第三单元 因数与倍数第6课时《公因数与最大公因数》（导学案）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版
苏教版数学五年级下册第三单元因数和倍数
——苏教版数学五年级下册 第三单元 第6课时《公因数与最大公因数》导学案
（2026修订）
【学习内容】
苏教版五年级数学下册教材第41～42页，例9、例10及相关练习。
【学习目标】
1. 理解公因数和最大公因数的意义，知道两个数公有的因数是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。
2. 能用列举法、筛选法或短除法求两个数的公因数和最大公因数，掌握特殊情况下求最大公因数的简便方法。
3. 感受数学与生活的联系，能运用公因数知识解决铺地砖、截小棒等实际生活问题。
【学习重点】
理解公因数和最大公因数的意义，会用不同方法求两个数的公因数和最大公因数。
【学习难点】
理解“公”的含义，正确区分因数、公因数和最大公因数三个概念；在解决实际问题时能准确判断是求最大公因数还是求公因数。
【学法指导】
1. 动手操作：用边长不同的小正方形铺长方形，记录哪种正方形能正好铺满。
2. 对比归纳：比较两个数各自的因数，圈出相同的部分，找到最大的那个。
3. 小组讨论：什么样的两个数最大公因数是1？最大公因数与两个数的大小有什么关系？
一、课前预习
预习要求：阅读教材P41-42，思考以下问题。
预习思考题：
1. 用边长1厘米、2厘米、3厘米、4厘米的正方形去铺一个长12厘米、宽8厘米的长方形，哪些能正好铺满？为什么？
2. 什么叫公因数？什么叫最大公因数？8和12的公因数有哪些？最大公因数是几？
3. 如果两个数的最大公因数是1，这两个数可能是什么关系？举出三个例子。
学科网（北京）股份有限公司
二、新知讲授
知识点一：公因数和最大公因数的意义
知识要点：
1. 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
2. 最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
3. 如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数互质（互质数不一定都是质数，如8和9）。
4. 公因数一定是最大公因数的因数（即：两个数的公因数都是它们最大公因数的因数）。
例题 1（基础）——公因数与最大公因数的概念
题目：把12和18的因数填入相应的括号中，再回答问题。
（1）填一填：12的因数有（ ），18的因数有（ ）。
（2）12和18的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。
【解析】
12 的因数：1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
18 的因数：1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18
12 和 18 公有的因数：1 , 2 , 3 , 6
最大的公因数是：6
【答案】（1）1,2,3,4,6,12；1,2,3,6,9,18 （2）1,2,3,6；6
变式训练 1-1 24 的因数有（ ），36 的因数有（ ），24 和 36 的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。
【答案】24 的因数：1,2,3,4,6,8,12,24；
36 的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36；
公因数：1,2,3,4,6,12；
最大公因数：12
变式训练1-2 （2023·苏州期末）两个数的最大公因数是 8，这两个数的公因数有（）个。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
【答案】B
【解析】公因数都是最大公因数的因数。8 的因数有 1,2,4,8，共 4 个，
所以这两个数的公因数有 4 个。
变式训练1-3 下列说法正确的是（ ）。
A. 两个数的公因数的个数是无限的
B. 两个数的最大公因数一定比这两个数都小
C. 公因数是最大公因数的因数
D. 1 是所有数的最大公因数
【答案】C
【解析】A 项错，公因数个数有限（≤较小数）；B 项错，当两数相等时，最大公因数等于这两个数；C 项对；D 项错，如 2 和 4 的最大公因数是 2，不是 1。
学科网（北京）股份有限公司
知识点二：求最大公因数的方法
知识要点：
1. 列举法：先写出两个数各自的因数，再找出公因数和最大公因数。
2. 筛选法：先写出较小数的因数，再从中筛选出较大数的因数，最大的即为最大公因数。
3. 短除法：用两个数的公有质因数连续去除，直到商互质为止，所有除数的乘积就是最大公因数。
特殊情况：
（1）两个数互质，最大公因数是 1。
（2）两个数成倍数关系，最大公因数是较小数。
例题 2（基础）——用不同方法求最大公因数
题目：用短除法求 24 和 36 的最大公因数。
【解析】
短除法过程：
2 │ 24 36
├───────
2 │ 12 18
├───────
3 │ 6 9
└───────
2 3 （2和3互质，停止）
所有除数的乘积：2×2×3 = 12。
【答案】24 和 36 的最大公因数是 12。
变式训练 2-1 用你喜欢的方法求下列各组数的最大公因数。
（1）30 和 45 的最大公因数是（ ）。
（2）17 和 51 的最大公因数是（ ）。
（3）9 和 16 的最大公因数是（ ）。
【答案】（1）15 （2）17 （3）1
【解析】（1）30=2×3×5，45=3×3×5，公因数为 3×5=15；（2）51 是 17 的 3 倍，成倍数关系，最大公因数为 17；（3）9 和 16 互质，最大公因数为 1。
学科网（北京）股份有限公司