精品解析：四川阆中中学校2025-2026学年高二下学期期中学习质量检测数学试题

阆中中学校2026年春高2024级期中学习质量检测 数学试题 （时间：150分钟满分：150分命题人：李丹审题人：王正全） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题.（每小题5分，共40分） 1. 4与9的等比中项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 5. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6. 已知等比数列中，是方程的两根，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 函数点处的切线方程为，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 6 8. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得5分，部分选对得部分分，选错不得分） 9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为30 B. 当或时，取得最大值 C. 使成立的的最大值为10 D. 数列是递减数列 10. 已知函数，则（ ） A. B. 有两个零点 C. 在上单调递增 D. 轴是曲线的切线 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在处的3次泰勒多项式为 C. 在处的3次泰勒多项式为 D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 用0，1，2，3这4个数字，可组成______个没有重复数字的三位数（用数字作答） 13. 数列中，若，，则__________. 14. 已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 16. 已知数列前n项和为，且， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知为等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 18. 给定函数 （1）求函数的单调区间； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2026年春高2024级期中学习质量检测 数学试题 （时间：150分钟满分：150分命题人：李丹审题人：王正全） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题.（每小题5分，共40分） 1. 4与9的等比中项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的定义可得. 【详解】设4与9的等比中项为，则，所以. 故选：C. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 【答案】B 【解析】 【分析】由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可. 【详解】由题可知：， 当时，，…， 累加得：， 所以，即，又也适合， 则. 5. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 6. 已知等比数列中，是方程的两根，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出． 【详解】是等比数列，设公比为， ， 是方程的两根， ，同号，且， ，解得， 又 ，故C正确． 故选：C． 7. 函数点处的切线方程为，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由题意已知，可得. 8. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得5分，部分选对得部分分，选错不得分） 9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为30 B. 当或时，取得最大值 C. 使成立的的最大值为10 D. 数列是递减数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出的表达式，结合二次函数的知识即可逐项判断． 【详解】对于AB，前项和公式， 令，该二次函数对称轴为， 所以的最大值在和中的最大值取得， 又，， 当或时，取得最大值30，故AB正确； 对于C，，即，得， 又为正整数，故的最大值为10，故C正确； 对于D，结合对称轴，可知，在时单调递增，时单调递减， 因此先增后减，并非递减数列，故D错误． 10. 已知函数，则（ ） A. B. 有两个零点 C. 在上单调递增 D. 轴是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出即可判断A；根据函数零点的定义求解判断B；根据一次函数和对数函数的单调性判断C；根据导数的几何意义求解判断D. 【详解】由，， 则，， 由于，则，故A正确； 令，解得，所以有一个零点，故B错误； 因为函数和在上单调递增， 且时，， 所以函数在上单调递增，故C正确； 由，则， 由B知，有一个零点1，即， 所以在处的切线方程为，故D正确. 故选：ACD. 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在处的3次泰勒多项式为 C. 在处的3次泰勒多项式为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出阶导数判断A，根据定义写出3次泰勒多项式判断BC，利用泰勒多项式求近似值判断D. 【详解】选项A，，则，A错； 选项B，，则，，所以， 所以， 从而在处的3次泰勒多项式为，B正确； 选项C，，， ，， 所以在处的3次泰勒多项式为，C正确； 选项D，由选项B知在处的n次泰勒多项式为， ， ，， 所以，D错. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 用0，1，2，3这4个数字，可组成______个没有重复数字的三位数（用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】需要分步确定三位数的百位、十位和个位数字． 【详解】组成的数是三位数，故百位不能是，百位有种选择； 百位选了一个数字后，十位还有种选择； 百位和十位各选了一个数字后，个位还有种选择； 一共可以组成没有重复数字的三位数有：（个）. 故答案为：． 13. 数列中，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得. 【详解】由题意，，可得，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案. 【详解】设切点为，因为函数，所以，则， 所以切线方程为：，又切线方程过点， 所以，化简得：， 令，所以 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 的草图如下： 过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则， 所以. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16. 已知数列前n项和为，且， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以当时，， 两式作差得， 又符合上式，故的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 17. 已知为等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由条件先求出，即可根据等比数列的通项公式求出； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出其前n项和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为为等比数列，，所以. 又，所以，即，解得， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 所以①， 两边同时乘以2可得②， 用①的两边减去②的两边可得 ， 所以数列的前n项和为. 18. 给定函数 （1）求函数的单调区间； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解导数大于0，小于0的不等式即可. （2）由（1）作出大致图象. （3）结合（2）的图象，求出函数的图象与直线的交点个数即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数在处取得最小值，，当时，， 函数的大致图象，如图： 【小问3详解】 方程解的个数等价于函数的图象与直线的交点个数， 由（2）知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，只需证明，， 当时，，，此时成立， 当时，令，， 令，则， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 因为，所以时，， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增，， 所以， 综上可得成立. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义计算求解； （2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证； （3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 当时，，， 则切线斜率，， 所以切线方程为，即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时，由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， 则， 令， 得到，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以，故的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $