精品解析：四川省资阳市安岳中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

四川省资阳市安岳中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间共120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 用科学记数法可将0.0000025表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线平分每一组对角 C. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 平行四边形的对角线互相平分 4. 把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小 D. 缩小3倍 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 当时， D. y随x的增大而增大 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（ ）象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论： ①与的面积相等； ②与始终相等； ③四边形的面积大小不会发生变化； ④． 其中所有正确结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 2 二、填空题（本题共6个小题，每题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是______________. 13. 若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝(k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____．(用“＜”连接) 14. 已知，求＝__________． 15. 若将直线向右平移m个单位，使得平移后的直线经过点，则m的值为___． 16. 设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值_________． 三、解答题（本题共8个小题，共86分，解答时要求要有适当的解题过程和演绎推理） 17. 计算 （1） （2） 18. 关于x的方程：－＝1. (1)当a＝3时，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求a的值． 19. 先化简，再求值：计算，再从-2、0、2、3四个数中选择一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线与BC的延长线交于点E，与交于点F． （1）求证：； （2）若点F为的中点，于G，且，求的长． 21. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点． （1）①求反比例函数和一次函数的表达式； ②根据图像直接写出的的取值范围 （2）求的面积 （3）点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 23. 阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． （1）分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式分别化为带分式； （3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 24. 五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省资阳市安岳中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间共120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 用科学记数法可将0.0000025表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：． 2. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵的值为0， ∴且， 解得． 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线平分每一组对角 C. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A.两组对边平行的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意； B. 平行四边形的对角线不一定平分每一组对角，原选项是假命题，不符合题意； C. 平行四边形是中心对称图形，原选项是假命题，不符合题意； D. 平行四边形的对角线互相平分，原选项是真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的定义和性质，解题关键是熟记这些知识，准确进行判断． 4. 把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小 D. 缩小3倍 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将都扩大3倍后，得到的新分式为 ∴新分式的值与原分式的值相等，即分式的值不变． 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 当时， D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【详解】解： A．当时， ，图象不经过，错误． D．函数中，，y随x的增大而减小，错误． B．，，图象经过第一、二、四象限，错误． C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，正确． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质、一次函数的图象性质等知识点，熟练掌握反比例、一次函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合． 故选：B． 7. 王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将王大爷的运动过程分为三个阶段：去公园、在公园休息、回家，分别分析各阶段离家距离随时间的变化情况，确定关键的时间节点和图像走势即可． 【详解】解：王大爷从家出发走到离家的公园，第一阶段图像为从上升到的线段； ∵在公园休息了， ∴第二阶段离家距离不变，时间从持续到，图像为平行于轴的线段； ∵用返回家中， ∴第三阶段离家距离从减小到，时间从持续到，图像为下降的线段； 观察各选项，只有A选项符合上述特征． 8. 已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（ ）象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质求出m的取值范围，再判断点P的横纵坐标符号，最后根据关于y轴对称的点的坐标特征判断所在象限． 【详解】解：∵反比例函数中，随的增大而减小， ∴比例系数， 解得， ∴，， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，点P在第二象限， ∵点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于y轴的对称点的横坐标为正，纵坐标为正， ∴在第一象限． 9. 函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论： ①与的面积相等； ②与始终相等； ③四边形的面积大小不会发生变化； ④． 其中所有正确结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由于是反比例函数上的点，可得出故①正确；当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论． 【详解】解：∵是反比例函数上的点， ，故①正确； ∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误； ∵P是的图像上一动点， ∴矩形的面积为4， ∴，故③正确； 连接， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 10. 若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得a的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和． 【详解】 解不等式①得：；解不等式②得： 由题意知不等式组的解集为： ∵恰好有三个负整数解 ∴ 解得： 解分式方程得： ∵分式方程有非负整数解 ∴a+1是4的非负整数倍 ∵ ∴ ∴a+1=0或4或8 即或3或7， 即 综上：或7， 则 故选：A 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于a的不等式是本题的难点与关键． 二、填空题（本题共6个小题，每题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件这一知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，分母不为0列出不等式求解． 【详解】在函数中，因为分式的分母不能为0， 所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 故答案为：． 12. 