2026年山东省济南市济阳县九年级二模数学试题

2026济阳二换 秘密★启用前 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分为150分.考试时间为120分钟 注意事项： 1.答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号策 指定位置上 2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答， 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只 自 要求 1.如图，数轴上被遮挡住的整数是 -2012 A.1 B.-2 C.-1 D.0 2.蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状 也像英文字母U,又叫U形磁铁，下图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图， 其俯视图是 -U 正面 3.2026年，农历丙午年，也是马年，中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》 特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当 先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量.此次计划发行套票 26680000套，将26680000用科学记数法表示为 A.2668×104 B.2.668X107 C.2.668×103 D.0.2668×108 4.中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻 认知.下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.寿字纹 柿蒂纹 5.下列运算正确的是 A.a2a5=a7B.（-2a2b)3=6a63C.a10÷a2=aD.(a-22=a2-4 6.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆 放，其中点A,E,C,F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°， ∠DEF=60°·当AD∥BC时，∠ADE的度数为 A.5 B.15° C.25 D.35° C 第6题图 第7题图 第9题图 7.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶 点都在格点上，则tan∠ACB的值为 A B. 3y10 C. D. 10 10 5 8.3月14日是国际数学日.某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递” “图形幻方”和“π的追击”三个游戏.如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参 加，那么他们选择相同游戏的概率是 A号 B君 c 1-2 D 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按如下步骤作图： ①在AC和AB上分别截取AD,AE,使AD=AE,分别以点D,E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点R,作射线C, ②分别以点B,C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N, 作直线MN交射线AF于点P,连接BP 根据以上作图，若AC=3,BC=4,则线段BP的长为 A.V5 B.日 C.6 D. 5-2 10.在平面直角坐标系xO中，抛物线y=ax2+br十c(a>0)经过M(m,0)和 N(n,0)两点，且点M在点N的左侧，其中0<n<1,m十n=一2.有下列结论： ①bc<0;②3a十c>0;③若a=1,则-3<c<0; ④关于x的一元二次方程am+bx十2c=0无实根： ⑤点P(,),2(x2,)在抛物线上且在对称轴的同侧，当一x=2时， 都有粉23，则≥是 以上结论正确的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分.直接填写答案. 11.若代数式√x-3有意义，则x的取值范围为 12.如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边△CDF,则∠BCF的度数 为 y/千米 一小明 …爸爸 00.511.522.3x小时 E 第12题图 第14题图 第15题图 13.从这一组数据“2,3,4,7,9”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均 数的概率为 14.黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处.周末，小明和爸爸参 加了该公园举办的“亲子骑车赛”.两人所行路程y(千米)随时间x(小时)变 化的图象（全程）如图所示.当爸爸到达终点时，小明距离终点还有 千米. 15.在☐ABCD中，已知AB=√I0,AD=4,a如∠ABC=3.