2026年九年级中考数学反比例函数综合35题-考前必刷

反比例函数综合-考前必刷35题 1．正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 【答案】(1)， (2)①10；② 【来源】2026年山东济南市历下区九年级数学学情调研（2026.04） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，设点，，其中，求出长，利用两点间距离公式求出长，最后利用求解即可； ②根据等腰三角形的性质的得到，设，则，求出、和长，利用列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 将代入得：， 解得：； （2）①解：由题意得：轴， 如图，过点作于点， 平分， ， 由（1）知，， 设点，，其中， 、， ； ②解：由（1）知，， 是以为底的等腰三角形， ， 设，则，其中， 、、， ， ， 解得：或（舍去）， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、两点间距离公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求和直线的解析式； (2)点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【来源】四川成都市龙泉驿区2025—2026学年下学期期中考试 九年级数学试题 【分析】（1）将代入求出m，设直线的解析式为，将A，C，的坐标代入求解即可； （2）①先确定只有一种情况，作轴于点，证得求出，得，再求出所在直线的解析式，与反比例函数联立方程求解即可；②设点，过作轴，过作轴，利用，求出，过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点，利用求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中， 当和相似时，则中必须有一个角是 ∵是公共角，在第一象限，在轴正半轴 ∴只有一种情况， 作轴于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 在和中： ∴ ∴，即，解得， ∵点在轴上，且在点右侧， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 则解得：， ∴所在直线的解析式为， ∵点是直线与反比例函数的交点 联立方程： 整理得： 解得： 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴ ②设点， 过作轴，过作轴 ∵，，点在直线下方， ∴，， ∴，，，，， ， 过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点， ∵点在直线上，则点的坐标是， ∴， ∴点到直线的距离是，点到直线的距离是， ∴ ， ∵， ∴ 即 解得或 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴． 3．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，为线段的中点，记点所在的曲线为． (1)求曲线的解析式； (2)直线，与曲线的两支交于点，，设直线与轴正半轴的夹角为（为锐角）． ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见详解，② 【来源】广东 广州市岭南画派纪念中学2025-2026学年第二学期九年级综合练习 数 学 【分析】本题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、中点坐标公式、两点间距离公式及三角函数的应用，解题的关键是利用中点坐标公式求出点的轨迹方程，掌握两点间距离与坐标差的关系． （1）中由矩形的顶点坐标，用中点坐标公式求点坐标，消去参数得曲线的解析式； （2）①中由直线与轴正半轴夹角为，过分别作轴、轴垂线，利用三角函数定义，，变形即得；②中当时，联立直线与反比例函数，用韦达定理求，代入，由，在直角三角形中，设角的邻边为，对边为，由勾股定理求斜边为，得，再求的范围． 【详解】（1）解：四边形为矩形， 对角线的中点的坐标为， 设，则， ， ， ，即， ， 曲线的解析式为； （2）解：①过点作轴于，过点作轴于，过点作于点， 则，轴， 直线与轴正半轴的夹角为（为锐角）， ， 在中， 由三角函数定义：， ； ②当时，直线， 联立与 ， ， 由， 由韦达定理：， ， 为锐角， 在直角三角形中，设角的邻边为，则对边为， 由勾股定理，斜边， ， 直线与曲线的两支都相交， 方程的两根异号，即恒成立， 又恒成立， 可取任意实数， 当时，， 的取值范围为． 4．在数据可视化场景中，定义一种m阶界点重构函数：对于函数，按如下规则构造新函数，称为的阶界点重构函数．例如：当时，函数经2阶界点重构变换后：当时，；当时，；得到界点重构函数 (1)一次函数的2阶界点重构函数表达式是______； (2)反比例函数经2阶界点重构变换后为，若直线与的图象交于两点，且这两点间的距离为6，求的值； (3)已知点是二次函数的4阶界点重构函数图象上的一点，点是的4阶界点重构函数图象上一点，若轴，设的横坐标为，长为，求当时，的值； (4)已知二次函数，点、连接，，若线段与二次函数的阶界点重构函数图象只有1个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或5 (4)或． 【来源】辽宁阜新市海州区2025-2026学年九年级下学期素质测评数学试卷（一） 【分析】（1）因为题目给出了m阶界点重构函数的定义，所以需要分和两种情况，分别代入原一次函数和的形式，得到对应的表达式． （2）首先根据定义写出反比例函数的2阶界点重构函数的分段表达式；因为直线与交于两点，所以需要分和两种情况讨论，结合两点距离为6，利用反比例函数的性质和两点距离公式建立方程求解． （3）先分别根据定义求出和的分段表达式；因为轴，所以P、Q两点横坐标相同为t，需要分和两种情况，分别求出P、Q的纵坐标，再根据建立方程求解． （4）先根据定义写出二次函数的m阶界点重构函数的分段表达式；因为线段与图象只有1个公共点，所以需要分m与线段横坐标范围的关系，结合二次函数的图象性质，分析线段与两段函数图象的交点情况，确定m的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ； （2）解：反比例函数的2阶界点重构函数为， 把代入中， 当时，,； 当时，，． 时，恒小于0， ，解得：； 值为（如图）． （3）解：当时，函数经４阶界点重构变换后： 当时，； 当时，； 得到界点重构函数， 当时，函数经４阶界点重构变换后： 当时，； 当时，； 得到界点重构函数， 分两种情况： ①当时， 点在的图象上， ， 点在的图象上，且轴， ， 长：， ②当时，点在的图象上， ， 点在的图象上，且轴， ， 长：， 关于的函数表达式：，（为全体实数） 当时，即， 解得或． 综上值为或5（如图）． （4） 解：函数经m阶界点重构变换后： 当时，； 当时，； 得到界点重构函数， 即， 顶点坐标分别为与， 图象开口向下且，则恒大于， ∴分三种情况： ①当时，左段，当时，与线段无交点. ∴把代入右段函数中， 整理得，解得（舍)， 把代入中， 整理得, 解得（舍），． （如图）． ②当时，左段：令， ∴， ， ∴，取， ∵，且, ∴，且 去分母，整理，得，且， 平方，整理，得且， 又∵， 又∵，解得，或， ∴时，左段与线段MN有一个交点； 右段：时，，且， 当时， ∵右段对称轴为， 函数上和函数值相等的点的横坐标为， ∴， ∴右段不与线段相交． ∴； ③当时，右侧时，与线段MN无交点． 把代入左侧函数中， 整理，得， 解得（不符合题意）， 把代入中， 整理，得， 解得（不符合题意）． 即此情况下，函数与线段MN无交点． 综上，的取值范围为：或． 5．平面直角坐标系中，点，是反比例函数（）图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为，（）． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形，理由见解析 【来源】2026年江苏省泰州市泰兴市九年级数学试卷（一模） 【分析】（1）根据题意得出，，以及的坐标，进而求得直线的解析式，过点作轴，交于点，过点作，过点作，求得，根据，即可求解； （2）方法1：连接，过点作轴，过点作轴，根据勾股定理分别表示出，根据，得出，化简即可求解．方法2：过点作轴，分别过点，，作，，证明，根据相似三角形的性质列出关系式，化简即可求解； （3）方法1：作点关于轴的对称点，连接，，，证明，即可求解；方法2：过点作轴，过点作轴，先证明得出则，分别表示出，根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，，， ． 设直线，代入 ∴，解得：， ∴， 过点作轴，交于点，过点作，过点作， 当时，， 点， ， ． （2）连接，过点作轴，过点作轴， ，， 中，， 中，， ，化简得， ， ， ． 方法2： 过点作轴，分别过点，，作，， ∴，则 ∴， ，即， 化简得， ， ， ． （3）直角三角形． 理由如下：方法1：作点关于轴的对称点，连接，，， ， ， 的坐标为， 点和点关于轴对称， ，与也关于轴对称， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 点和点关于轴对称， 轴， ， ，即， 以，及为边组成三角形是直角三角形． ∴以，及为边组成三角形是直角三角形． 方法2：过点作轴，过点作轴 ， 设直线，将和代入， 求得， 点坐标为． ∵， 所以， ，即， 化简得， ． ， ， ， ， 以，及为边组成三角形是直角三角形． 6．如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接． (1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上； (2)猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比． 【答案】(1)，点在直线上； (2)，见解析； (3)与矩形的面积比为． 【来源】广东省惠州市 2025-2026 学年初中九年级学业质量检测 数 学 【分析】（1）根据矩形的性质求出，，设直线的函数解析式为，代入，即可求出直线的函数解析式，将代入直线的函数解析式即可判断点是否在直线上； （2）先根据矩形性质得到，，通过三角形外角和性质得到，再通过等边对等角得到，最后根据平行性质推出，最后等量代换即可求解； （3）先延长交轴于点，过点作于点，根据的坐标为，求出，，再根据（2）中，得出，从而求出，然后设，根据勾股定理求出，接着证明，求出、，最后根据矩形的性质和反比例的性质求出点、点的坐标及的长度，最后分别求出与矩形的面积，在进行面积比即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴， ∵设直线的函数解析式为，并将代入， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵将代入函数解析式，得， ∴点在直线上； （2）猜想，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， 由（2）中可知，， ∴， ∵由（2）可知 ∴，则 ∵在中，， ∴， ∵设， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵由，， ∴， ∴，即， 解得，（舍）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点， ∵矩形， ∴，将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∴与矩形的面积比为． 法二：如图，延长交轴于点，取中点，连接， ∵矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， ∴， ∵在中，设，则， ∴根据勾股定理， ∴， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍），（舍）， ∴ ∴， ∴与矩形的面积比为 7．如图1，矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点D，． (1)当时，则的值为______； (2)如图2，连接，将沿翻折，若点B刚好落在轴上的点处时，连接，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】广东珠海市文园中学2026中考第一次模拟考试 九年级数学试卷 【分析】（1）利用矩形的性质可得轴，轴，根据点的坐标可得，再结合，得到，得到，点的横坐标为，即可求出反比例函数的解析式，即可求出点的纵坐标，即可解答； （2）分别过D，E作于G点，于H点，根据反比例函数k的几何意义，得到，结合矩形的性质可得，设，则，，求出，证明，得到，求出，结合，即可证明． 【详解】（1）解：矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上， ∴， ∵， ∴， ∴，点的横坐标为， 将点代入反比例函数， ∴，解得， ∴反比例解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分别过D，E作于G点，于H点， 则， ∵， 则， ∴， 设，则，， ∴， ∵翻折 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即为等腰三角形． 8．反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【来源】广东东莞市长安振安初级中学2025—2026学年下学期九年级数学综合训练（一） 【分析】（1）结合反比例函数和正比例函数的交点，得出点与点关于原点对称，，证明，利用相似三角形的性质得出，即可求出的值； （2）设，表示出相关点的坐标，然后表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数得出，利用平行线的判定定理即可得出结论； （3）令，则，求出线段的解析式为，联立解析式求出交点坐标，然后分别求出相关线段的长度，求其比值判定是否为黄金分割点即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得（负值已舍）， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 9．在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； (3)点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【来源】四川成都市青羊区2025-2026学 九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，函数和几何图形的结合，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴，交于点N，联立解析式求出交点坐标，然后根据三角形面积公式列出方程求解，最后根据勾股定理求线段长度即可； （3）根据一次函数和反比例函数的图象和性质，结合几何图形的性质，证明全等三角形得出相等的边，求出点的坐标，求出相关函数的解析式，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， 又过点， ， ∴，代入得， ， ∴； （2）解：作轴，交于点N， 设， ， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ， 解得：，（舍）， ∴由勾股定理得； （3）解：如图，连接， 由，可得，， ， 又 ， 又， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 又∵，根据的内角和为得： ， 过点O作， ∴，则点Q，D落在直线上， 过点A作轴于点E，轴于点F， ，， 又， ， ， ∴， 又， ∴， ， 假设直线的解析式为，将和代入解析式得， 解得， ， 联立解析式， ， 解得或（舍去） ， 当时，， ∴， 又，，，根据轴对称得， ， 同理，利用待定系数法可得， ， 联立解析式得， ， 解得或（舍去）， ， ，． 10．定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①点在某一函数图象上运动，；②或． 【来源】四川省四川师大附中教育集团2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷 【分析】（1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； （2）解：①点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ②当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键. 11．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不是定值 (3)，理由见解析 【来源】福建省宁德市蕉城区2025-2026学年上学期九年级数学期中质量检测卷 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数面积问题； （1）联立，整理得，在根据一元二次方程根与系数的关系得到； （2）先求出，，再根据，由，，求出，据此判断即可； （3）先求出，，再根据，得到，则． 【详解】（1）解：方法一：根据函数图象可得在第一象限，在第三象限， ∴， ∴； 方法二：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴联立，整理得， ∴和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，，则，； 当时，，则，； ∴ ， 由（1）可得，， ∴， ∵的值不确定， ∴的值不确定， ∴的值不确定， 即的面积不是定值； （3）解：，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 12．已知菱形对角线，，以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线恰好经过边的中点，过直线上的点P作直线轴，交双曲线于点Q． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)双曲线与直线交于M、N两点，试求线段的长； (3)是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【来源】浙江省东阳市2014-2015学年下学期期末考试八年级数学试卷 【分析】（1）根据菱形的性质得到，于是得到B，C，D的坐标，求得的中点，于是求得，由待定系数法即可求出直线的解析式为； （2）列方程得到，于是得到，，如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E，根据勾股定理即可得到结论； （3）由直线轴可得轴，，当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形，设，，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形为菱形 ，， ，，， 中点为，在反比例函数上， ， ， 设直线的解析式为，B、C两点坐标代入， ， 解得：，， ； （2）令，解得， 当时，； 当时，， ∴，， 如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E， 可得，， 由勾股定理可得 （3）由直线轴可得：轴， ， 当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形， 设，， ①当点Q在点P上方时：，解得， 可得：，； ②当点Q在点P下方时：，解得， 可得， 综上所述：以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，，， 【点睛】本题考查了菱形的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025年四川省成都市中考数学模拟测试题二 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，在坐标轴上，对角线相交于点P，点B的坐标为，双曲线分别交矩形的边，于D，E两点，连接，，． (1)若双曲线经过点，求该双曲线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)若点D为线段上除B，C外的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【来源】2024年广东省中考数学模拟试卷1 【分析】（1）根据矩形的性质及点的坐标，即可求出点的坐标，代入双曲线的解析式，即可求出的值，即可求出答案； （2）根据双曲线的解析式即可求出点，点的坐标，即可得到线段的长度，即可利用矩形的面积减去三个三角形的面积求出答案； （3）根据双曲线分别交矩形的边于两点，通过设点的坐标为，即可得到点的坐标为，即可得到线段的长度，即可得到，从而判断出，即可得到，故判断出结论成立． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ， ∵点是对角线的交点， ∴点的坐标为． ∵双曲线经过点， ， ∴该双曲线的函数解析式为． （2）解：∵双曲线分别交矩形的边于两点， ∴点的坐标为，点的坐标为． ， ∴， ， ． ∴的面积为． （3）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴设点的坐标为， 则该双曲线的函数解析式为， 则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、平行线的判定，矩形的性质以及相似三角形的判定方面的知识，属于综合型较强的题型，找到彼此间的联系是解决该类型题型的关键． 15．已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； (3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作 轴，交图形于，求的最大值． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为． (2)． (3)1 【来源】江苏省泰州中学附属初级中学2024-2025学年下学期九年级数学三模试题 【分析】（1）先将点代入反比例函数求出，再代入点求出，最后将、代入一次函数求解表达式． （2）先求出一次函数与坐标轴交点、，再根据对称性质求出、坐标，进而求的长． （3）设出点坐标，结合对称性质表示相关点坐标，得出的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴ ， ∴ ， ∴反比例函数表达式为． ∵点在上， ∴ ，即． ∵一次函数过、， ∴ ，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：对于一次函数， 令，则， ∴； 令，则，解得， ∴． ∴， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于，则四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∴，， 对于，当时，，解得，当时，， ∴ ， ， ． （3）解：设（），令交直线于点，过作轴，交反比例函数于点R， ∵，，轴， ∴， ∵ 轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∴和关于对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴点和点关于直线对称，即， ∵设（）， ∴，， ， ， 当时有最小值，即取最大值， 此时最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，包括函数表达式的求解、图形的对称以及最值问题，熟练掌握函数的性质、对称的性质以及利用二次函数求最值是解题的关键． 16．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为． ①求正比例函数及反比例函数的表达式； ②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【答案】(1) ①正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为 ②存在，或 (2)见解析 【来源】2025年四川省成都市新都区中考数学二诊试卷 【分析】本题是反比例函数综合题，考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出正比例函数及反比例函数的表达式即可； ②设点的坐标为，将的面积转化为梯形面积，根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，设点的坐标为，点的坐标为，根据矩形的性质用、表示出点、的坐标，求出直线的解析式，判断得到，，三点共线，根据矩形的性质得到，得到，证明，进而得到． 【详解】（1）解：①把点的坐标代入得， ， 正比例函数的表达式为， 把点的坐标代入得， ， 反比例函数的表达式为． ②设点的坐标为， 过作轴于，过作轴于， ∴， 解得或（负值舍去）， 当时，； 当时，； 在反比例函数图象上存在点，使，或； （2）证明：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，设交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意得：四边形为矩形， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点在直线上，即，，三点共线； 轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．已知反比例函数经过矩形，交于点E，交于点 (1)如图1，若反比例函数图象经过的中点D，已知，，求此反比例函数的解析式； (2)如图2，将沿着折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，若，求的值； (3)若将矩形沿对折，点A恰好与点C重合，连接，点B、G关于对称，点B，G的横坐标分别为m，，以点O为圆心，长为半径作若，当与相切时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025年广东省珠海市紫荆中学中考数学三模试卷　 【分析】（1）根据题意可得，由点D是的中点，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （2）设，则，再利用折叠性质及解直角三角形得出点F的坐标，联立方程得出，即可求得答案； （3）当时，，，由折叠得出矩形是正方形，再由轴对称得出四边形是正方形，设与交于点T，再利用切线的性质即可求得答案． 【详解】（1）四边形是矩形，，， ， 点D是的中点， ， 反比例函数点D， ， 反比例函数的解析式为， （2）设，则，如图， 将沿着折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，，， ，， ， 在中，， 当时，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）当时，，， 将矩形沿对折，点A恰好与点C重合， 矩形是正方形， ，，， ， 又， 是等腰直角三角形， 点B、G关于对称，点G的横坐标为n， 四边形是正方形， ，， 如图，设与交于点T，则， ， ， 以点O为圆心，长为半径作与相切， ， ， ， 解得：或舍去， 的值为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，两点间距离公式，切线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 18．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【来源】2025年广东中考数学试题 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 19．反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)点所在的函数表达式为 (3)矩形的面积为6 【来源】江苏泰州市省兴化市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（1）将点和点代入，解答即可． （2）作轴，轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可． （3）在上取点，使得，作轴，轴，根据旋转性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得． （2）解：作轴，轴，    根据题意，得 ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， 设， ， 点所在的函数表达式为． （3）解：方法①：    在上取点，使得，作轴，轴， 由旋转得， ， ， 即四边形和四边形为矩形， ， 设， 矩形的面积矩形的面积． 方法②：    设，作，交延长线于点， 为等腰直角三角形， 点， 直线的函数表达式为， 设， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键． 20．曲线的应用是广泛的，在历史的长涧中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初三某班的数学学习小组尝试对反比例函数相关的几何问题进行探究： (1)如图1，A、C是反比例函数图像上的两点，A、C的横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点． (2)如图2，P是第一象限内一点，射线与反比例函数图像交于点A，以A为圆心，为半径作圆，交反比例函数图像于点C，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，连接，点M在x轴正半轴上．请探究：与满足怎样的数量关系，并证明． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，请探究：是否存在点A，使；若存在，求此时的面积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)存在； 【来源】2025年福建省福州市第一中学九年级校模拟考数学试卷 【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论； （2）连接，，设与交于点N，连接，设点，，则，，证明O、B、D 三点共线，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，得出，即可得出答案； （3）连接，交于点N，延长，交y轴于点E，得出，证明，得出，设，则， ，求出，根据点C在反比例函数图像上得出，求出，根据完全平方公式变形求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）解：；理由如下： 连接，，设与交于点N，连接，如图所示： 设点，，则，， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴O、B、D 三点共线， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵以A为圆心，为半径作圆，交反比例函数图像于点C， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：存在；； 连接，交于点N，延长，交y轴于点E，如图所示： 根据解析（2）可知：点B在上，，， ∴， ∴当时，， ∴，， ∴， ∴当时，， 即存在点A，使； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， ∴， ∵点C在反比例函数图像上， ∴， 整理得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形面积计算，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 21．【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形，，对角线，相交于点，，反比例函数与矩形交于点H，G，． 【问题解决】 (1)求反比例函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，过点作于点于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】广东省东莞市石碣新民学校2025年中考数学原创信息卷（三） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据矩形的性质和勾股定理得出，由得，可得，从而可求出反比例函数的解析式； （2）直接根据正切的定义求解即可； （3）连接，根据三角形面积关系得到，即，从而可求出的值． 【详解】（1）解：在矩形中， ∵，，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，即， 将点代入中，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴ （3）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由（1）知，， ∴ ， ∴， ∴． 22．如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①；②直角三角形，见解析 【来源】广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 - 【分析】（1）根据k的几何意义和三角形面积公式即得； （2）根据，，即得； （3）①设点，，得，得，解得，得点，点得直线的解析式为： ，得，由，得四边形为平行四边形，②设点，则点，得，得，同理，设点，则点，设直线交x轴于点H，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形． 【详解】（1）解：； 故答案为：1； （2）证明：点C，D在反比例上， ， ， ， （3）解：①设点． 是线段的中点， ． 点C在反比例上， ． ． 解得． 点A在点B的左侧， ． 点，点． 设直线的解析式为， ． 解得：． 直线的解析式为． ， ． 轴，轴， ． 四边形为平行四边形． 由（2）得：，点，点， ． ②是直角三角形，理由如下： 设点， 则点． ． ， ． ． ． 同理，设点， 则点． ，． ． ． 设直线交x轴于点H，连接． 令，则． 点． 点， 轴． ． ． ， ． ， ． ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，是解此题的关键． 23．在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，其中，点，的横坐标分别为，． (1)若点，分别在第三、一象限，求的取值范围； (2)过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，记． ①在（1）的条件下，若，求的最小值； ②若，且，其中，为常数，是否存在的值，使不随的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①7；②不存在，理由见解析 【来源】2025年江苏省泰州市海陵区 中考一模数学试卷 【分析】（1）根据点，分别在第三、一象限结合横坐标得出，解一元一次不等式组即可得解； （2）①当时，点、的坐标分别为、，在（1）的条件下，，，，表示出，结合得出，从而可得当最大时，的值最小，由此计算即可得解；②由题意求出，从而可得与同号，再分两种情况当，，即：，时，、都在第一象限；当，，即：，时，、分别在第三、一象限；分别讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵点，的横坐标分别为，，点，分别在第三、一象限， ∴， 解得：； （2）解：①当时，点、的坐标分别为、， 在（1）的条件下，，，， ， ， ， 当最大时，的值最小， ， 当时，有最大值为， 的最小值为； ②， ， 又， ， 与同号， 第一种情况：当，，即：，时，、都在第一象限， 此时 ， 若要使不随的变化而变化，则要，，与矛盾，所以这种情况不存在； 第二种情况：当，，即：，时，、分别在第三、一象限， 此时 ， 若要使不随的变化而变化，则要，与矛盾，所以这种情况也不存在， 综合上所述，不存在的值，使不随的变化而变化． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、二次函数的性质、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求反比例函数表达式及点的坐标； (2)如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值． 【答案】(1)， (2)点N的坐标为或 (3) 【来源】2025年四川省成都高新区九年级数学中考二诊试题 【分析】（1）先由一次函数表达式求出A坐标，进而得到k值，再联立两个函数表达式求B点坐标即可； （2）先求出D点坐标和直线解析式，进而求得M坐标，可知，所以只需讨论是以为腰的等腰三角形即可得解； （3）过作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N，则，进而求出最大值即可得解． 【详解】（1）解：由题可知点A在上， ∴， ∴， 把代入， ∴，即反比例函数表达式为； 依题意，得， 则， 整理得 解得或， 经检验：或是原分式方程的解， ∵， ∴把代入，得 ∴； （2）解：∵点B和点D关于点O对称，且， ∴， 依题意，设直线表达式为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线表达式为， 令得，解得， ∵连接交轴于点 ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令，则，解得， ∴， ∵， 则， ， ∴； ∵以点，，为顶点的三角形与相似， ∴①若时， 则， 设 ∵， 则， 解得或（舍去）； ∴， ②时，此时， 设， 则， ∴， 解得， ∴， 综上，点N的坐标为或 （3）解：如图，过D作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N， ∵过D作轴，交延长线于点M，且 ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ 要使的值最小，则求最大值即可， 设 则， ∴， ∵ ∴ ∴ 则， 当且仅当时取等， ∴当（负值舍去）时，最大， ∵ ， 此时 ， ∴ ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数综合，涉及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长； (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为 (2)或 (3)， 【来源】2022年四川省成都市中考数学真题 【分析】(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标； (2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得； (3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入， 得，解得a=1， 故点A的坐标为(1,4)， 把点A的坐标代入， 得k=4， 故反比例函数的表达式为， ， 得， 解得，， 故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为； （2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得 ， 解得， 故点D的坐标为， ， ， 如图：当AD:CD=1:2时，连接BC， 得，得， 得， 解得或(舍去)， 故或(舍去)， 故此时点C的坐标为(-2,-2)， ， 如图：当CD:AD=1:2时，连接BC， 得，得， 得， 解得或(舍去)， 故或(舍去)， 故此时点C的坐标为 ， ， 综上，BC的长为或； （3）解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图 ∵ 设，，则 又 即 解得或（舍去） 则点 设直线的解析式为，将点， 解得 直线的解析式为 设，根据题意，的中点在直线上，则 ∵ 则 解得或（在直线上，舍去） ． 综上所述，． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键． 26．已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D． ①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线； ②若，求证：． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解． 【来源】四川省雅安市2021年中考数学真题 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可； （2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可； ②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK即可． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴该反比例函数的表达式为； （2）①设点C（），则B（2，），D（）， ∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=， ∴tan∠EBO=，tan∠DBC=， ∴∠EBO=∠DBC， ∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°， ∴点O，点B，点D三点共线； ②设AC与OD交于K， ∵AD⊥y轴，CB⊥y轴， ∴AD∥BC∥x轴， ∵AF⊥x轴，DH⊥x轴， ∴AB∥DC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AF⊥x轴，AD∥x轴， ∴AF⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=， ∵， ∴AO=AK， ∴∠AOD=∠AKO， 又∵∠AKO为△AKD的外角， ∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK， ∵AD∥OH ， ∴∠DOH=∠ADK， ∴∠AOD=2∠DOH． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点． （1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标； （2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值． 