如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，先根据平行四边形的性质求得的度数，再由根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平行四边形 故答案为：． 13. 若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝(k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____．(用“＜”连接) 【答案】y2＜y1＜y3 【解析】 【分析】由k2+3恒大于0可判断反比例函数图像在每个象限y随x的增大而减小，故可先判断在第三象限的点A、点B纵坐标大小，再根据点C在第一象限，可直接得出答案. 【详解】∵k2+3恒大于0， ∴反比例函数图像在每个象限y随x的增大而减小，且经过一三象限， ∵-2<-1<0， ∴点A(－2，y1)，B(－1，y2)位于第三象限 且y2<y1<0 ∵1>0 ∴点C(1，y3) 位于第一象限 所以y3>0 ∴y2<y1< y3 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题关键是发现k2+3恒大于0，即可解题.但要注意三点不在同一象限，所以要分步去比较. 14. 已知，求＝__________． 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意利用分式的运算法则对条件变形得出，进而整体代入结论即可求出答案. 【详解】解：由题意可知，即， 则有. 故答案为：. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键. 15. 若将直线向右平移m个单位，使得平移后的直线经过点，则m的值为___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵将直线向右平移m个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故答案为：1． 16. 设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据题意求出三角形面积的式子是解答此题的关键． 根据直线的解析式求出直线与两坐标轴的交点坐标，进而用含k的式子表示出直线与两坐标轴围成的三角形的面积，并将式子变形，最后令k分别等于进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 当时， 解得， ∴三角形面积 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共86分，解答时要求要有适当的解题过程和演绎推理） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：     ． 【小问2详解】 解： ． 18. 关于x的方程：－＝1. (1)当a＝3时，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求a的值． 【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3. 【解析】 【分析】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可, （2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值. 【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1, 方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1， 解这个整式方程得x＝－2， 检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0， ∴x＝－2是原分式方程的解． (2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1， 若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1， 将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3. 【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键. 19. 先化简，再求值：计算，再从-2、0、2、3四个数中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，然后再算减法，最后选一个使分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解： = = = = = ∵a=-2、2、3时，原式无意义， ∴a只能取0， ∴原式==-1． 【点睛】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分.同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线与BC的延长线交于点E，与交于点F． （1）求证：； （2）若点F为的中点，于G，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的平分线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，可得，进而可得，即可证明，进而证明结论； （2）根据平行四边形的性质可知，进而得到，然后利用勾股定理和等腰三角形的性质可得、，再证明可得，最后根据求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵F为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识点，熟练掌握相关知识是解题关键． 21. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20； （2）能，理由： 设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）略 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点． （1）①求反比例函数和一次函数的表达式； ②根据图像直接写出的的取值范围 （2）求的面积 （3）点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1）①，；②或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①先把代入求出m确定反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出n，确定C点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式； ②根据图象求得即可； （2）由直线的解析式求得B点的坐标，求得，然后根据即可求得； （3）取点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，则，此时的周长取得最小值． 待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：①∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵，在一次函数上， ∴， 解得， ∴一次函数； ②即 由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ． 【小问3详解】 解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则， ∴的周长，即此时的周长取得最小值． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ， 当时，， 解得， ∴． 23. 阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． （1）分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式分别化为带分式； （3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】（1）假分式 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，分式是假分式； 【小问2详解】 解：； ． 【小问3详解】 解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 24. 五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】（1）A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 （2）该商店共有5种进货方案 （3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【解析】 【分析】（1）设种商品进价为元，根据用固定金额购进两种商品数量相同列分式方程求解 （2）设购进种商品件，根据资金限制和数量关系列一元一次不等式组，通过整数解的个数得到进货方案数． （3）先推导总利润关于的一次函数，根据一次函数的增减性，结合的取值范围分类讨论，得到总利润最大的进货方案． 【小问1详解】 解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元． 【小问2详解】 解：设购进种商品件，则购进种商品件． 由题意得：， 解得， ∵为正整数 ∴， ∴共5种不同的进货方案； 【小问3详解】 解：设销售40件商品总利润为元．由题意得： 的实际售价为，每件的利润为； 的售价为，每件的利润为． 则 整理得： ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $