专题07 反比例函数问题（函数压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07反比例函数问题 (函数压轴，压轴龈题专练) 01压轴命题透视 常和一次函数、几何图形结合。重点考求解析式、k值面积、交点计算、线段比例和动点问题 命题预测 注重数形结合，常需分类讨论，难度分层，侧重基础综合运用。 1.反比例函数与一次函数结合 2.反比例函数与特殊图形问题的求解 高频考法 3.反比例函数中面积问题的求解 4.反比例与一次函数、几何图形综合 02压轴题型精讲 ●典例靶向突破。一 题型1.反比例函数与一次函数结合 一、解决反比例函数与一次函数交点问题： 1.若解折式直接求解不出来，可构造直角三角形，用锐角三角函数转化线段关系求解：若已知 一次函数和反比例函数解折式求交点，联立方程组求解阻即可 2. 题中存在直线平移平行时，要注意平行的直线，值相等 二、方法总结 1.求交点坐标： (①)反比例函数与正比例函数图像的交点，关于原点对称： (2)反比例函数与一次函数图像的交点，可联立方程组求解 2.函数值的大小比嫩：利用数形结合法在同一平面直角坐标系种，画出一次函数=kX+b（k≠0) 与反 比5函数y,=k2(k,≠0)的图象，根据两函数位置关系，观对应自变量的范围 X 3.看到佚于横、纵坐标的代数式值，实际上是求点坐标，联立方程组求解即可 三、正比例函数与双反比例函数问题中，已知线段数量关系，求k的比值的跟题步骤： 1.设其中一个交点的横坐标，根据k=xy表示出纵坐标： 2构造相似三角形，根据相比列等量关系求解 四、求三角形面积的两种方法 1.直接公式法：反比例函数与一次函数结合，求面积方法：当三角形一边在坐标轴上或平行 于坐标轴时，如下图所示： 1/43 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 SBc=ABh(h为AB边上的高线) 2.和差法：当求三边均不平行坐标轴的三角形面积时，如下图所示： SAB0c=S边形ADoE-SAMc-SAB0E-S4coD 【典例1】(2024吉林长春.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，点A4,2)在函数 y=(k>0,x>0)的图象上.将直线0A沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B,与函数 y=(k>0,x>0)的图象交于点C.若BC=5,则点B的坐标是() A.(0,5) B.(0,3 C.(0,4 D.(0,25 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E,过点C作y轴的垂线交y轴于点D,则AE∥y轴， A4,2), 2/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “0E=4,0A=V22+42=2V5, 6m06-8器-专5 :A4,2)在反比例函数的图象上， k=4×2=8. :将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC, OA∥BC, .∠OAE=∠BOA, :AE∥y轴， ∠DBC=∠BOA, ∠DBC=∠OAE, CD sin∠DBC= =sin∠04B=25, BC 5 发5，解得：D=2,即点C的横坐标为2 8 将x=2代入y=二，得y=4, .C点的坐标为2,4， CD=2,0D=4, BD=√BC2-CD2=1, 0B=0D-BD=4-1=3, B(0,3 故选：B 【典例2】如图，直线1：y=-2x+2与双曲线y= 4交于A,B两点.已知B(2,-2,点A的纵坐标为4， 则不等式-2x+2+4<0的解集为) 3/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-1<x<0 B.x>2 C.-1<x≤0或x22D.-1<x<0或x>2 【答案】D 【详解】解：：点A的纵坐标为4，代入y=-4 得4=-4， 解得：x=-1, .A-1,4), B2,-2, :不等式-2x+2+4<0即为-2x+2<-4 解集为：-1<x<0或x>2 【典例3】如图，一次函数y=x+bb>0)的图象与反比例函数y=《(k>0)的图象交于A.B两点，点C为 X 线段AB的中点.若点C的坐标为m,n,则() A.m+nx0 B.m+n<0 C.m+n=0 D.m-n=0 【答案】C 【详解】解：设Ax,y)、B(x2,y2), y=x+b 联立{k， y=- x 消去y得x+b=冬，则x2+bx-k=0, .x1+x3=-b,则y+y2=(x+b)+x2+b)=x1+x2+2b=b, :点C(m,n为线段AB的中点， +=m, +y2=n, 2 2 4/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则m+n=占+五+上+丛=-b+b 2+2=0 2 222 【典例4】(2024安徽马鞍山三模)如图，0是坐标原点，直线y=2x与反比例函数 y=”(x>0,y=”(x>0)的图象分别交于点4，B,且AB=0B. 1y=2x m (1)= (2)过点A作0A的垂线交反比例函数y=”(x>O)的图象于点C,若AB=25,则点C的坐标为 【答案】 4 (16,2 【详解】(1)如图，过A作AD⊥y轴交于D,过B作BE⊥y轴交于B, 12 v=2x m :BE∥AD, △OBE∽△OAD, OE)2 SOAD OD· AB=OB, OE OB 1 OD OA-2 SOBE :y="(x>0,y=”(x>0), n 1 1 S.0a=7n,S.0o=2m, 2 5143 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ”=4 n 故答案：4： (②)设直线AC交y轴于点F,过点A作AG⊥y轴交y轴于点G, /y=2x V= m :AB=0B=25, A0=45, 设A点坐标为a,2a, :AG2+0G2=A02, a2+2a2=(4v52, .a=4(负值已舍)， A4,8), m=32, 三反比例解析式为：y-3卫 :过点A作OA的垂线交反比例函数y="(x>0)的图象于点C, ∠FA0=90°， ∠FAG=90°-∠GAB=LA0G, :tan∠A0G=4C_=1 G02' tan∠FAG=FG AG tan∠40G=1 FG 1 42' 6/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FG=2, F0=FG+0G=2+8=10, F(0,10), 设直线AC的解析式为y=px+9, 4p+q=8 (9=10 2, (9=10 y=- x+10 2 1 y= x+1 x=16x=4 解方程组 得 y=2 和 (舍去)， 32 y=8 y=- ∴C点坐标为16,2)， 故答案为：(16,2). 题型2.反比例函数与特图开形狗题的求解 一、反比例函数与几何图形结合求k值的一般步骤： 步骤一：根据反比例函数解析式设出几何图形上的点坐标 步骤二：利用几何图形的性质转化点的坐标： 步骤三：根据k=Xy联立方程求出参数a的值，得k的值。 二、反比例函数与直角三角形结合，过反比例函数图象上的点作x轴，y轴的垂线，构造相似三角 形，求出线段长：看到角平分线时，不要忘记向角两边作垂线，得等线段 【典例1】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD=OC, 以BD为边向下作矩形BDEF,使得点E在边OA上，反比例函数y=k(k≠O)的图象经过边EF与AB交于 x 点G,若oD=2E-月，则k的值为《） 7/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B. 25 D.6 4 【答案】C 【详解】解：如图，连接DF、BE, 0 E :四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形， OC=AB,BE=DF,∠BAO=∠BDE=∠DEF=90°， BD=OC, .BD AB, 在RtA BDE和Rt△BAE中， BD=AB BE=BE .Rt△BDE≌Rt△BAE(HL), .AE=DE= 3 .OE =DE2-OD2= 2 :∠DE0+∠AEG=90°，LED0+∠DE0=90°， ∠AEG=∠EDO, 又：∠E0D=∠EAG=90°， ∴△DEO△EGA, AG AE OE OD = 3 2, 解得4G=15 , :0A=0E+AE=3+ξ=4， 22 8/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1515 k=4 82 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0)，点B在反比例函数y=x>0)的图象上， BC⊥x轴于点C,∠BAC=30°.将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k 的值为一· 【答案】85 【详解】解：设点B坐标为m, k则C(m,0), A2,0), :AC=m-2, 由对称可知：AD=m-2,∠DAB=∠CAB=30° ∠DAC=60°， 如图，作DG⊥x轴，垂足为G,则∠ADG=30°， D B AG=m-2 2 由约散定理符，0G=54G=(;25, Dm2+2.5m-25 2 2 :点D在反比例函数图象上， 9143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 /m-22）(m-2)V3 2+2 2 在RIAABC中， :∠BAC=30°， 由勾股定理得BC=5 C即k=3 m3(m-2)②， 由①②解得k=8V3, 故答案为：8√5， 【典例3】如图，在RIAOAB中，∠OBA=90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB,OD平分∠AOB,AC与 OD相交于点E,且0C=0,CE=2,反比例函数y=k(k≠0，y>0)的图象经过点E,则k的值为· 【管1号 【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥OD于点F,过点E作EH⊥x轴于点H, 0 :∠B=90°，AC平分∠0AB,OD平分∠BOA, ∠BA0+∠E01=∠B40+∠B0A=x180-∠B=45, ∠CEF=∠EA0+∠E0A=45°， :CF⊥OD,CE=2, LECF-45,CF=EF-CE= 在R0CF中，0C=io,0F=0c2-CF=io-(2=22, :0E=0F+EF=2√2+√2=3√2， :LC0F=∠E0H,∠CF0=LEH0=90°， .△OCFAOEH, 10/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0E07H,且0C=i0,0E=3V2,0F=22, OC OF CF 1022_V2 3√2OHEH 解得，0H=60,E=30 5 .E /6V103V10 55 :点E在反比例函数y=《(k≠0，y>0的图象上， ..k=xy= 6V103W10_36 5 5 5 36 故答案为： 题型3.反比例函数中面积问题的求解 反比例函数与矩形结合的面积问题中，常需运用以下结论 外=x 结论SCOE=SMOF= 2 S边形OBc=S矩形O4Bc-k 11/43 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图形1：外 (B\A 结论：S延形ncm=k-k, 图形2： O M NA k 结论：Ss边O0r=Su形0Uc-2 SAOD=SROANc-IkI-SADM 图形3： 已知：AB=B0 结论：Sao=S形or=kl 【典例1】矩形OB4C在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=的图象与AB边交于点D,与 AC边交于点F,与OA交于点E,OE=2AE,若四边形0DAF的面积为1，则k的值是() 2-5 A. B. 3-5 8 5 D. 【答案】C 【详解】解：过点E作EM⊥OC,则EM∥OB, MC 12/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △0 MEAOCA, OM EM OE OC AC OA k 设Ea :0E=2AE, OM EM 2 3 3k ∴.OC=三a,AC= 2 2a 33k9k .S矩形0B4c=S△oBD+S△oCr+S四边形ODAr=)a:) 22a4 即++1= 2 4 解程：手 故选：C 【典例2】如图，直线1Lx轴于点P,且与反比例函数y=上(x>0)及=上(>0)的图象分别交于 点A,B,连接OA,OB,已知△OAB的面积为2，则k1-k2的值为() A.2 B.3 C.4 D.-4 【答案】C 【详解】解：根据反比例函数k的儿何意义可知：△4OP的面积为今，△BOP的面积为气 2 :△4OB的面积为 k_k2 22 .k1-k2=4, 故选：C 【典例3】如图，点P为反比例函数y=的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、 B,若矩形PAOB的面积为4，则k的值为() 13/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.-4 C.2 D.-2 【答案】B 【详解】解：：矩形PAOB的面积为4， :PA.PB=4. :过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B,P点在第二象限， .x…y=-4 .k=x…y=-4. 故选：B 口题型4.反比例与一次函数、几何图形综合 一、解决关键 关键点1找到临界点：①最左上端的交点位置：②最右下端的交点位置 关键点2求划临界状态下的线段长及点坐标： ①运用特殊图形的性质、锐角三角函数求线段长； ②设图像上点坐标，建立等量关系求解 关键点3确定范围： ①取则临界值的中间： ②取临界值的两端。若不确定取中间，还是两端，可以代入中间范围内的值留验证，若成立，取中间：否测， 取两端 【典例1】如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A,点C在反比例函数y=《(k>0,x>0)图象上若直线 BC的函数表达式为y= 2-2,则反比例函数表达式为() A.y=6 12 B.y= C.y=16 D.y=24 14/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：设直线BC与y轴的交点为G, 1 1 在y=2x-2中，令y=0,得5x-2=0,解得x=4, 令x=0,得y=-2, ·B(4,0,G0,-2), 如图，过A作AE⊥x轴于E,过C作CF⊥x轴于F, :四边形ABCD是正方形， ·AB=BC,∠ABC=90°， ·∠ABE+∠CBF=90°， 又：∠ABE+LBAE=90°， :∠BAE=∠CBF, 在△BAE和CBF中， ∠BAE=∠CBF ∠AEB=∠BFC=90°， AB=BC :△BAE≌ACBF(AAS), AE=BF,BE =CF, :∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠FBC, :△OBG∽△FBC, OG OB FC FB ,即2-4 FC FB FB 2 1 FC42' 设FC=a,FB=2a, ·AE=BF=2a,BE=CF=a, :A4-a,2a,C(4+2a,a, 15/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点A,点C在反比例函数y=(k>0,x>0)图象上， :（4-a2a=4+2aa, 解得a=1,a=0(不合题意，舍去)， :A3,2), k=3×2=6, 6 :反比例函数表达式为y=°， 故选A. 【典例2】【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=axa>0)上第一象限内的两个动点（OD>OB),以线段 BD为对角线作矩形ABCD,AD∥x轴.反比例函数y=《的图象经过点A. A B 图1 图2 【构建联系】 )求证：函数y=人的图象必经过点C. (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E,当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2)时，求 k的值. 【答案】()见解析 ot. 【详解】1)解：设B(m,ma,则Am,) m “AD∥x轴， D点的纵坐标为人， m 16/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :将y=人代入y=ax中得： =ax得， m m am （am'm ∴. (k am am ,am :将x=人代入y=人中得出y=am, am x :函数y=的图象必经过点C: (2)点B1,2在直线y=ax上， .a=2, .y=2x, ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， :函数y=《的图象经过点A,C, 哈小 .DC=k-2, :把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E, BE=BC--1,∠BED=∠BcD=90 DC_k-2=2=DE :BC k1 BE, 2 如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴， 衣 17/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AD∥x轴， “H,A,D三点共线， ∴∠HED+∠BEF=90°，∠BEF+∠EBF=90°， ∴.∠HED=∠EBF, ∠DHE=∠EFB=90°， .△DHE∽△EFB, DH HE DE =2, EF BF BE k BF=1,DH= 2 HE=2,EF=k ·HF=2+, 由图知，HF=DC, k “2+4=k-2, 4 【典例3】如图1，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=3,0C=6, k 反比例函数y=二(x>O)的图象与AB、BC分别交于点D、E,连结DE 图1 图2 图3 (I)如图2，连结OD、OE,当△0AD的面积为2时： ①k= ;②求aODE的面积； (②)如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值. 【答案】004：② 9 ®的值为子 【详解】(1)解：①：a0AD的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 呼有2， 18/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k=4, 故答案为：4； ②在矩形OABC中，OA=BC=3,OC=AB=6, :k=4, :反比例函数的解析式是：y=4x>0), :0A=3, 即点D的纵坐标是3， 令4=3， 4 解得：x= 3, 同理，当x=6时，y=4-2 63 6引 AD=4 ， BD=AB-AD=6-4=14, 3=、,CE共子BE=BC-CE=3-271 33 .S.0DE=S矩形OHBc-S0HD-S.oCE-S.BDE =04-OC_-BD.BE 222 =6x3-2-2-1x14x7 233 77 9: (2)解：过点D作DG⊥x轴于点G,则DG=OA=3, --1B 图3 :OA=3,即点D的纵坐标是3， 令y=k=3, x 解得：X= k 19/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理可得，当x=6时，y=- x 6 .E6.2) （6 ..AD= 0-AB-40=6青E-套BE=c-E=3 k 6 由折叠的性质可知：0F=8D=6-今PE=E=会DFE=48=90。 :∠DFG+∠CFE=90°， :DG⊥x轴， .∠DFG+∠GDF=90°， .∠CFE=LGDF, :∠CFE=∠GDF,LFCE=LDGF=90° △CFE∽aGDF, CEFE CF DF k 3-k 61 即G成6-k2 :DG⊥x轴， :△GDF是直角三角形，DG2+GF2=DF2, +()6 解得：k=27 甲大的恒为子 03压轴强化训练 1.(2025贵州贵阳一模)如图，在平面直角坐标系中，点A-2√2,2在反比例函数y=《(k为常数， x<0)的图象上.将直线OA沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B,与此反比例函数的图象交于点C.若 20/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC=√3，则点B的坐标是() A.(0,25 B.(0,4 C.(0,22） D.(0,3 【答案】D 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E,过点C作y轴的垂线交y轴于点D,则AE∥y轴， :点A-2V2,2, 0E=2W2,0A=22)°+22=25， .sin∠OAE= 0E2√26 0A25=3 :点A(-22,2)在反比例函数y=《的图象上， .k=-2√2×2=-4√2， :反比例函数的解析式为y=-42 :将直线OA沿y轴向上平移后得到直线BC, OA∥BC, ∠DBC=∠BOA, :AE∥y轴， .LOAE=∠BOA, 21/43 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DBC=∠OAE, ÷sin DBC=CD BC sin∠0AE=V6 BC=3, .CD√6 53 CD=√2， :点C的横坐标为-√2，BD=√BC2-CD2=1, 把r=V2代入y=42 得： = 4v2 =4, -√2 即0D=4, ..OB=OD-BD=3, 点D的坐标为0,3). 故选：D 2.(2025黑龙江齐齐哈尔三模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为-√3,0)，点B在反比例函数 y=(x<0的图象上，BC⊥x轴于点C,∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该 反比例函数的图象上，则的值为 【答案】-6√5 【详解】解：如图，连接CD,过D作DE⊥x轴于点E, YA 22/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设BC=m, 在Rt△ABC中，∠BAC=30°， BC .AC= m。=5m, tan∠3AC tan30° :点A的坐标为(-V5,0, 0A=5, OC=0A+AC=3m+3, 点B的坐标-√5m-√5，m, :将ABC沿AB翻折， .AC=AD=V3m,∠BAC=∠BAD=30°， .∠DAC=60°， 在R8C中，DF=Dn∠DC=5a9-}:AE=Deos6nMC-5r5。 22 22m, OE=04+AE= 2 m+√5， 点D的坐标为 2 :点B.D在反比例函数y=的图象上， 解得：m=2, k=-V5x2-V5)x2=-65, 故答案为：-6√5 3.(23-24九年级上福建福州)如图，在Rta0AB中，∠A=90°，OB在x轴上，点E是△0AB的内心 且0A=5,0E:EC=3:2,反比例函数y=(k≠0，x>0的图象经过点E,则k的值为 23/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】6 【详解】解：过E作EM⊥OB、EN⊥OA、EP⊥AB如图所示： M B :点E是△OAB的内心， :OC、BD分别平分∠AOB,ABO, :△OEN≌△OEM、△BEM≌aBEP, :ON=OM、BM=BP、AP=AN=PE=EN, :△A0C∽△N0E,0E:EC=3:2 ON 3 S△Mo S)2 OA 5' SANOE 3 :0A=5,, 0N=3, ON=OM=3、BM=BP、AP=AN=PE=EN=2, 设BP=x,则AB=2+x、OB=3+x, 在RtA0AB中，OB2=OA2+AB2, (2+x)2+52=(3+x)2, 解得：x=10, AB=12、0B=13, 24/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由角平分线定理可得： OB BC OA AC' :BC=12-AC, .1312-AC 5 AC 解得：AC=10 S%0=号0AAC=25 25 3 解得：SANOE=3, ∴SAMOE=SANOE=3, 由反比例函数的图象经过点E,得： 1k=3 解得：k=6. 4.(2023山西晋城模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形ABCD的顶点A,B分 别在y轴、X轴的正半轴上，E为AD的中点，反比例函数y=冬(k>0,x>0)的图象经过点C和点E, 若∠AB0=60°，AB=2,则k的值为() OB 2v5 A. B.35 C.105 D. 33v5 9 2 27 4 【答案】C 【详解】解：过点E作EF⊥y轴，过点C作CG⊥x轴，如图所示： D B G x ∠AB0=60°，AB=2, 25/43 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BA0=∠CBG=30, OB=1 AB=1,A0=VAB2-B02=V5, 2 设矩形ABCD的宽AD=BC=2a, :E为AD的中点， :AE=BC=a. 2 :∠CBG=30°， :.CG-1BC-a.BG=BC-CG-a. 0G=1+5a, 点c1+3a,a: :∠BA0=30°， ∠FAE=60°， .∠FEA=30°， AF-TAE-4.EF-JAE-AF-a 2 OF=3+0 点E :反比例函数y=二(k>0,x>0)的图象经过点C和点E, .52)-(1+Va)xa. 2 解得：a= 25或a=0(舍去)· 将a=25代入得K-105 9 27 故选：C 5.(2023·安徽宿州一模)如图，在R1OAB中，OC平分∠B0A交AB于点C,BD平分∠OBA交OA于点 D,交0C于点E,反比例函数y-冬，经过点E,若0B=2, 品片则的为() 26/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E D A A 8 B. c D. 8 【答案】B 【详解】解：如图，过点E作EF⊥OA于点F,EM⊥AB于点M,EN⊥OB于点N. :OC平分∠B0A,BD平分∠OBA, .EM EN EF, :∠OBA=∠ENB=∠EMB=90°， .四边形EMBN是正方形， EM∥OB, .△CEM∽△COB, EM CE OB CO CE 1 0E2' EM 1 OB=3' EF=EN=BN=2 .ON =OF=OB-BN=4 SAoer=JOF.EF=1x4x24 2339 k=8 9 故选：B 27/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25九年级上山东淄博)矩形0BAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=的图 象与AB边交于点D,与AC边交于点F,与OA交于点E,OE=2AE,若四边形ODAF的面积为1O,则k 的值是 【答案】8 【详解】解：过点E作EM⊥OC,则EM‖AC, △0 MEAOCA, OM EM OE OC AC OA 设》 .OE=2AE .OM EM 2 OC AC 3 OC=3a,AC=3.k 3 2 2 a 3.3k ∴SE形oac=S.cn+S.ocr+S004r=202a 即吟+03 22a 28/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：k=8, 故答案为：8. 7。(2024安徽蚌埠三模)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知A为反比例函数y=5x>0)图象上 点，点B在x正半轴上，且△AOB为等边三角形. E D B (1)S△A0B= (2)C为AB边上一点，点D在x负半轴上，连接CD交0A于点E,若OD=)OASA0E=Sc,则经过 2 点C的反比例函数的解析式为 【答案】 5 y=85 9x 【详解】(1)解：如图1，作AF⊥OB于F, 1) 图1 D O 由题意知， 5, 2 :△AOB为等边三角形， SA40B=2S.40e=V5, 故答案为：√5； (2)解：如图2，作EG∥AB交x轴于G,作EH⊥x轴于H,作CP⊥x轴于P,作GQ⊥AB于Q, 个y E 图2 D OHGFP B正 :等边三角形△4AOB, ∠A0B=LAB0=60°，OB=AB, 29/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4F=AB-sin60°=5 >—4B3OB3 2 SAOn=-0B-4F-3 008-3 解得，0B=2或0B=-2(舍去)， .0D=1, :EG∥AB, ∠EG0=∠AB0=60°， ∴.△EOG是等边三角形， OE-0G-EG-6.PB-a.DG=1+b.EH=OE.sim60=,BG=2-b, 2 G0=BG·sin60°= 52-b,BC=PB=2a,4C=2-2a, 2 c0s60° a5w-5o08m-9s,y4c60--3g- 1 22 2 52-b,即4-3b-4a+2ab=00, 2 :EG∥AB, △DEGn△DCB, 熙岛 2a3 .2a+2ab=3b,即2ab=3b-2a②， 将②代入①得，4-3b-4a+3b-2a=0, 2 解得，a= 31 ÷0r=号，Cp=tan60=25 4 3 42N5 F.C 33 设过点C的反比例函数解析式为y=气k≠0)， 423 将3 -423_85 代入得，k=x 339 :y= 8v5 9x 故答案为：y= 8V3 9x 30/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(21-22九年级下·辽宁沈阳·月考)如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A,点C在反比例函数 y=(k>0,x>0)的图象上.若直线BC的函数表达式为y=2-4,则反比例函数表达式为（） A.y=6 B.y=2 x C.y=16 D.y=24 x x 【答案】D 【详解】解：设直线BC与y轴的交点为G, 在了=号x-4中，令0，得2-4=0，解得x=8, 令x=0,得y=-4, B(8,0),G(0-4), 如图，过A作AE⊥x轴于E,过C作CF⊥x轴于F, :四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=90°， ∠ABE+∠CBF=90°， 又：LABE+∠BAE=90°， ·∠BAE=∠CBF, 在△BAE和CBF中， ∠BAE=∠CBF ∠AEB=∠BFC=90°， AB=BC 31/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△BAE≌△CBF(AAS), AE =BF,BE=CF, :∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠FBC, ·△0BG∽△FBC, OG OB FC FB 即4-8 FC FB 2 FB ·设FC=a,FB=2a, ·AE=BF=2a,BE=CF=a, A(8-a,2a,C8+2a,a, :点A,点C在反比例函数y=k>0,x>0)图象上， (8-a2a=8+2aa, 解得a=2,a=0(不合题意，舍去)， ：A6,4), k=6×4=24, “反比例函数表达式为y=24 故选D 9.(2026陕西西安模拟预测)如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A,点C在反比例函数y=《 (k>0,x>0)图象上，若直线BC的函数表达式为y=。