第三单元 因数与倍数第3课时《3的倍数的特征》（导学案）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

苏教版数学五年级下册第三单元因数和倍数 ——苏教版数学五年级下册 第三单元 因数与倍数 第3课时《3的倍数的特征》导学案 【学习内容】 苏教版五年级数学下册教材第33～34页，例5、“练一练”及相关补充习题。 【学习目标】 1. 通过自主探索与小组合作，经历3的倍数的特征探究过程，理解并掌握3的倍数的特征，能准确判断一个数是不是3的倍数。 2. 能比较2、5、3的倍数特征的不同点，体会数学规律的多样性，增强迁移类推能力和数感。 3. 感受数学规律的奇妙和探究乐趣，发展探索、猜想、验证、归纳的数学思维品质。 【学习重点】 理解并掌握3的倍数的特征，学会判断一个数是否是3的倍数。 【学习难点】 发现并归纳“一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这一规律，理解为什么3的倍数特征与2、5的倍数特征不同（看“末尾” vs 看“各位上和”）。 【学法指导】 1. 借助百数表，圈一圈、算一算，初步发现各数位上数字之和的规律。 2. 自主阅读教材P33-34，尝试用语言归纳3的倍数的特征。 3. 小组讨论：为什么判断3的倍数要看各位上数字的和，而2和5的倍数只看个位？你能试着用几个数说说你的理解吗？ 一、课前预习 预习要求：认真阅读教材第33～34页，回答下列问题。 预习思考题： 1. 在百数表中圈出所有3的倍数，观察这些数有什么共同特征？只看个位行吗？ 2. 一个数的各位上数字的和是什么意思？请写出下面各数“各位上数字的和”： （1）42：4＋2＝（　　） （2）156：1＋5＋6＝（　　） （3）2019：2＋0＋1＋9＝（　　） 3. 判断一个数是不是3的倍数，能不能只看个位？有人说“个位是3、6、9的数就是3的倍数”，你同意吗？举例说明。 二、新知讲授 知识点：3的倍数的特征 知识要点： 1. 一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 3的倍数的特征与2、5的倍数的特征不同： （1）2、5的倍数：只与个位数字有关 （2）3的倍数：与各位数字的和有关 3. 判断一个数是否是3的倍数的一般步骤： 第一步：写出这个数各位上的数字 第二步：计算各位上数字的和 第三步：看这个和是不是3的倍数 4. 既是2的倍数又是3的倍数的数，一定是6的倍数；既是5的倍数又是3的倍数的数，一定是15的倍数；同时是2、3、5的倍数的数，一定是30的倍数。 5. 3的倍数的特征同样适用于更大的数，如多位数、整百数等。 例题 1（基础）——判断一个数是不是3的倍数 题目：（2025·盐城亭湖期末）下面各数中，是3的倍数的数是（　　） A. 28　　B. 51　　C. 74　　D. 83 【解析】 根据3的倍数的特征，计算各位上数字的和： A：2＋8＝10，10不是3的倍数，所以28不是3的倍数。 B：5＋1＝6，6是3的倍数，所以51是3的倍数。 C：7＋4＝11，11不是3的倍数，所以74不是3的倍数。 D：8＋3＝11，11不是3的倍数，所以83不是3的倍数。 答案：B 变式训练 1-1 在 45、76、90、321、504、621 中，3的倍数有（　　）个。 【答案】5 【解析】 45：4＋5＝9 76：7＋6＝13 90：9＋0＝9 321：3＋2＋1＝6 504：5＋0＋4＝9 621：6＋2＋1＝9 共有5个是3的倍数。 变式训练 1-2 在下面的□里填上一个数字，使这个数有因数3，各有几种填法？ （1）37□　　　　（2）□24 【答案】 （1）□填2、5、8，共3种；（2）□填3、6、9，共3种 【解析】 （1）3＋7＝10，要使各位和是3的倍数，需□＝2、5、8（10＋□＝12、15、18）。 （2）2＋4＝6已是3的倍数，需□是3的倍数，即□＝3、6、9（□不能为0，因为三位数首位不能为0）。 变式训练 1-3 （2024·江苏南通期末改编）下面（　　）组中的第二个数是第一个数的倍数。 A. 15和3　　B. 36和12　C. 8和24　　D. 20和5 【答案】C 【解析】 “第二个数是第一个数的倍数”即第一个数的倍数等于第二个数。 C项：24÷8＝3，24是8的倍数。 A项：3不是15的倍数。 B项：36是12的倍数，但第一个数是36，第二个数是12，不符合条件；题目要求“第二个数是第一个数的倍数”，即“第一个数的倍数＝第二个数”。 例题 2（中等）——找出一个数同时是几个数的倍数 题目：一个数是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2。这个数最小是（　　）。 A. 10　　B. 15　　C. 30　　D. 60 【解析】 一个数同时是2、3、5的倍数，最小应为2、3、5的最小公倍数。 2×3×5＝30。验证： 个位是0 → 是2和5的倍数 各位和：3＋0＝3 → 是3的倍数 答案：C 变式训练 2-1 （2023·无锡梁溪区期末）一个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，还有因数5，这个三位数最大是（　　）。 【答案】990 【解析】 同时是2、3、5的倍数，个位必须是0，且各位数字和是3的倍数。三位数最大：百位取9，个位为0，十位尽量大且满足各位和为3的倍数。9＋□＋0＝9＋□，□最大为9（9＋9＝18，是3的倍数），所以最大三位数是990。 变式训练 2-2 从0、4、5、8中选出两个数字，组成一个两位数，使它是3的倍数。可以组成哪些数？ 【答案】 45、48、54、84 【解析】 有两个数字的组合满足各数字和为3的倍数： 4＋5＝9：45、54 4＋8＝12：48、84 5＋8＝13（不是3的倍数）→ 不可 含0的组合：0＋4＝4、0＋5＝5、0＋8＝8（都不是3的倍数）→ 不可 共4个数。 变式训练 2-3 （2021·南京江宁期末）一个四位数 567□，要使它同时是3和5的倍数，□里可以填（　　）。 【答案】0 【解析】 是5的倍数，个位只能是0或5。 若□＝0：5＋6＋7＋0＝18，18是3的倍数 若□＝5：5＋6＋7＋5＝23，23不是3的倍数 答：□里填0。 例题 3（提优）——综合运用与规律探索 题目：（2024·常州溧阳期末）用数字4、5、6组成一个三位数，使它既是3的倍数又是2的倍数，一共有（　　）种不同的组法。 A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 【解析】 用4、5、6组成三位数，各位数字和：4＋5＋6＝15，15是3的倍数，所以任意排列都是3的倍数。 要同时是2的倍数，个位必须是偶数，即个位只能是4或6。 个位为4：十位和百位从5、6中排列 → 564、654，共2个。 个位为6：十位和百位从4、5中排列 → 456、546，共2个。 共有2＋2＝4种。 答案：B 变式训练 3-1 在“0、3、5、7”四张数字卡片中，任选三张组成一个同时是3和5的倍数的三位数，最大是（　　），最小是（　　）。 【答案】 750；375 变式训练 3-2 猜猜我是谁。“我”是一个偶数，且是3的倍数，百位上的数字是最大的一位数，“我”最小是（　　）。 【答案】900 【解析】 百位为最大的一位数即9。偶数且是3的倍数即同时是2和3的倍数。“最小”满足条件：百位9固定，个位应为偶数（使整个数是2的倍数），同时各位和应是3的倍数。 要使数最小：十位尽量小。个位取0（最小偶数），9＋□＋0＝9＋□，需是3的倍数，□最小为0。所以最小是900。 变式训练 3-3 在能被3整除的两位数中，最大偶数是（　　），最小奇数是（　　）。 【答案】96；15 【解析】 最大偶数：两位数从大到小找，偶数且3的倍数。98→9＋8＝17✗；96→9＋6＝15✓。最大偶数是96。 最小奇数：两位数从小到大找，奇数且3的倍数。10→1＋0＝1；11→2；12是偶数；13→4；14是偶数；15→1＋5＝6。最小奇数是15。 三、巩固练习（共15题） 基础巩固 1. （2023·连云港赣榆期末）在 24、35、66、82、93、105 中，3的倍数有（　　）。 2. 下面各数中，是3的倍数的数是（　　）。 A. 52　　B. 88　　C. 120 3. 一个四位数 3□52 是 3 的倍数，□里可以填（　　）。（写出所有可能） 4. 