【答案】（1），D点横坐标为；（2） 【来源】湖南省株洲市2021年中考数学真题 【分析】（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标； （2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴A点横坐标为1, ∵A点在一次函数的图像上， ∴， ∴, ∵A点也在反比例函数图像上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵，直线轴， ∴D点纵坐标为t， ∵D点在直线l上， ∴D点横坐标为， 综上可得：，D点横坐标为． （2）直线轴，交于点，交图像于点， ∴E点纵坐标为t， 将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为， ∴，A点到DE的距离为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大=； ∴的最大值为． 【点睛】本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 28．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点． （1）如图1，过点作轴于点，连结． ①若，求证：四边形是平行四边形； ②连结，若，求的面积． （2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析 【来源】浙江省湖州市2021年中考数学真题 【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论； ②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解； （2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）①证明：设点的坐标为， 则当时，点的坐标为， ， 轴， ， ∴四边形是平行四边形； ②解：过点作轴于点， 轴， ， ， ， ∴当时，则，即． ； （2）解  不改变． 理由如下： 过点作轴于点与轴交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，OH=b， 由题意，可知四边形是平行四边形， ∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°， ∴， ， 即， ∴， ， 解得， 异号，， ， ． ∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化． ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 29．如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【来源】广东东莞市望牛墩中学2025-2026学年第二学期第一次模拟考试九年级数学试卷 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 30．我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 【答案】(1)直线是抛物线的亲密线，亲密点为． (2) (3)①；② 【来源】2026年春湖南长郡集团春季九年级毕业会考模拟数学练习卷（三） 【分析】（1）联立函数表达式，求解交点坐标即可判断是否为“亲密线”，得出“亲密点”； （2）设直线为，由交点问题得出方程，转成一元二次方程后由得出与的关系，再计算出面积表达式，代入求解即可； （3）①由交点假设出与的函数表达式，由“亲密线”概念得出、的表达式，结合方程的概念以及韦达定理得出，再代入求解即可；②设直线，故得方程，由韦达定理得，，结合①中，得，把，代入，化简后得方程，把，，代入方程，可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：联立，得， ∴， 方程有两个相等解为， ∴直线是抛物线的“亲密线”，“亲密点”为． （2）解：可设直线为， 变形为， 由题知，， 即， 直线分别与轴、轴交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：①设，， 令， 得方程， ∵，，， 由“亲密线”可知：， 即， ∴方程的解，（ⅰ） 同理可得：， 且，（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）知，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 当时，； ②由抛物线知， 设直线， 令， 即， 由韦达定理得，， 又知， ∴， 即， 把，代入， 得， 即， 把，，代入上式中， 得， 整理可得：． 31．在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接． (1)如图1，求的长． (2)点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为． ①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围； (3)约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②或； (3)当或时，使得． 【来源】辽宁省大连市2025年中考二模数学试题 【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）①利用平移的性质求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式为，再求得，，连接，作轴于点，根据旋转的性质结合解直角三角形求得点，据此即可证明结论成立； ②先求得，同理求得，判断出点的运动轨迹为，联立，计算即可求解； （3）分情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）①证明：∵将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，点的坐标为， ∴， 在中，，， ∴， 连接，作轴于点， ∵以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∵当时，， ∴点在该反比例函数图象上； ②∵线段与抛物线有公共点，点的坐标为，点在轴正半轴上，且， ∴， 由旋转的性质得， ∴点的运动轨迹为， 联立， 解得，， 即，， 解得，， 结合图象得或； （3）解：由题意，点，，，， 对于抛物线， 顶点坐标为，对称轴为直线， 对于点，， ∵， ∴， 当即时， ， 当即时，， 对于点，， 当点在点左侧时，，即， 当点在点右侧时，，即， 当时，， 当时，， 当时，若有， 则，解得； 当时，若有， 则， 整理得，，方程无解， ∴当时，不存在的值，使得； 当时，若有， 则， 解得（舍去），； 综上，当或时，使得． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程的求解，旋转的性质等．分类讨论是解答本题的关键． 32．定义：如果两个函数的图象没有公共点，我们称它们互为“无交函数”，如果有唯一的公共点，称它们互为“单交函数”，如果有两个不同的公共点，称它们互为“双交函数”，称两个公共点之间的距离为这两个函数的“双交值”． (1)下列三组函数：①与，②与，③与互为“无交函数”的是____，互为“单交函数”的是____，互为“双交函数”的是____；（填序号） (2)与（）互为“无交函数”，若直线与轴，轴分别交于点，，在的图象上是否存在一点，使的面积最小，若存在，请求出点的坐标及此时面积； (3)设，为正整数，且，关于的一次函数与二次函数和都互为“双交函数”，其“双交值”分别为，，若则一切实数恒成立，试求，的值． 【答案】(1)①；②；③ (2)，此时； (3)或． 【来源】2025年湖南省长沙市一中教育集团中考一模数学试题 【分析】（1）①令，得到直线与没交点；②令，利用根的判别式判断得直线与双曲线只有一个交点；③令，利用根的判别式判断得直线与抛物线有两个不同的交点，据此即可判断； （2）设，其中，过点作轴交直线于点，求得，求得，即的最小值为6，此时，据此求解即可； （3）先分别求出一次函数与两个二次函数、的方程，得到一元二次方程，求出两根之和与两根之积，再根据弦长公式得出、关于的表达式，由恒成立，将、表达式代入并整理成关于的二次函数恒大于等于的形式，根据二次函数性质，确定二次项系数大于且判别式小于等于，结合、为正整数求出、的值． 【详解】（1）解：①令， ∵， ∴方程无解， ∴直线与没交点， ∴与互为“无交函数”； ②令，整理得， ， ∴方程有两个相等的实数根， ∴直线与双曲线只有一个交点， ∴与互为“单交函数”； ③令，整理得， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个不同的交点， ∴与互为“双交函数”； 故答案为：①；②；③； （2）解：当时，， ∴，当时，， ∴， ∵点在的图象上， ∴设，其中， 过点作轴交直线于点， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵(当且仅当时取等)， ∴， 令，， 则(当且仅当时取等)， ∴，即的最小值为6， 此时， ∵， ∴， 经检验是原方程的解， ∴，此时； （3）一次函数与二次函数和都互为“双交函数” ， 整理得． 设其两根为，， 由韦达定理，， 根据弦长公式． ， 整理得． 设其两根为，，由韦达定理，， 根据弦长公式． 因为对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 整理得： 对一切实数恒成立． 所以， 由且为正整数， 可得． 又因为， 所以． 因为，为正整数且， 所以或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 33．希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下． 1．如图1，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合； 2．绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； 3．以P为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M； 5．连接，得到，这时． 【探究】小明在探究该方法时发现，先以P，R，M为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点Q与O，M共线后，即可推导出．请你根据以上思路帮助小明完成证明过程． 证明：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，Q（______），于是直线的解析式为______， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ，， 又， ，______， ． 【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明． 【应用】如图2，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合，另一边与函数交于点A，以A为圆心，为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段中点，连接，其中，，那么______． 