23.4 实际问题与一次函数 同步达标训练 2025—2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，通过情境化问题链构建“建模-求解-应用”逻辑体系，强化图像、表格、文字信息的转化能力，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|选择1-3、填空9|建立函数关系式|从实际情境抽象变量关系，理解一次函数概念生成| |图像分析|选择2、4、6-8、填空10|解读函数图像|通过图像获取信息，建立数形联系，发展几何直观| |数据建模|选择5、填空11-12|处理表格数据|从数据中发现规律，培养数据意识与模型观念| |综合应用|解答13-18|利润/行程/几何综合|应用函数性质解决最值、分段等问题，提升应用意识|

23.4实际问题与一次函数同步达标训练人教版2025—2026学年数学八年级下册（含答案） 一、选择题 1．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，这根蜡烛点燃后剩下的长度h（单位：）与点燃时间t（单位：h）之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的半径约为（     ）（注：） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 3．我国某颗遥感卫星在太空中执行数据传输任务，其信号传输速率恒定，地面测控站记录了几组传输时间与传输数据量的数据如下表．已知传输时间（单位：）与传输数据量（单位：）满足某种函数关系，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 传输时间 传输数据量 A． B． C． D． 4．某游泳馆更换了游泳池的循环水设备，现需要给游泳池注水检测设备，已知游泳池的容积为，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．该游泳池内开始注水前已经蓄水 B．与之间的函数关系式为 C．当注水时，游泳池的蓄水量为 D．当游泳池注满水时，所需时间为 5．2026年是丙午马年，如图是一幅骏马图，骏马图中马身的长度与马头的长度满足一次函数关系，下表列出了骏马图中马身的长度与马头的长度的一些对应值：若一幅骏马图的马身长度为，则马头长度应画为（    ） 马头长度 1 2 3 4 5 马身长度 4.5 7 9.5 12 14.5 A． B． C． D． 6．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 8．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 二、填空题 9．如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为______． 10．为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 11．小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力近似是高度的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的最大值为________． 12．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 三、解答题 13．某校园创业社团为参加“校园文创义卖节”，设计了基础款和限定款两种风格的卡通徽章用于义卖．每套基础款卡通徽章的成本比每套限定款卡通徽章的成本低元，采购套基础款卡通徽章与套限定款卡通徽章的总费用为元． (1)求每套基础款和每套限定款卡通徽章的成本价； (2)该社团决定将基础款、限定款卡通徽章的销售单价分别定为元和元．此次义卖计划共售出套卡通徽章，且基础款卡通徽章的销售量不少于限定款卡通徽章的，那么此次义卖的总利润最高是多少元？ 14．某文具店计划购进河南文创笔记本和中性笔两种商品，已知购进2本笔记本和3支中性笔共需32元；购进3本笔记本和5支中性笔共需50元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的进价； (2)该店计划购进两种商品共200件，其中笔记本数量不少于中性笔数量的 中性笔每支售价8元，笔记本每本售价15元，设购进笔记本x本，总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出最大利润； (3)在（2）的条件下，在进货资金不超过1800元的前提下，直接写出最大利润． 15．已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家，体育馆离家．小天从家出发，先匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了，之后匀速骑车行驶了到体育馆，在体育馆运动了后，再用了匀速跑步返回家．下面图中x表示小天离开家的时间，y表示小天离家的距离．图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小天离开家后，他的妈妈以的速度步行直接到体育馆．在从家到体育馆的过程中，对于同一个x值，小天离家的距离为，小天的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 16．图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式； (2)求小明、小丽第二次相遇时x的值； (3)当时，若，求x的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为． (1)若点的横坐标为1． ①求的值； ②如图1，当点与点重合时，直接写出的值； (2)在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)求的值（用含的代数式表示）． 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B 二、填空题 9． 10． 11．0.875 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解：设每套基础款卡通徽章的成本为元，则每套限定款卡通徽章的成本为元， 根据题意，得 ， 解得， 则， 答：每套基础款卡通徽章成本为元，每套限定款卡通徽章成本为元； （2）解：设售出基础款卡通徽章套，则售出限定款卡通徽章套，总利润为元，基础款单套利润为（元），限定款单套利润为（元）， ∴总利润 ， 根据题意，基础款销售量不少于限定款的，可得， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，取得最大值， 将代入得（元）， 答：此次义卖的总利润最高是元． 14．【详解】（1）解：设每本笔记本的进价为a元，每支中性笔的进价为b元，根据题意得： ， 解得， 答：每本笔记本的进价为10元，每支中性笔的进价为4元； （2）解：已知购进笔记本本，则中性笔数量为支，根据题意得： ， ∵笔记本数量不少于中性笔数量的， ∴， 解得：， ∴，为整数， ∵是一次函数，且， ∴函数值随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为（元）； （3）解：由（2）可知，，根据题意得：， 解得：， 又由（2）知，，故， ∵为整数， ∴的最大值为166， ∵，w随x的增大而增大， ∴的最大值为（元）． 15．【详解】（1）解：①∵， ∴填表如下： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②∵， ∴小天从体育馆返回家的速度为； ③当时，小天匀速骑行的速度为； ∴； 当时，； 当时， 设，将点，代入， 得， 解得， ∴， 综上所述，； （2）解： ∵小天妈妈的速度为， ∴设，将代入得， 解得， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得， ∴． 16．【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，设线段的表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， ∴段的速度也为， 根据题意可知，点， ∴设线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点F所对应的x值， ∴， ∴， 解得，即， ∴小明、小丽第二次相遇时x的值为22.5． （3）解：当时，得， ∴， ∴当时，恰好在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得，， ∴当时，若，x的值为20.5或24.5． 17．【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时， ∴， ， ∵ ∴， ∴， ； （3）解：如图， 当时，，，则； 当时，同理可求； 当时，则, ∵，，， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵点向点的平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位， ∴点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到 综上，点的坐标为或或． 18．【详解】（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； ②∵直线：（）与轴相交于点， ∴当时， ∴， ∵轴， ∴轴， 当点与点重合时，， 将代入得，， ∴ ∴； （2）解：的值是定值，这个定值为； 理由如下： 由可知直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， ∵轴，点在直线：上， ∴点的坐标为， ， ， ， ； 故的值是定值，这个定值为； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为 联立直线表达式可得，， 解得， 点的坐标为， 当点在线段延长线上时， ， ∴ 当点在线段上时， ， ∴同上：； 当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上：． 学科网（北京）股份有限公司 $