x-2,则k的值为 【答案】6 【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,，设直线BC与y轴交于点G, 32/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G 1 令10得：2x-2=0, 解得：x=4, 令x=0得：y=-2, B(4,0、G(0,-2, 0B=4、0G=-2=2, ∠AEB=LBFC=90°， :四边形ABCD是正方形， .AB=BC、∠ABC=90°， LABE+∠CBF=90°， :∠ABE+∠BAE=90°， :Z CBF ZBAE, 在△ABE和BCF中， ∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC △ABE≌△BCF(AAS), ·AE=BF、BE=CF, :∠GOB=LCFB=90°、∠GB0=∠CBF, .△GBOCBF, OG OB CFBF F=0b=g=2 CF OG 设CF=BE=a,则AE=BF=2a, 0E=4-a、0F=4+2a, 33/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A4-a,2a、C4+2a,a, 将点A4-a,2a)、C4+2a,a)代入y=得： -=2a 4-a k =a 4+2a 整理得：a2-a=0, 解得：a=1或a=0（舍去)， ·A3,2), k=3×2=6. 10.（2024广东.中考真题)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=axa>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB),以线段 BD为对角线作矩形ABCD,AD∥x轴。反比例函数y=《的图象经过点A. 【构建联系】 (1)求证：函数y=k的图象必经过点C. (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2)时， 求k的值 【深入探究】 (3)如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接AC交BD于点P.以 点O为圆心，AC长为半径作O0.若OP=3√2，当⊙0与△ABC的边有交点时，求k的取值范围. y (E) 0 图1 图2 图3 【答案】1)证明见解析：(2)k=名；(3)6sk≤8 34/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k】 【详解】(1)设B(m,ma,则Am, m :AD‖x轴， D点的纵坐标为一， m :将y=代入y=ar中得：冬=r得， m m k .X= am Dfk （am'm' (k .C,am, am :将x=k代入y=中得出y=am, am :函数y=人的图象必经过点C, (2)点B(1,2)在直线y=ax上， a=2, y=2x, A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， :函数y=《的图象经过点A,C, 哈小 .DC=k-2, :把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E, BC=2-1.ZBED LBCD DC=k-2=2=DE :BCk1 BE, 2 如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴， 35/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 衣 :ADIx轴， H,A,D三点共线， ∴.∠HED+∠BEF=90°，∠BEF+∠EBF=90°， ∠HED=∠EBF, :LDHE=∠EFB=90°， .△DHE∽△EFB, DH_HE =DE=2. EF BF BE :BF=1,DH=2 .HE=2.EF 41 F=2+A, 由图知，HF=DC, 2+5=k-2, 4 k=16 (3):把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E,当点E,A重合， ·AC⊥BD, :四边形ABCD为矩形， :四边形ABCD为正方形，∠ABP=∠DBC=45°， :.AB=BC=CD=DA=-AP=AP,AP=PC=BP=AC.BPL AC. sin45° :BC∥x轴， 36/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :直线y=ax为一，三象限的夹角平分线， .y=x, 当OO过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H, :AD∥x轴， H,A,D三点共线， y E H山 D P :以点O为圆心，AC长为半径作00，OP=32, OP =OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=32, :AP=√2， :AB=AD=2AP=2,BD=2AP=22,BO=AC=2AP=22, :AB∥y轴， △HOADAB, HO DH DO ABAD】 BD HO DH 22+22 2=2 2W2 .H0=HD=4, ∴.HA=HD-DA=4-2=2, A2,4, .k=2×4=8, 当⊙0过点A时，根据A,C关于直线OD对轴知，⊙0必过点C,如图所示，连AO,CO,过点D作 DH∥x轴交y轴于点H, 37/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (E) :A0=0C=AC, .△AOC为等边三角形， :OP⊥AC, ∠AOP= 二×60°=30°， 4P-n30*xOP-x3-6-PD.AC=BD=24P=216. 3 :AB=AD=√2AP=25,0D=0P+PD=3√2+√6， :AB∥y轴， △DHOADAB, HO DH DO AB AD BD HODH32+√6 2W3232√6 H0=HD=3+V3, HA=HD-DA=3+V5-25=3-V5, A3-5,3+5) k=3-5x3+⑤)=6， :当⊙0与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8. 11.