点E为BC边上任意 点，将△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B',连接B'C,当△BCB是以∠BCB' 为直角的直角三角形时，则线段B'C的长度为 三、解答题：本题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 16.（本小题满分7分) 计算：V12+(-1)2026+(π-3.14)°-() ·1-2sin609 17.(本小题满分7分) 3(x-1)<5x+1,① 解不等式组： 2x-4≤安 并写出它的所有整数解， ②1 18.(本小题满分7分) 已知：如图，在矩形ABCD中，E,F是BC上的点，且BF=CE, 连接AE,DF A D 求证：AE=DF. P 内 第18题图 19.（本小题满分8分) 如图1是我区路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图.路灯AB 和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面EF,且它们之间的水平距离 BD=2.9m,折臂底座高CD=1m,上折臂AP与路灯AB夹角∠PAB=48°，折臂PC 与底座CD的夹角∠PCD-132°，上折臂AP-9m, (1)求折臂转折点P到路灯的距离； (2)求路灯AB的高. (结果精确到0.01m,参考数据：sin48°0.743，cos48°0.669，tan48°≈1.11) E 第19题图1 第19题图2 20.(本小题满分8分) 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB,BD⊥OC 交⊙O于点D,CD的延长线交BA的延长线于点E. D (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若BC=6,DE-4,求⊙O的半径长. E 第20题图 21.(本小题满分9分) 2026年5月5日是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织八年级学生观 看庆祝大会实况并进行团史学习知识竞赛（百分制）·为了解学生答题情况，从中 随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩） 进行统计整理.数据分为五组： A:50≤x<60:B:60≤x<70:C:70≤x<80:D:80≤x<90:E:90≤x≤100. 下面给出了部分信息： a:C组的数据： 70,71,71,72,72,72,74,74,75,76,76,76,78,78,79,79. b:不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 个人数（频数） 18 16 15 B 12 10 9 0 A6% E 6 3 0V5060708090100 成绩/分 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的八年级学生人数： (2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 度； (3)请补全频数分布直方图： (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分； (5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞 赛活动成绩达到80分及以上的学生人数 22.（本小题满分10分) 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限 活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科 技自立自强的最强声音.某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单 价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650 万元购进乙种机器人数量的2倍. (1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不 超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少 费用是多少万元？ 23.（本小题满分10分) 如图1，一次函数yF-x6的图象与反比例函数y=x>0)的图象交于C(a,5), D两点. (1)求a,k的值； (2)点2为反比例函数y=(x>0)的图象上的点，若△0C2是以02为斜边 的直角三角形，求点Q的坐标： (3)如图2，点M为直线CD下方反比例函数y=x>0)图象上的一动点，过 点M作x轴的平行线交直线CD于点N,过点M作OC的平行线交y轴于点P,连接 PN.求△PMN面积的最大值，并求出此时点M的坐标. D D 第23题图1 第23题图2 24.