【答案】[探究]，，；[拓展]见解析；[应用]8 【来源】2025年广东省深圳市光明区中考数学二模试题 【分析】[探究]根据小明的探究思路完成填空即可； [拓展]类似[探究]方法进行证明即可； [应用] 根据等边对等角和三角形内角和定理，可求出，由[拓展]可求：，则，过A作于M，于N，根据三线合一的性质求出，在中，根据余弦的定义可求出，在中，根据正弦的定义可求出，根据余弦的定义可求出，则求出点A的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】[探究]解：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：，，； [拓展]证明：如图2，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ， ， 又， ， ， ； [应用]解：P为中点，， ， 又， ， 由[拓展]知： ， ， 过A作于M，于N， ，， ， 在中，， 在中，，， ， 函数经过点A， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，明确题意，运用类比的方法求解是解题的关键． 34．在平面直角坐标系中，在函数S的图象上任找一点P，总能在函数T的图象上找到一点Q，使得点P与点Q关于直线对称，我们把函数S与函数T称为关于直线的对称函数，点P与点Q关于直线互为对称点，直线称为函数S和函数T的对称轴．例如点在函数的图象上，点在函数的图象上，点P与点Q关于x轴（直线）对称，函数与函数关于x轴（直线）互为对称函数． (1)函数关于直线的对称函数是 ； (2)若函数与函数是关于直线的对称函数，求这两个函数的对称轴； (3)若函数是函数关于对称轴直线的对称函数． ①当时，求函数关于对称轴直线的对称函数； ②已知点，点，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或． 【来源】2025年辽宁省铁市 铁岭县莲花第一初级中学中考二模数学试题 【分析】（1）设是函数的图象上一点，则可知点在函数关于直线的对称函数的图象上，据此可得答案； （2）设点是函数图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为，根据题意可得点在函数的图象上，据此求解即可； （3）①设点是函数的图象上一点，则 点一定在函数关于直线的对称函数的图象上，设是函数的图象上一点，则点一定在函数关于直线的对称函数的图象上，据此可求出； ②同理可求出；在中，当时，，分别求出当点恰好在函数的图象上时，当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时，当点恰好在线段上时，当点恰好在函数的图象上时，四种情况下m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设是函数的图象上一点， ∵关于直线的对称点的坐标为， ∴点在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； （2）解；设点是函数图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∵函数与函数是关于直线的对称函数， ∴点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴这两个函数的对称轴为； （3）解：①设点是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； 设是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为， 综上所述，； ②设点是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； 设是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为， 综上所述，； 在中，当时，， 如图3-1所示，当点恰好在函数的图象上时， ∴， 解得； 如图3-2所示，当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时， ∴， 解得； 如图3-3所示，当点恰好在线段上时，则，解得； 如图3-4所示，当点恰好在函数的图象上时， ∴， 解得； 综上所述，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于根据轴对称的性质得到对应函数的对称函数． 35．定义：在平面直角坐标系中，若点变换得到点，则称点Q是点P的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． (1)下列点的“变换点”在x轴上的是______． ，，； (2)已知，点D的“变换点”是点E． ①若点D在反比例函数的图像上，试判断的形状，并说明理由； ②某一次函数的图像记为L，若点D在L上，点E在一次函数的图像上，求L的函数表达式； (3)点F是二次函数图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数的图像上，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①等腰直角三角形，理由见解析；② (3)或 【来源】2025年江苏省泰州市姜堰区中考二模数学试卷 【分析】本题主要考查了一次函数与几何变换，反比例函数与几何变换，二次函数与几何变换，等腰直角三角形的判定定理，勾股定理及其逆定理，正确理解“变换点”的定义是解题的关键． （1）根据定义分别求出各个点的“变换点”即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可证明，则由勾股定理的逆运算可得到结论； （3）设，则，则有，可得，根据，得到或，据此根据二次函数的性质求出在或时的函数值取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，在x轴上； ∴只有的“变换点”在x轴上； （2）解：①的等腰直角三角形，证明如下： 设，则， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形； ②设，则， ∵点E在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴在直线的图像上，    即L的函数表达式为； （3）解：设，则，即， ∵G在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 令， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 在中，当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； 当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； ∵，且或， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数综合-考前必刷35题 1.正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=竖(x>0)的图象交于点A(m4). A B D 图1 图2 (1)求m和k的值： (②)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m,过点B作x轴的垂线，交直线OA于点 C,交x轴于点D. ①如图1，连接0B,当OB平分∠AOD时，求△OBC的面积： ②如图2，连接AB,当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点B的坐标. 试卷第1页，共3页 2.如图，在平面直角坐标系中，直线1分别与x轴，y轴交于A(一10)，B两点，与反比 例函数y=是(x>0)的图象交于点C(1,m). D 图1 图2 (1)求m和直线的解析式； (2)点P在直线1下方且在反比例函数y=是(x>0)的图象上，连接CP, ①如图1，延长CP交x轴于点D,当△ABO和△ACD相似时，求点P的坐标； ②如图2，连接PAP0,C0,当3S△PAc=4S△P0c时，求点P的坐标. 试卷第1页，共3页 3.在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABC为矩形，A(xo0),B(xoY,), C(0,yg),xy。=4,P为线段AC的中点，记点P所在的曲线为C (1)求曲线C的解析式： (2)直线！：y=kx+b(k>O),与曲线C的两支交于点M(xy),N(x2y2),设直线 1与x轴正半轴的夹角为日(6为锐角). ①求证：MN==图 cose ②若k=2,求MN的取值范围. 试卷第1页，共3页 4.在数据可视化场景中，定义一种m阶界点重构函数：对于函数y=f(x),按如下规则 1f(x)(x<m) 构造新函数y={f(m-X)(x≥m),称y为f(x)的m阶界点重构函数.例如：当 m=2时，函数y=x+1经2阶界点重构变换后：当x<2时，y=x+1;当x≥2时， 1x+1(x<2) y=(2-x)+1=一x+3;得到界点重构函数y= -x+3(x≥2) (备用图1) (备用图2) (1)一次函数y=-3x+2的2阶界点重构函数y表达式是； (2)反比例函数y=经2阶界点重构变换后为y,若直线y=n与y的图象交于两点，且这 两点间的距离为6，求n的值： (3)已知点P是二次函数y1=-x2+6x-5的4阶界点重构函数y1图象上的一点，点Q是 y2=2x+1的4阶界点重构函数y2图象上一点，若PQly轴，设P的横坐标为t,PQ长为 d,求当d=11时，t的值； (4)已知二次函数y=-x2-6mx+8m,点M(1,-4)、N(3,-4)连接M,N,若线 段MN与二次函数y=-x2-6x+8m的m阶界点重构函数y图象只有1个公共点时， 直接写出m的取值范围. 试卷第1页，共3页 5.平面直角坐标系xOy中，点A,B是反比例函数y=景(x>0)图象上两点，点A和点 A关于点0对称.设点A,B的横坐标分别为m,n(m≠n). D 图1 图2 图3 (1)如图1，若m=3,n=1,求△AAB的面积； (2)如图2，当∠ABA=90时，求mn的值： (3)如图3，过点A作直线AB的垂线，垂足为D,并交x轴于点E,直线AB交y轴于点C,连 接CE,若以AC,AE及CE为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由. 试卷第1页，共3页 6.如图1，点P为反比例函数y=袁(x>0)图象上的一个动点，过点P作射线OA,点B在 x轴的正半轴上，以点P为圆心、20P为半径作弧交反比例函数图象于点E,连接PE,分 别过点P和点E作y轴和x轴的平行线形成矩形PDEF,该矩形对角线交于点C,连接OF, 图1 图2 ()设P(a,吉)，E(b,言)，求直线0F的函数解析式（用含a,b的代数式表示），并判断 点D是否在直线OF上： (②)猜想∠F0B与∠AOB的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当点P的坐标为(1,1)时，求△OPD与矩形PDEF的面积比. 试卷第1页，共3页 7.如图1，矩形0ABC的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为(4,2)，点A,C分别在 坐标轴上，反比例函数y=会的图象与AB,BC分别交于点D,E 图1 图2 (当器=专时，则噩的值为； (2)如图2，连接DE,将△BDE沿DE翻折，若点B刚好落在x轴上的F点处时，连接OD, 求证：△ODF是等腰三角形. 试卷第1页，共3页 8.反比例函数y=奈和一次函数y=ax+b的图象交于点A和点B,过点A作AC⊥x轴于 点C,过点B作BD⊥y轴于点D,AC与BD的延长线交于点E. B 图1 图2 (1)如图1，当b=0时，当△ABE的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接CD,猜想CD与AB有什么位置关系，并说明理由： (3)当b=0时，在图1中，延长DC交反比例函数y=在第一象限的图象于点M,过点M 作MN⊥x轴于点N,过点A作AP⊥y轴于点P,交NM的延长线于点Q,求证：点C、 点M分别为线段ON和NQ的黄金分割点. 试卷第1页，共3页 9.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=x+b图象交y轴于点C(0,2),与反比例函 数y2=奈图象交于A(1,y4),B两点（点A在点B的右侧）. 图(1) 备用图 (1)求反比例函数y,的表达式； (②)如图(1)，点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接AP, BP,若S△4BP=15,求PB的长： (3)点Q是反比例函数y2=奈图象上一动点，直线AQ交x轴于点D,连接BO,当 ∠CB0+∠AD0=90°时，求点Q的坐标. 试卷第1页，共3页 1O.定义：点M(m,n)关于原点的对称点为M,以MM为边作等边△MMN,则称点N 为M的“完美三角点”. BM M' (图1) (图2) (1)若M(2,3),求点M的“完美三角点”的坐标. (2)若M点是双曲线y=景(x>0)上一动点，当点M的“完美三角点”点N在第四象限时， ①如图1，请问点N是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如 果不是，请说明理由， ②如图2，已知点A(1,3),B(2,),点C是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、 C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的纵坐标y,的取值范围， 试卷第1页，共3页 11.如图，一次函数y=x+4与x轴、y轴分别交于点M,N,与反比例函数 y=令(k>0)的图象相交于A(xy),B(x2y2)两点. (1)求证：X1X2<0: (②)△A0B的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)S△4oN与S△BoM相等吗？请说明理由， 试卷第1页，共3页 12.己知菱形ABCD对角线AC=8,BD=4,以AC、BD所在的直线为x轴、y轴建立平 面直角坐标系，双曲线y=会恰好经过DC边的中点，过直线BC上的点P作直线！⊥x轴， 交双曲线于点2， 0 0 MY 6 (I)求k的值及直线BC的函数解析式： (2)双曲线y=奈与直线BC交于M、N两点，试求线段MN的长； (3)是否存在点P,使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 所有P点的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 13.如图，直线AB与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(V5,a),B两点（点B位 于点A右侧)，连接OA,OB (1)求直线0A的表达式. ②当△A0B的面积为29时，求点B的坐标， (3)在(2)的条件下，作点B关于OA的对称点C,连接OC,AC,是否存在点D,使得四边 形0CAD为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA,OC在坐标轴上，对角线相交于点 P,点B的坐标为(6,4)，双曲线分别交矩形OABC的边BC,AB于D,E两点，连接DE, OD,OE. D B E A (I)若双曲线y=会经过点P,求该双曲线的函数解析式： (2)在(1)的条件下，求△ODE的面积； (③)若点D为线段BC上除B,C外的任意一点，求证：DEAC. 试卷第1页，共3页 15.己知：一次函数y=mx+n与反比例函数y=奈(k>0,x>0)的图象交于A(3,1), 点B(1,t), V B E (I)求一次函数及反比例函数的表达式： (2)设一次函数y=x+n的图象与x轴、y轴的交点分别为C、D,反比例函数 y=奈(k>0,x>0)的图象关于直线CD的对称的图形，记为图形G,图形G与x轴、y轴 的交点分别为F、E,求EF的长； (3)点P是反比例函数y=袁(k>0,x>0)图象上A、B间的一个动点（不与A,B重合）， 过P作PQ‖y轴，交图形G于Q,求PQ的最大值. 试卷第1页，共3页 16.在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=ax(a>0)的图象与反比例函数 y=袁(k>0,x>0)的图象相交于点P. 图1 图2 (1)如图1，若点P的坐标为(2,3). ①求正比例函数及反比例函数的表达式： ②在反比例函数图象上是否存在点C,使得S△0Pc=3？若存在，请求出点C的坐标；若不 存在，请说明理由。 (2)如图2，以点P为圆心，以20P为半径作孤，交反比例函数图象于点Q(点Q在0P的 右侧)，分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M,连接OM,点B在x轴 的正半轴上，得到∠MOB.求证：∠MOB=专∠POB. 试卷第1页，共3页 17.己知反比例函数y=(x>0)经过矩形OABC,交AB于点E,交BC于点F DA主 图1 图2 备用图 (1)如图1，若反比例函数图象经过OB的中点D,已知CB=8,OC=4,求此反比例函数 的解析式： (2)如图2，将△BEF沿着EF折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，若∠ADE=30°， 求器的值： (3)若将矩形OABC沿OB对折，点A恰好与点C重合，连接EF,点B、G关于EF对称， 点B,G的横坐标分别为m,n(m>n),以点O为圆心，EF长为半径作⊙0.若m=2, 当⊙O与EF相切时，求k的值. 试卷第1页，共3页 18.定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线 段被分为中外比，这个点称为中外比点 (I)如图，点P是线段MN的中外比点，MP>PN,MN=2,求PN的长. M (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.（保留作图痕迹，不写作 法) B (3)如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=袋(k>0,x>0)的图象分别与矩形 OABC的边AB,BC相交于点D,E,与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三 角形时，探究点D,E,F是否分别为AB,BC,OB的中外比点，并证明. 4 试卷第1页，共3页 19.反比例函数y=奈(x>0)的图象经过点A(1,2a)和点B(5-a,3). 图① 图② (I)求a、k的值； (2)如图①，在反比例函数y=会(x>0)的图象上有一点P,小明发现将点P绕原点0顺时 针方向旋转90°后得到的点Q在另一个反比例函数图象上，求出点Q所在的函数表达式，并 写出自变量取值范围： (3)如图②，已知直线l1:y=x和2：y=-x,将反比例函数y=奈(x>0)的图象绕原点 旋转45°后得到新图象，在新图象上任取一点Q,过点Q作QM⊥11，QN⊥12，垂足分别 为点M,点N.求四边形QMON的面积. 试卷第1页，共3页 20.曲线的应用是广泛的，在历史的长涧中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方 体问题.初三某班的数学学习小组尝试对反比例函数y=京(x>0)相关的几何问题进行探 究 D D A B 图1 图2 图3 (1)如图1，A、C是反比例函数y=袁(x>0)图像上的两点，A、C的横坐标分别是和3， 以AC为对角线构造矩形ABCD,使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线BD所在直线经 过原点. (②)如图2，P是第一象限内一点，射线0P与反比例函数图像交于点A,以A为圆心，20A 为半径作圆，交反比例函数图像于点C,以AC为对角线构造矩形ABCD,使矩形的边平行 于坐标轴，连接OD,点M在x轴正半轴上.请探究：∠POM与∠DOM满足怎样的数量关 系，并证明. (3)如图3，在(2)的条件下，连接AC、OC,请探究：是否存在点A,使0A⊥AC；若存 在，求此时△OAC的面积，若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 21.【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形0ABC,AB=4,对角线AC, OB相交于点D,OD=号，反比例函数y=(x>0)与矩形0ABC交于点H,G,器=青 H B H B G 浴G D D 图1 图2 【问题解决】 (1)求反比例函数的解析式： (2)求tan∠AOD的值； (3)如图2，过点H作HF⊥AC于点F,HE⊥OB于点E,求HF+HE的值. 试卷第1页，共3页 22.如图1，已知反比例函数y=员(x>0),点A,B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧）， 过点A,B分别作.AD⊥x轴，BC⊥x轴，交反比例函数图象于点D,C,连接OC,OD. B A 图1 图2 图3 (1)填空：S△04AD= (2)求证：S△0cD=S四边形ABCD: (3)如图2，直线y=-x+2交AD于点F,交CB延长线于点G.点E(2,2)在线段CD上. ①若点E是CD的中点.证明：四边形FGCD为平行四边形.并求出此时S△oD的值； ②如图3，连接EF,EG.试判断△EFG的形状，并说明理由. 试卷第1页，共3页 23.在平面直角坐标系中，点A,B在函数y=会的图象上，其中k>0,点A,B的横坐标 分别为m-1,m+2. (I)若点A,B分别在第三、一象限，求m的取值范围； (2)过点A,B分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D,记d=AC十CD十BD. ①在(1)的条件下，若k=3,求d的最小值； ②若m>0,且k=am(m-1)(m+2),其中k>0,a为常数，是否存在a的值，使d 不随m的变化而变化？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 24.在平面直角坐标系x0y中，直线y=-2x+10与反比例函数y=会(k>0)图象交 于A(1,m),B两点，与x轴交于点C,点B关于原点O的对称点为点D 图1 图2 ()求反比例函数表达式及点B的坐标： (2)如图1，连接AD交x轴于点M.点N在x轴上，若以点M,N,D为顶点的三角形与 △ACM相似，求点N的坐标； (3)如图2，点P是线段AB上一点.连接DP,交反比例函数在第一象限的图象于点Q,连接 OB,0Q,BQ.记△0BQ的面积为S1,△PBQ的面积为S2当器的值最小时，求 的值. 试卷第1页，共3页 25.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=一2x+6的图象与反比例函数y=的 图象相交于A(a,4),B两点. 6 备用图 (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)过点A作直线AC,交反比例函数图象于另一点C,连接BC,当线段AC被y轴分成长度 比为1：2的两部分时，求BC的长： (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为完美筝形” 设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形 时，求P,Q两点的坐标. 试卷第1页，共3页 26.已知反比例函数y=罗的图象经过点A(2,3. A G D E B F Hx (1)求该反比例函数的表达式： (2)如图，在反比例函数y=爱的图象上点A的右侧取点C,作CH⊥x轴于H,过点A作 y轴的垂线AG交直线CH于点D. ①过点A,点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B,垂足分别为为F、E,连结OB,BD,求 证：O,B,D三点共线： ②若AC=20A,求证：∠A0D=2∠DOH. 试卷第1页，共3页 27.如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，一次函数y=2x的图像1与函数 y=奈(k>0,x>0)的图像（记为T)交于点A,过点A作AB1y轴于点B,且AB=1, 点C在线段0B上（不含端点），且OC=t,过点C作直线l1//x轴，交于点D,交图像r于 点E B E D (1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标： (2)连接0E、BE、AE,记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2,设U=S1-S2, 求U的最大值. 试卷第1页，共3页 28.己知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=(x>0)图象上的一个动点， 连结AO,A0的延长线交反比例函数y=(k>0,x<0)的图象于点B,过点A作AE⊥y 轴于点E· E 0 B 图1 图2 (1)如图1，过点B作BF⊥x轴于点F,连结EF ①若k=1,，求证：四边形AEF0是平行四边形： ②连结BE,若k=4,求△B0E的面积， (2)如图2，过点E作EP/AB,交反比例函数y=(k>0,x<0)的图象于点P,连结 OP,试探究：对于确定的实数k,动点A在运动过程中，△P0E的面积是否会发生变化？ 请说明理由. 试卷第1页，共3页 29.如图1，矩形A0BC的顶点A、B分别在y轴和x轴上，点C的坐标为(8,6). D 图1 图2 图3 备用图 (I)反比例函数y=奈(x>0)的图象与边AC,BC分别交于点D,E,当AD=专DC时， 求k的值和点E的坐标： (2)如图2，点D,E分别在边AC,BC上，且反比例函数y=袁(x>0)的图象经过点D、 E,连接DE、AB,求证：AB‖DE; (3)如图3，反比例函数y=奈(x>0)的图象与边AC,BC分别交于点D,E,若以DE为 直径的圆与矩形AOBC的边有5个公共点，求k的取值范围. 试卷第1页，共3页 30.我们规定：若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与二次函数或反比例函数的图象有 且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该 函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： 图1 图2 (1)判断直线y=2x-4是否为抛物线y=x2-2x的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”； 如果不是，请说明理由， (2)如图1，点A是双曲线y=是上在第一象限内的任意一点，过点A作该双曲线的“亲密线”， 且直线1与x轴、y轴分别交于M,N两点，求△OMN的面积. (3)如图2，点A(xy1),B(x2y2)是抛物线y=一x2+4x上的两点，过点A,B分别 作该抛物线的“亲密线”1,12,1与l2相交于C(m,n). ①若m=,求x1十x2的值： ②连接AB交抛物线对称轴于点P,设点P的纵坐标为q,求n与q的数量关系 试卷第1页，共3页 31.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-x一2与x轴正半轴相交于点A,与y轴 相交于点B,连接AB. N M M B B 图(1) 图(2) (1)如图1，求AB的长. (2)点M的坐标为(m,O),点N在y轴正半轴上，且MN=AB.以点O为中心，把线段 MN顺时针旋转45·得到线段MN,点M的对应点为M. ①如图2，将线段AB沿y轴向上平移，平移后点B与原点O重合，点A的对应点为C,点C在 反比例函数y=会(x>0)的图象上.当m=-2时，求证：点N在该反比例函数图象上： ②当线段MN与抛物线有公共点时，请直接写出m的取值范围； (③)约定：抛物线上P,Q两点之间的图象（包括点P,Q)的最高点与最低点纵坐标的差叫 做这两点间的图象界差，记为dPQ,点E,F,G,H都在抛物线上，它们的横坐标分别为 t,t+2,t+4,一t+4,其中-号≤t≤；是否存在t的值，使得dEF=方dHG?若存在， 请求出t的值，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 32.定义：如果两个函数的图象没有公共点，我们称它们互为“无交函数”，如果有唯一的公 共点，称它们互为“单交函数”，如果有两个不同的公共点，称它们互为“双交函数”，称两个 公共点之间的距离L为这两个函数的“双交值” (1)下列三组函数：①y=2x+1与y=2x-3,②y=-x-4与y=是，③y=x-1与 y=x2-2x-3互为“无交函数”的是，互为“单交函数”的是，互为“双交函数的 是；（填序号） (2)y1=-x-2与y2=是(x>0)互为“无交函数”，若直线y1=-x-2与x轴，y轴分 别交于点A,B,在y2=是(x>0)的图象上是否存在一点P,使△PAB的面积最小，若 存在，请求出点P的坐标及此时△PAB面积； (3)设m,n为正整数，且m≠3，关于x的一次函数y=2x+3与二次函数 y3=2+(5-mt+2)x-5mt+3和y4=-x2+(3t-n+2)x+3nt+3都互为 “双交函数”，其“双交值”分别为L,L2,若L≥L2则一切实数t恒成立，试求m,n的值. 试卷第1页，共3页 33.希腊数学家帕普斯借助反比例函数y=(x>0)的图象成功将锐角三等分，作法如下. 1.如图1，建立平面直角坐标系，将已知∠A0B的顶点与原点重合，角的一边OB与x轴正 方向重合； 2.绘制函数y=(x>0)的图象，图象与已知角的另一边0A交于点P; 3.以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数y=袁的图象于点R: 4.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M; 5.连接OM,得到∠MOB,这时∠MOB=青∠A0B. B 图1 备用图 图2 【探究】小明在探究该方法时发现，先以P,R,M为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点 Q与O,M共线后，即可推导出∠MOB=专∠AOB.请你根据以上思路帮助小明完成证明 过程. 证明：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q, :PMIIQR,PQIMR,∠PMR=90°， 四边形PQRM为矩形 设点P(a,),R(b,帚)，则M(b,吉)，Q(),于是直线0M的解析式为y= :a品=言， ·点Q在直线0M上： 连接PR交OM于点N,则N为PR和QM的中点， :PN=MN=PO,·∠PON=∠PNO=2∠PMN, 又：PM‖OB, :∠PM0=∠M0B,÷∠P0M=2, :∠MOB=吉∠A0B. 试卷第1页，共3页 【拓展】小明进一步发现y=k>0)也可以将任意锐角三等分，请证明. 【应用】如图2，在平面直角坐标系中，∠A0B的顶点与原点重合，角的一边OB与x轴正 方向重合，另一边与函数y=k>0)交于点A,以A为圆心，20A为半径作弧，交函数 图象于点C,点P为线段AC中点，连接0P,其中0P=43,∠0AC=120°，那么 k=_ 试卷第1页，共3页 34.在平面直角坐标系中，在函数S的图象上任找一点P,总能在函数T的图象上找到一点 Q,使得点P与点Q关于直线y=m对称，我们把函数S与函数T称为关于直线y=m的 对称函数，点P与点Q关于直线y=m互为对称点，直线y=m称为函数S和函数T的对 称轴.例如点P(a,2a)在函数y=2x的图象上，点Q(a,-2a)在函数y=-2x的图象上， 点P与点Q关于x轴（直线y=0)对称，函数y=2x与函数y=-2x关于x轴（直线 y=0)互为对称函数 (I)函数y=(x<0)关于直线y=0的对称函数是-： (2)若函数y=2x与函数y=-2x-4是关于直线y=m的对称函数，求这两个函数的对称 轴y=m; 2x+2,x≤-2 (3)若函数y是函数y= (x+1)2-3,x>-2关于对称轴直线y=m的对称函数. 2x+2,x≤-2 ①当m=-1时，求函数y (x+1)2-3,x>-2关于对称轴直线y=m的对称函 数y; ②已知点A(-4,1),点B(3,1),当函数y的图象与线段AB有且只有一个交点时，请直 接写出m的取值范围. 试卷第1页，共3页 35.定义：在平面直角坐标系xOy中，若点P(a,b)变换得到点Q(a+b,b-a),则称 点Q是点P的“变换点”.例如，点M(1,2)的变换点”是点N(3,1). (1)下列点的“变换点”在x轴上的是 A(0,2),B(2,0),C(2,2): (②)己知，点D的变换点”是点E. ①若点D在反比例函数y=的图像上，试判断△DOE的形状，并说明理由： ②某一次函数的图像记为L,若点D在L上，点E在一次函数y=2x+1的图像上，求L 的函数表达式： (3)点F是二次函数y=一x2-4x图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数 y=2x+m(0≤x≤2)的图像上，直接写出m的取值范围. 试卷第1页，共3页