(24-25九年级下·广东佛山)如题图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABC0的顶点O与坐 标原点重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上，动点D从点O出发，沿线段OC运动到点C时停止，连接 38/43 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD,将△AOD沿直线AD折叠得到△AED. A 图1 图2 (I)当∠0AD=25°时，则∠CDE= (②)如题图2，延长AE交线段BC于点F. ①当点F为线段BC中点时，求OD的长度； ②已知点P为线段CD上一点，一次函数y=a+b经过点P,并与过点F的反比例函数y=(x>0)分别交于 M(x,,N,,两点(5<)，若，5为方程m2+h-8=0的两个根，且MN=5-,求k的值与a PN 2 的取值范围， 【答案】(1)50 ②00D=25-2:②k=8,-2 a≤ 5-3 5 【详解】(1)解：由折叠可知，∠AD0=∠ADE, ∠0AD=25°， ∠AD0=90°-25°=65°， ∠CDE=180°-2LAD0=50°， 故答案为：50； (2)解：①：四边形ABCO是边长为4的正方形， C0,4,B4,4,A4,0, :点F为线段BC中点， F(2,4, 设直线AF的解析式为y=mx+n, 2m+n=4 4m+n=0 m=-2 解得 n=8 39/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :直线AF的解析式为y=-2x+8, 设E(e,-2e+8), 0A=AE=4, 4=Ve-4)2+(-2e+82, 解得e=4-45或e=45+4(舍)， 5 5 E4- 585 5,5 设D(0,d) :OD=DE -4sj 解得d=25-2, 0D=25-2; ②：一次函数y=+b经过点P,并与过点F的反比例函数y=《x>0)分别交于M(x,y,N(x,)两点 (x<x2), y=ax+b 联立 k y= 整理得ax2+bx-k=0, x,x2为方程ax2+bx-k=0的两个根， :x,x2为方程ax2+bx-8=0的两个根， k=8,x+x=-b①，xx=-8②， a a k=8, :过点F的反比例函数y=←x>0)解析式为y=8(x>0), :点F的纵坐标为4， F(2,4), 40/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由①可得0D=2√5-2； 过点N作NH⊥y轴交于H点，过点M作MG⊥HN于点G, D Mw-GN-为-5-5-1， PN HN X2 2, “x=3-55③ 2 将③代入①②中，整理可得b2=-40a, :0D=25-2,0C=4, 2N5-2≤b≤4， 24-8V5≤b2≤16， 24-8V5≤-40a≤16， 5 12.(23-24九年级下·广东汕头)如图1，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的边OC、OA分别在坐标轴上， 且OA=3,OC=6,反比例函数y=冬(x>0)的图象与AB、BC分别交于点D、E,连结DE. 图1 图2 图3 (1)如图2，连结OD、OE,当△0AD的面积为3时，①k=-;②S△oDE=-: (②)如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值. 【答案】(1)①6②8 41/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：①a0AD的面积为3， k=6, 故答案为：6： ②在矩形OABC中，OA=BC=3,OC=AB=6, :k=6, ∴反比例函数的解析式是：y=6x>0), OA=3, 即点D的纵坐标是3， 令y=6=3. 解得：x=2, D(2,3列，同理，当x=6时，y=6=1, 6 .E(6,1, AD=2,BD=AB-AD=6-2=4,CE=1,BE=BC-CE=3-1=2, S.me=Se0c-S.oo-SE-SE=0A,0C-，女-BD-BE=6x3-。6-6-X4x2=8, 222 222 故答案为：8； (2)过点D作DG⊥x轴于点G,则DG=0A=3, Y -1B E 图3 OA=3,即点D的纵坐标是3， 令y=k=3, k 得：x= 3 42/43 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理可得，当x=6时，y=人- x6' AD-有，BD=AB-AD=6-专CE=众BE=BC-CE=3- 3 6 6 由折通的性质可知：DF=BD-6-合FE=能=3冬(DFE=∠8=90， .∠DFG+∠CFE=90°， :DG1x轴， ∠DFG+∠GDF=90°， .∠CFE=∠GDF, :LCFE=∠GDF,∠FCE=∠DGF=90°， △CFEAGDF, k3 k 6、1 GF 6-k2' 3 ..GF= 3 :DG⊥x轴 ∴△GDF是直角三角形， DG2+GF2=DF2, +((6 解得：k=27 即k的值为 27 4 43/43 专题07 反比例函数问题（函数压轴，压轴题专练） 命题预测 常和一次函数、几何图形结合。重点考求解析式、k值面积、交点计算、线段比例和动点问题，注重数形结合，常需分类讨论，难度分层，侧重基础综合运用。 高频考法 1. 反比例函数与一次函数结合 2. 反比例函数与特殊图形问题的求解 3. 反比例函数中面积问题的求解 4. 反比例与一次函数、几何图形综合 典例·靶向·突破 题型1. 反比例函数与一次函数结合 1、 解决反比例函数与一次函数交点问题： 1. 若解析式直接求解不出来，可构造直角三角形，用锐角三角函数转化线段关系求解；若已知 一次函数和反比例函数解析式求交点，联立方程组求解即可 2. 题中存在直线平移/平行时，要注意平行的直线，值相等 2、 方法总结 1. 求交点坐标： (1)反比例函数与正比例函数图象的交点，关于原点对称； (2)反比例函数与一次函数图象的交点，可联立方程组求解 2. 函数值的大小比较：利用数形结合法在同一平面直角坐标系中，画出一次函数与反比例函数的图象，根据两函数位置关系，观察对应自变量的范围 3. 看到关于横、纵坐标的代数式值，实际上是求点坐标，联立方程组求解即可 3、 正比例函数与双反比例函数问题中，已知线段数量关系，求k的比值的解题步骤： 1.设其中一个交点的横坐标，根据k=xy表示出纵坐标； 2.构造相似三角形，根据相似比列等量关系求解 4、 求三角形面积的两种方法 1.直接公式法：反比例函数与一次函数结合，求面积方法：当三角形一边在坐标轴上或平行 于坐标轴时，如下图所示： 2. 和差法：当求三边均不平行坐标轴的三角形面积时，如下图所示： 【典例1】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为(   ) A． B． C．或 D．或 【典例3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点为线段的中点．若点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·安徽马鞍山·三模）如图，是坐标原点，直线与反比例函数的图象分别交于点，且． （1）______； （2）过点作的垂线交反比例函数的图象于点，若，则点的坐标为______． 题型2. 反比例函数与特殊图形问题的求解 1、 反比例函数与几何图形结合求k值的一般步骤： 步骤一：根据反比例函数解析式设出几何图形上的点坐标 步骤二：利用几何图形的性质转化点的坐标； 步骤三：根据k=xy联立方程求出参数ɑ的值，得k的值。 2、 反比例函数与直角三角形结合，过反比例函数图象上的点作x轴，y轴的垂线，构造相似三角 形，求出线段长；看到角平分线时，不要忘记向角两边作垂线，得等线段 【典例1】如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在边上，且，以为边向下作矩形，使得点在边上，反比例函数的图象经过边与交于点．若，则的值为（   ） A．4 B． C． D．6 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为______． 【典例3】如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为______． 题型3. 反比例函数中面积问题的求解 反比例函数与矩形结合的面积问题中，常需运用以下结论 结论 【典例1】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 【典例3】如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 题型4. 反比例与一次函数、几何图形综合 1、 解决关键 关键点1找到临界点：①最左/上端的交点位置；②最右/下端的交点位置 关键点2求临界状态下的线段长及点坐标： ①运用特殊图形的性质、锐角三角函数求线段长； ②设图象上点坐标，建立等量关系求解 关键点3确定范围： ①取临界值的中间； ②取临界值的两端。若不确定取中间，还是两端，可以代入中间范围内的值验证，若成立，取中间；否则，取两端 【典例1】如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上.若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限内的两个动点（），以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点． 【构建联系】 (1)求证：函数的图象必经过点． (2)如图2，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值． 【典例3】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2) 如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 1.（2025·贵州贵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上．将直线沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B，与此反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为______． 3．（23-24九年级上·福建福州）如图，在中，，在x轴上，点E是的内心，且，，反比例函数的图象经过点E，则k的值为________． 4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点A，分别在轴、轴的正半轴上，为的中点，反比例函数（，）的图象经过点和点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分交于点C，平分交OA于点D，交于点E，反比例函数，经过点E，若，，则k的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东淄博）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为10，则k的值是_______． 7．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，点在正半轴上，且为等边三角形． （1）_________； （2）为边上一点，点在负半轴上，连接交于点，若，则经过点的反比例函数的解析式为_________． 8．（21-22九年级下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数的图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数（，）图象上，若直线的函数表达式为，则的值为______． 10．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 11．（24-25九年级下·广东佛山）如题图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，动点D从点O出发，沿线段运动到点C时停止，连接，将沿直线折叠得到． (1)当时，则__________ ； (2)如题图2，延长交线段于点F． ①当点F为线段中点时，求的长度； ②已知点P为线段上一点，一次函数经过点P，并与过点F的反比例函数分别交于两点，若为方程的两个根，且，求k的值与a的取值范围． 12．（23-24九年级下·广东汕头）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数（）的图象与、分别交于点、，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为3时，① ；② ； (2)如图3，将沿翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $