第三单元 因数与倍数第5课时《质因数与分解质因数》（导学案）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

苏教版数学五年级下册第三单元因数和倍数 —苏教版数学五年级下册 第三单元 因数与倍数 第5课时《质因数与分解质因数》导学案（2026修订） 【学习内容】 苏教版五年级数学下册教材第38页例7、例8，“练一练”及“你知道吗”栏目。 【学习目标】 1. 知道什么是质因数和分解质因数，理解质因数与因数的区别与联系。 2. 掌握用短除法分解质因数的方法，能正确地将一个合数分解质因数。 3. 能运用分解质因数的方法解决生活中的实际问题，体会数学的应用价值。 【学习重点】 理解质因数的意义，掌握用短除法分解质因数的方法。 【学习难点】 区分“因数”“质数”“质因数”三个概念，正确书写分解质因数的结果。 【学法指导】 1. 自主回顾：复习第4课时学过的质数与合数的概念，熟记30以内的质数。 2. 动手操作：准备好草稿纸，边学边用短除法分解几个合数。 3. 小组合作：讨论“因数”“质数”“质因数”三个概念的区别和联系，并用思维导图整理。 一、课前预习 预习任务：认真阅读教材第38页，完成以下问题。 1. 在5＝1×5、28＝4×7中，哪些数是5的因数？哪些数是28的因数？其中哪些是质数？ 2. 什么是质因数？28的因数中哪些是质因数？ 3. 什么叫分解质因数？28分解质因数的结果是怎样的？ 二、新知讲授 知识点一：质因数的意义 知识要点： 1. 质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 2. 核心理解——三个概念的区分： （1）因数：两个整数相乘得到积，这两个数都是积的因数（可以是1、质数或合数）。 （2）质数：一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数。 （3）质因数：既是某个数的因数，本身又是质数。 例：28的因数有1、2、4、7、14、28。其中的质数是2和7，所以28的质因数是2和7。 3. 重要提示： （1）1既不是质数也不是合数，所以1不是任何数的质因数。 （2）每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式。 （3）一个合数的质因数不一定只有一个，可以重复。 例题 1（基础）——判断质因数 题目：（2023·南京鼓楼区期末）下面说法中，正确的是（　　） A. 2、3、7都是42的质因数 B. 6是24的质因数，因为6是24的因数 C. 1是20的质因数 D. 一个数的因数，都是这个数的质因数 【解析】 逐一判断： A项：42＝2×3×7，且2、3、7都是质数，所以2、3、7都是42的质因数。 B项：6是24的因数，但6是合数，不是质数，所以6不是24的质因数。 C项：1不是质数，所以1不是任何数的质因数。 D项：因数中包含1和合数，这些不是质因数。 答案：A 变式训练 1-1 （2022·苏州吴江期中）在15的所有因数中，质因数有（　　）。 A. 1、3、5　　B. 3、5　　C. 1、3、5、15 【答案】B 【解析】15的因数有1、3、5、15。其中3和5是质数，所以15的质因数是3和5。 注意1不是质数，15是合数。 变式训练1-2 2是16的质因数吗？为什么？ 【答案】 是。因为2是16的因数，且2是质数，所以2是16的质因数。 变式训练1-3 下面的数中，哪些是36的质因数？说明理由。 A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 6　　E. 9 【答案】A、B 【解析】36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 其中2和3是质数，所以36的质因数是2和3。4、6、9是合数，不是质数。 知识点二：分解质因数的意义 知识要点： 1. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 2. 分解质因数的表示方法：一般将质因数从小到大排列，用“×”连接。如：6＝2×3，28＝2×2×7。 3. 需要注意： （1）分解质因数是针对合数而言的，质数不能分解质因数（质数本身是质数）。 （2）分解质因数时，通常写成几个质数相乘的形式，最后结果为“a×b×c”的形式。 （3）例如：18分解质因数写作 18＝2×3×3，不能写成 18＝2×9（因为9不是质数）。 例题 2（基础）——分解质因数的书写 题目：下面各算式中，属于分解质因数的是（　　） A. 18＝3×6　　B. 20＝2×2×5 C. 24＝2×3×4　　D. 2×2×3＝12 【解析】 分解质因数必须满足：（1）等号左边是一个合数；（2）等号右边全是质数相乘的形式。 A项：6是合数，不是质因数相乘形式。 B项：20是合数，右边2×2×5中，2和5都是质数，符合要求。 C项：4是合数，不是全部是质数。 D项：等号左边是乘式，右边是合数，不符合“把合数写成质因数相乘”的要求。 答案：B 变式训练 2-1 下面分解质因数正确的是（　　） A. 45＝5×9　　B. 30＝2×3×5 C. 24＝4×6　　D. 63＝7×9 【答案】B 【解析】A项9是合数；B项2、3、5全是质数，正确；C项4和6都是合数；D项9是合数。 变式训练2-2 12＝2×2×3这种写法是分解质因数吗？12＝3×4呢？ 【答案】 12＝2×2×3是分解质因数（2、3都是质数）； 12＝3×4不是分解质因数（4是合数）。 变式训练2-3 下面哪个算式的书写是正确的分解质因数？（　　） A. 2×7＝14　　B. 14＝2×7　　C. 14＝1×2×7 【答案】B 【解析】分解质因数的形式是“合数＝质数×质数×……”。A项左右写反了；B项符合要求；C项中1不是质数。 知识点三：用短除法分解质因数 知识要点： 【短除法的步骤】 第一步：把要分解的合数写在短除号“└──”的里面。 第二步：用这个合数的最小质因数（通常从最小的质数2开始试）去除，把商写在被除数的正下方。 第三步：如果商是合数，就用同样的方法继续除下去，直到商是质数为止。 第四步：把 “所有的除数”和“最后的商”连乘起来，写成“合数＝质因数×质因数×……”的形式。 短除法需要注意： （1）每次所用的除数必须是质数。 （2）通常从最小的质数2开始试除，如果不行再用3、5、7…… （3）除到最后的商是质数为止。 知识点四：分解质因数的应用 知识要点： 1. 分解质因数可以帮助我们解决一些实际问题，如分组问题、乘积末尾0的个数问题等。 2. 积末尾的0：乘积末尾0的个数＝乘积中因数2和因数5的对数。 3. 根据质因数乘积的关系，可以反推出原来的合数。 例题 3（中等）——分解质因数的实际应用 题目：把40个同学分成若干组，每组人数相等且大于2人。可以怎样分？写出所有可能的分法。 【解析】 分析题意：每组人数×组数＝40（人）。每组人数必须大于2，且是40的因数。 先找出40的所有因数：分解质因数 40＝2×2×2×5。 40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。 每组人数大于2，排除1和2，剩余可能的每组人数：4、5、8、10、20、40。 答案：可以分成：每组4人，分成10组；每组5人，分成8组；每组8人，分成5组；每组10人，分成4组；每组20人，分成2组；每组40人，分成1组。 变式训练 3-1 张老师有48本练习本，他想把这些练习本平均分给同学们。如果每个同学分得的本数多于2本且少于10本，可以怎么分？有几种分法？ 【答案】4种分法 【解析】48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 每个同学分得的本数多于2且少于10：可能为3、4、6、8本。 每人3本：48÷3＝16（人） 每人4本：48÷4＝12（人） 每人6本：48÷6＝8（人） 每人8本：48÷8＝6（人）　 共4种分法。 变式训练3-2 某个数是两个质数的积，这个数可能是（　　）。 A. 18　　B. 24　　C. 35　　D. 45 【答案】C 【解析】A项18＝2×3×3（三个质因数）；B项24＝2×2×2×3（不止两个）； C项35＝5×7（两个质数）；D项45＝3×3×5（三个）。故选C。 变式训练3-3 一个合数分解质因数是：甲＝a×b×c，其中a、b、c都是质数且不同。甲最小是（　　）。 A. 30　　B. 42　　C. 8 【答案】A 【解析】要最小，取最小的三个质数（需不同或可重复）。 最小的三个质数为2、3、5。2×3×5＝30。答案为30。 例题 4（中等）——根据分解质因数反推原数 题目：一个长方形的面积是36平方厘米，长和宽都是整厘米数（长＞宽）。这样的长方形有多少种？它的长和宽可能是多少厘米？ 【解析】 面积36＝长×宽。 分解 36＝2×2×3×3。36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 要求长＞宽： 满足长＞宽的有36与1、18与2、12与3、9与4。 答案：有4种。 长和宽可能为： 长36cm宽1cm； 长18cm宽2cm； 长12cm宽3cm； 长9cm宽4cm。 变式训练 4-1 一个长方形的面积是48平方厘米，长和宽都是整厘米数。这样的长方形有多少种？ 【答案】 5种 【解析】48的因数对：（1,48）、（2,24）、（3,16）、（4,12）、（6,8），共5种。 变式训练4-2 甲数＝2×3×5，乙数＝2×3×7。关于这两个数，下面说法错误的是（　　）。 A. 甲数是30　　B. 乙数是42　　C. 甲、乙的最大公因数是6　　D. 乙是奇数 【答案】D 【解析】甲数＝2×3×5＝30， 乙数＝2×3×7＝42。42是偶数，D错。 变式训练4-3 一个数的质因数有2、3、3、5，这个数是多少？ 【答案】90 【解析】2×3×3×5＝90。 例题 5（提优）——分解质因数的综合应用 题目：乘积 1×2×3×…×15 的末尾连续有（　　）个0。 【答案】3 【解析】统计1～15中的因数5：5、10、15各提供1个，共3个。因数2的个数足够多，所以末尾有3个0。 变式训练5-1 （2022·盐城东台期末）选择正确答案：30×31×32×……×40的乘积末尾有（　　）个连续的0。 A. 3　　B. 4　　C. 5 【答案】A 【解析】统计30～40中因数5的个数：30含1个，35含1个，40含1个（40＝2×2×2×5），共3个。因数2足够多，末尾有3个0。 三、巩固练习（共15题） 基础巩固 1. （2024·淮安淮阴期中）在下面的方框里填上合适的质数。 10＝（　）＋（　）　　15＝（　）＋（　） 2. 下面各数中，哪些是5的质因数？哪些是9的质因数？哪些是20的质因数？ ①2、②3、③4、④5、⑤9 3. 把下面各数分解质因数。 14＝　　　　36＝　　　　49＝ 4. 判断题。 （1）10分解质因数是10＝2×5×1。（　　） （2）3是15的质因数。（　　） 5. 48和36分解质因数后，48＝（　　），36＝（　　）。 能力提升 6. （2023·盐城亭湖期末）选项中的三个数，既有相同质因数2，又有相同质因数3的是（　　）。 A. 12和16　　B. 18和24　　C. 36和45 7. 某班同学排队做操，每排8人则最后一排6人，每排10人则最后一排少4人。这个班最少有多少人？ 8. （2023·镇江句容期末）已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×5×7×11。那么A、B的最大公因数是（　　）。 9. 三个质数的最小公倍数是42，这三个质数分别是（　　）、（　　）、（　　）。 10. 一个长方形的面积是54平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？请列举出来。 提优拓展 11. （2024·南京玄武区期末）如果 a＝2×3×5，b＝2×2×3，那么 a 和 b 的最大公因数是（　　），最小公倍数是（　　）。 12. （2023·苏州吴中区期末）24×25×26×……×50 的乘积末尾连续有多少个0？写出分析过程。 四、课堂小结 请同学们回顾并填写： 1. 什么是质因数？一个数的（　　）中，如果是（　　）的，这个因数就叫做这个数的质因数。 2. 把一个（　　）写成几个（　　）相乘的形式，叫做分解质因数。 3. 分解质因数常用的方法是（　　）法。短除法每次除以的必须是（　　），一直除到商是（　　）为止。 4. 1（　　）（填“是”或“不是”）任何数的质因数。 【我的收获】 通过本节课的学习，我知道了：________________________。 【我的疑问】 ____________________________________________。 五、答案解析 基础巩固 1. 10＝3＋7；15＝2＋13（答案不唯一，加数均为质数即可） 2. 5的质因数：④（5是质数）； 9的质因数：②（3是质数）； 20的质因数：①和④（2和5）。 3. 14＝2×7；36＝2×2×3×3；49＝7×7。 4. （1）×（分解质因数不能有1）；（2）√。 5. 48＝2×2×2×2×3；36＝2×2×3×3。 能力提升 6. B 【解析】A项：12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，有公因数2无3。 B项：18＝2×3×3，24＝2×2×2×3，有公因数2和3。 C项：36＝2×2×3×3，45＝3×3×5，有公因数3无2。故选B。 7. 46人 【解析】设班有x人。x÷8 余6，等价于 x＋2 可被8整除；x÷10 余6（最后一排少4人即余6人），等价于 x＋2 可被10整除。所以x＋2同时是8和10的公倍数。8和10的最小公倍数是40，x＋2＝40，x＝38，不符合最后一排情况？检验：每排8人：38÷8＝4排余6人；每排10人：38÷10＝3排余8人，最后一排少2人？余8即最后一排缺2人（实际最后一排只站了8人），题干“最后一排少4人”表示如果排满10人则少4人即实站6人。所以x÷10余6。38÷10余8不符。下一个公倍数：40×2＝80，x＋2＝80，x＝78，78÷8＝9排余6；78÷10＝7排余8≠6。需同时满足余6和余6（即两条件同余）：设x÷8＝a…6，x÷10＝b…6。所以x－6同时是8和10的倍数。x－6的最小公倍数为40，x＝46。检验：46÷8＝5余6；46÷10＝4余6。所以最少46人。 8. 30 【解析】A＝2×2×3×5，B＝2×3×5×7×11。最大公因数＝2×3×5＝30。 9. 分解42＝2×3×7，这三个质数是2、3、7。 10. 4种 54的因数对有：(1,54)、(2,27)、(3,18)、(6,9)。 若长＞宽，这4种均符合。 提优拓展 11. 最大公因数是2×3＝6；最小公倍数是2×2×3×5＝60。 12. 统计24～50中因数5的个数：25含2个5，30含1个，35含1个，40含1个，45含1个，50含2个（50＝2×5×5）。 总计：2＋1＋1＋1＋1＋2＝8个5。 因数2远多于8个，所以乘积末尾有8个连续的0。 学科网（北京）股份有限公司 $