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xO中，已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象与x 轴交于点A和点B(6,0),与y轴交于点C(0,6). (1)求二次函数的表达式： (2)如图，直线划=x+m经过点B交抛物线于点E,点M是线段BE上一 点，作MN∥y轴交抛物线于点N,若BM=BN,求点M的坐标： (3)点G为抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)上的一个动点，且横坐标为n,点H 的横坐标为-2+1，且线段GH∥x轴，当线段GH与抛物线有两个公共点时，请直 接写出n的取值范围， B*比 第24题图 第24题备用图 .ee 25.(本小题满分12分) (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC-45°，点D是边AC上一 动点，连接BD,将线段BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BF,过点D作DE⊥ BD交射线BF于点E,连接AE,则AE的值为 CD (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，点D是边AC上 动点，连接BD,将线段BD绕点B逆时针旋转30°得到射线BF,过点D作DE⊥ BD交射线BF于点E,连接AE.若CD-4,求AE的长： (3)如图3，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,点E是边CD上一动点，将线 段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为∠CBD,得到射线BM,过点E作EF⊥BM交 射线BM于点F,连接DF当线段DF取得最小值时，求线段CE的长. M A D 0 第25题图1 第25题图2 第25题图3 济阳区2026年初中学业水平模拟考试 数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分. 2 3 5 6 7 8 9 10 D B D A B A A B 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分 11.x≥3： 12.48: 13.号；14.3： 15.2或4. 三、解答题：本大题共10个小题，共90分. 16. 【解答】原式=2W3+1+1-2-2× …5分 =√3 …7分 17 【解答】解：解不等式①，得：X>一2，…2分 解不等式②，得：x≤子 …4分 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 -3-2-101234 原不等式组的解集是-2<x≤子 ………6分 .整数解为一1,0,1,2.…7分 18 【解答】证明：，四边形ABCD是矩形 .∠B=∠C=90°，AB=DC…2分 .BF=CE ∴.BF+EF=CE+EF 即BE=CF …分 ∴.△ABE≌△DCF …6分 ∴.AE=DF …7分 19. 【解答】解：（I)过点P作PG⊥AB于点G…1分 在Rt△AGP中，∠AGP=90 数学试题答案第1页（共8页） sin4=sin48°=P4 AP' AP=9 …2分 ∴.PG=AP.sin48°≈9×0.743=6.687≈6.69(m) …3分 答：折臂转折点P到路灯的距离为6.69m. (2)过点P作PH⊥BD于点H,过点C作CQ⊥PH于点Q,如图， A ∴.∠QHD=∠CQH=901 又.∠CDH=90 .四边形CDHQ是矩形 G ∴.DH=CQ,HQ=CD=1m ,∠GBHH=∠PHB=∠PGB=90 E D ∴.四边形BHPG是矩形 第19题图 ∴.BH=GP-6.69m …4分 (如果用平行线间的距离处处相等需要先证明线段的平行关系) .BD=2.9m .∴.DH=BH-BD=6.69-2.9=3.79m ∴.CQ=3.79m …5分 .∠PCD=132°，CD∥PH ∴.∠PCD+∠CPH=180 ∴.∠CPH=180°-132°=489 在Rt△PCQ中，∠POC=90 tan∠CPH=tan48°=c, PO C0=3.79 ∴P0≈c0.≈379≈3.414m …6分 tan48° 111 PH3.414+1=4.414m .∴.GB=PH=4.414m 在Rt△AGP中，∠AGP=90° 0s4=c0s48°=4C AP=9 AP 4G=AP.c0s48°≈9×0.669=6.021m …7分 .AB=AG+GB=6.021+4.414=10.435≈10.44m…8分 答：路灯AB的高为10.44m. 20 【解答】(1)证明：连接OD 数学试题答案第2页（共8页） .OB=OD BD⊥OC ∴.∠DOC=∠BOC …2分 .0C=0C .∴.△DOC≌△BOC ∴.∠CDO=∠CBO 4440000440000t0044440…000400400t040004405 …3分 .CBLAB ,∴.∠CB0=90° .∴.∠CD0=90 又，OD是半径 ∴.CD是⊙O的切线 E B.4分 (2).△DOC=△BOC ∴.CD=CB-6 …5分 .DE=4, ∴.CE=6+4=10, 第20题图 在Rt△BCE中，由勾股定理得： BE=√EC2-BC2=V102-62=8 …6分 设⊙0的半径为r, 在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2=OD+DE, ∴.(8-r)2=2+42, …7分 解得：r=3, .