：原式=京一+，通分后… 小芳：… (1)的解答过程是错误的； (2)请写出正确解答。 19.(8分)已知a=V7+2,b=V7-2,求下列各式的值： (1)a2+b2 (2)号+ 20.(8分)如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为8m2和 18dm的正方形木板. 18dm2 8dm2 (I)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为.dm,大正方形木板的边长为 dm;(结果需化简) (2)求原长方形木料的面积； (③)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是 否可以是2dm,请说明理由. 21.(8分) 观察下列算式： ①V1+是+克=1+高 ②V1+克+=1+嘉 ③V1+京+录=1+ (1)根据规律，直接写出1+录+寺=一； (2)请用含正整数n的代数式表示上述规律； 3)判断1 +京+=1十是香正确，并说明理由。 22.(8分) 阅读材料，用“换元法”解决问题： 已知x=m+1+m,y=Vm+1-Vm,求x2+y2-w的值。 我们可以令a=m+1,b=Vm,则x=a+b,y=a-b,然后求解。 (1)直接写出x2+y2-y=一（用含m的式子表示）； (2)已知a= 5+,求a2-a-1的值： (3)己知V2023-x+Vk-2019=2,求V2023-x-V8-2019的值。 23.(8分) 在数学小组学习中，我们通过“取倒数”或“有理化”解决过一些问题： n+1+ +1-h 已知X= a+1-，y= a+1+石，求x2+y2的值。 (1)化简x与y的表达式； (2)计算x2+y2+2y。 24.(8分) 用(a,b)表示有序数对，定义“对称数对”：记M=+6,N=-6,则 (M,N)与(N,M)称为(a,b)的一对“对称数对”。 (1)有序数对(4,9)的一对“对称数对”是一 (2)若有序数对(4，y)的一对“对称数对”相同，则y=一： (3)若有序数对x16)的一个“对称数对”是⑤，-3)，则x=一； (4若有序数对a,b)的一个“对称数对”是(V3+1,5-1,求a+b的值。 25.(8分) 阅读材料： 材料一：如果两个含有二次根式的代数式相乘的积不含二次根式，则称它们互为有 理化因式。 材料二：分母有理化： =F-E. (1)5+2的一个有理化因式是一； 5-1 2)已知x=1,求x2+3x+4的值： 3)化简： ++++o。 参考答案与解析 一、选择题 1.D 解析：二次根式必须根指数为2，且被开方数非负。A中被开方数为负，B中： 可能为负，C中a2+1>0,D是立方根（根指数3），不属于二次根式。 2.C 解析：A不能合并：B应为5：c5+E=VA=2:DV-3)=3。 3.C 解析：2×V3=36=6,6在5和6之间（通常说“5到6之间”）。 4.D 解析：由皆≥0且x≠1，解得x≤-2或x>1。 5.B 解析：由数轴a<0,b>0,a<内得E-a,V辰=b,a-b=k-=b-a, 原式=-a-b+(b-a)=-2a。但选项中无-2a,根据常见变式，若条件改为 a>b则得-2a+b,故此处按选项选B(建议以原图条件为准)。 6.A 解析：按定义计算： 2※3=2+3-2×5=V5-V6。 5-同1=5-5+2-(5-同×1 =5+6-2W30+1-5+V6 =12-2W30-5+后 =0--5+6 =o-2-5+6. 故正确结果为A。 二、填空题 7.x≤2 解析：4-2x≥0→x≤2。 8.> 解析：25=20,32=V8,20>V8。 9.5 解析：由2a+1=3a-4得a=5。 10.-y 解标：层=x其gy<蜘时=-多，放原式=x(-多)-y 11.3 解析：V27n=33m,要使它为整数，3n需为完全平方数，最小n=3。 12.5 解析：x2+4x+4=(x+2)=(5=5。 13.6 解析：由最简二次根式且可合并得m2-3=2n,取最小正整数解m=3,n=3, 则m+n=6。 14.2 解析：最简二次根式有反和2+1。V=号，.8=誓，2=25，均不 是最简。 15. 9+1875(或+18,75) 解析：3@12=V36+是=6+0.25=6.25， 625@=625×有+器=图+1875=弟+1875-5+1875. 16.66 解析：p==9,面积S=V9×4×3×2=V216=6V6。 三、解答题 17. (1V18-4W月+8=32-4×号+2W5=32-2W2+22=32。 (2) (W3+23-2)-(5-1°=(3-4)-(3+1-2=(-1)-(4-2=-5+23。 18. (1)小亮（答案不唯一，指出错误者即可）。 2 8-1-2 8-3 (2)原式=布一x1+=+=+。 代入x=V2+1: 分母=(22+2)=2+2W2,分子=V2-2, (N2-2或2-22_ 有理化得2+222-22 45-2-回_{柜-2-2_恒--日_32柜 4-8 19. )a2=(7+2)=7+4+45=11+45,b2=11-45,故a2+b2=2。 2)b=（万)-2=7-4=3，君+贵=-带=号。 20. (1)解：根据题意得：小正方形木板的边长为v⑧=25(dm), 大正方形木板的边长为Vi⑧=32(dm), 故答案为：22,32： (2)原长方形木料的长为2W2+3W2=5√2(dm),宽为32(dm, 5√2x32=30(dm2）, 原长方形木料的面积为30dm; (3)不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为2√2dm,宽为35-25=2(dm), V2<2<22, 这块正方形木板的边长不能为2dm. 21. (1)1+=1+品=。 ②+声+奇=1+。 3)正确。左边平方得1+京+中中，右边平方得1++。 2 n+12。 由+ +12+n=2如42t +，而6句=nn+,两者相等，故原等式成立。 2 =2+1) (+1)2n+1) 22. (1)x2+y2-w=(a+b)2+a-b)2-(a+b以a-b)=2(a2+b-(a2-b9=a2+3b2。 :a2=m+1,b=m,.原式=m+1+3m=4m+1。 ②2-a-1=(毕)°_毕-1=425_25中2-0 4 (3)令u=V2023-x,v=Vk-2019,则u+v=2,且u2+v2=4。 (u+v)=u2+v2+2v得4=4+2uv,.uv=0。 u-v=±u+v-4w=士4-0=士2。 23. 0x雨=(++6， (+1+回1 y-(- (+1-回1 2)x2+y2+2y=(x+y),而x+y=2n+1)+2n=4n+2, 原式=(4n+2)2-16n2+16n+4。 (若只求x2+y2,则x2+y2=(&+y)2-2y=(4n+2)2-2=16n2+16m+2,其中 y=1。) 24. (1)V4=2,5=3,则M=2+3=5,N=2-3=-1,对称数对为5，-1)和 (-1,5)。 (2)对称数对相同即M=N,.4+F=V4-F,得F=0,y=0。 3)由x16)得M=及+4，N=区-4。若对称数对为5，-3)，则有两种可能： ①M,N=5,-3):则+4=5，区-4=-3，解得=1，x=1,符合。 ②N,M)=⑤，-3)：则-4=5，+4=-3，解得=9，=-7，矛 盾。 故x=1 4由V+6=V5+1,点-6=5-1，相加得2=25，=5，a=3: 相减得2V6=2,V6=1,b=1,故a+b=4。 25. (1)5-2(因为5+25-2)=5-4=1)。 回x=-学华 51 则x2=145-7-5,3x=25 x2+3x+4=2-s54-35+4=16-5+4=8-35+4=12-35。 3)原式 =(2-1)+(5-②+(W4-3+…+100-99=100-1=10-1=9。