⊙0的半径长为3. …8分 21 【解答】(1)3÷6% …l分 =50(人)， …2分 答：随机抽取的学生人数是50人， (2)72; …3分 (3) 忄人数（频数） 18 16 15 12 12 9 …4分 3 0 5060708090100成绩/分 (4)77: …6分 (5)12+9×900 …8分 50 数学试题答案第3页（共8页） =378(人) …9分 答：成绩达到80分及以上的学生人数有378人 22. 【解答】解：(1)设购买一个乙种机器人需x万元，则购买一台甲种机器人需(x-5)万 元 …小分 1200 650 根据题意得， =2× 3分 x-5 解得x=65. …4分 经检验，x=65是原方程的解，且符合题意 …5分 ,∴.x-5=65-5=60, 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元： (2)设该公司购进甲种机器人a台，总花费为W万元 根据题意，得：a≤2(40-a) 解得，a≤曾 …6分 W=60m+65(40-m)=-5m+2600. …7分 .-5<0 .w随m的增大而减小， ∴.当m=26时，w取得最小值， …9分 此时w=一5X26十2600=2470（万元)……10分 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元. 23. 【解答】(1)把C(a,5)代入y=-x+6得， 5=-a十6，解得：a=1 …1分 .C(1,5) 把C1,5)代入=得，5=片解得：k=5 …2分 (2)过点C作CE⊥y轴交y轴于点E,过点Q作FO⊥CE交CE于点F,交x轴于点G 5 设0(， 则CF=1-1,P0=5-号CB=1,0E=5,0G=,0G=月 5 在Rt△OEC中，由勾股定理得， .∴.0C2=0E+CE=12+5=26 在Rt△CFQ中，由勾股定理得， Cg=CF+Fg=(1-1)+(5-2) …唱分 在Rt△OOG中，由勾股定理得， 00=oG+0G=+3: …4分 ,'△OCQ是以OQ为斜边的直角三角形 ∴.0c+Cg=0g 0 G 26+1-0+(6-9=+3 …5/公 数学试题答案第4页（共8页） 解得：4=1（舍去），=25 0(25,司 …6分 (3)设M(m, 5 n ,MN∥x轴 ∴y=y=m 更w=代入y=一x+6得，=6- m w6-县品 5 ∴MN=6-m一m 设OC表达式为y=kx,把C(1,5)代入得， 5=k ..y=5x ,MP∥OC .kMp=koc=5 设MP的表达式为y=5x+b,把代入M(m, 代入得， m 月m+b 5 :.b-m -5m y=5x+m -5m …7分 令x=0得，y ,-5m p0品m S-XAxlywr-yol ×6 mm)X点5 mm 5m） =-多r+1m 25 …8分 当m=号3时，S有最大值 5 25 Sma=2X3+15×32=10 …9分 Ma,3 …10分 24 数学试题答案第5页（共8页） 【解答】(1)把B(6,0),C(0,6)代入y=a+2x十c得， 0=36a+2×6+c …1分 6=c 1 a=- 解得： 2 …3分 c=6 =-立+2+6 …4分 (2)把B(6,0)代入y=字+m得， 0-方X6+m 解得：m=一3 y=字-3 ............... …5分 设M(b,动-3) .MN∥y轴 N(6,-—书+2b+6) 设MN与x轴交于点D, ,BM=BN,MN⊥x轴 ∴.MD=ND …6分 即D为MN的中点 动-3+(-2动+26+6》=0 …7分 解得：b1=6(舍去)，b2=一1 M(-, …8分 (3)n≤-3或n>2. 25. 【解答】(1)V2: …2分 (2)在Rt△ABC中，∠C=90° Cos∠ABC=B=cos303 BC 2 IDE⊥BD ∴.∠BDE=90° 在Rt△BED中， cOS∠EBD= BD BE c0s30=15 2 器開 …3分 数学试题答案第6页（共8页） :∠ABC=∠EBD ∴.∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD ∴.∠DBC=∠EBA …4分 ∴.△DBC∽△EBA ……5分 黑器9 …6分 .CD=4 .4退 AE2 :AE=3 …7分 (3)过点C作CG⊥BD于点G,连接FG ,四边形ABCD是菱形 ∴.CB=CD 又，CG⊥BD,BD=8, ∴.BG=DG=BD=4 ,∠FBE=∠DBC,∠BFE=∠BGC ∴.△BFE∽△BGC …8分 .BF BE ·BGBC 能瓷 又，CB=AB=5 能股 :∠FBE=∠DBC .∠FBE-∠DBE=∠DBC-∠DBE ∴.∠FBD=∠EBC '.△FBG∽△EBC …9分 FG BG 4 .∠BGF=∠BCE,CE-BC=5 ,四边形ABCD是菱形 M .AB∥CD ,.∠ABC+∠BCD=180 又.∠BGF+∠FGD=180 ∴.∠FGD=∠ABC ∴.∠FGD的角度大小不变，点F在∠FGD的边GF上运动 .当DF⊥FG时，DF取得最小值 在Rt△BCG中，由勾股定理得， B CG=√BC2-BG2=V5-42=3 第25题图 过点A作AH⊥BC, 数学试题答案第7页（共8页） BCAH-BD.CGX2 2×5:4H=2×8X3×2 4 :.AH=5 在R1△ABH中，由勾股定理得BH=? 在R1△ABH中，coS∠ABH=B盟=Z …10分 AB 25 当DF⊥FG时，DF取得最小值， 728 此时，在Rt△DFG中，FG=DG·Cos∠DGF=4X 2525 …11分 ∴CB=5×287 =4×255 …12分 数学试题答案第8页（共8页）