在 1～30 中，既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？ 5. 下列各组数中，第二数是第一个数的倍数的是（　　）。 A. 13和39　　B. 7和34　　C. 12和6　　D. 24和12 6. 判断：一个数是6的倍数，这个数一定是3的倍数。（　　） 能力提升 7. （2024·泰州海陵期末）有一个两位数，它既是3的倍数，又是5的倍数，并且是一个偶数。这个数最小是（　　）。 8. 明明在百数表中调出了一些数：45、60、75、90。他发现这些数都既是3的倍数，又是5的倍数。你还能在百数表中找出两个这样的数吗？（　　）（　　） 9. 用数字0、3、6三个数字组成三位数（数字不能重复使用），使它是3的倍数。这样的三位数共有多少个？ 10. 从下面卡片中选三张，使组成的三位数是3的倍数，也可以选相同的卡片，一共可以写出多少个三位数？（不允许重复使用卡片） 〖卡片：2、5、8〗 11. （2022·盐城阜宁期末）在“□”处填上合适的数字。 同时是2和3的倍数：53□ 同时是3和5的倍数：3□5 提优拓展 12. （2024·江苏省级教研卷）一个四位数 2a3b 同时是 2、3、5 的倍数，且 a＞b。这个四位数是多少？ 13. 已知A是一个小于100的奇数，且A是3的倍数，A的十位数字与个位数字的和也是3的倍数。这样的A最大是多少？ 14. （2023·南通如皋竞赛改编）在“1、3、5、7、9”这五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，使这个四位数同时是3和5的倍数。符合要求的四位数中，最大是多少？最小是多少？ 15. 探究题：小红说：“3的倍数特征真有趣，不是看末尾，而是看各位数字和。”你能从下面两个角度解释为什么判断3的倍数要看各位数字的“和”吗？ （1）以 42 为例：42＝40＋2＝4×10＋2＝4×(9＋1)＋2＝4×9＋4＋2。4×9 一定是3的倍数，所以42是否是3的倍数，就看（4＋2）是否是3的倍数。请你用这种“拆数”的方法解释为什么 153 是否是3的倍数要看 1＋5＋3 的和。 （2）用你发现的规律判断 2025 是不是3的倍数，并验证。 四、课堂小结 请同学们回顾并填写： 1. 3的倍数的特征：一个数（　　　　　　　　　）是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 与2、5的倍数特征不同，判断一个数是不是3的倍数，不能只看（　　　），要看（　　　　　　　）。 3. 同时是2和3的倍数，这个数一定是（　　）的倍数；同时是2、3、5的倍数，这个数一定是（　　）的倍数。 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【我的疑问】 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 五、答案解析 基础巩固 1. 24、66、93、105 【解析】 24：2＋4＝6 √ 35：3＋5＝8 × 66：6＋6＝12 √ 82：8＋2＝10 × 93：9＋3＝12 √ 105：1＋0＋5＝6 √ 2. C 【解析】120：1＋2＋0＝3，是3的倍数。52：5＋2＝7；88：8＋8＝16。 3. 2、5、8 【解析】3＋□＋5＋2＝10＋□，需是3的倍数。□可取2（12）、5（15）、8（18）。 4. 16个 【解析】1～30共30个数。3的倍数：10个（3,6,9,12,15,18,21,24,27,30）；5的倍数：6个（5,10,15,20,25,30）；既是3又是5的倍数（即15的倍数）：2个（15,30）。 是3或5的倍数的数：10＋6－2＝14个。既不是3也不是5的倍数：30－14＝16个。 5. A 【解析】A项39÷13＝3，39是13的倍数，符合“第二数是第一个数的倍数”。 6. √ 【解析】6是3的倍数（6＝3×2），所以6的倍数一定是3的倍数。 能力提升 7. 30 【解析】偶数且5的倍数→个位是0。个位0且是3的倍数→十位数字需是3的倍数（1＋0不行，数字和为十位自身）。两位数最小：十位取3→30。 8. 15、30（答案不唯一，只要是15的倍数且在百数表内即可） 【解析】既是3的倍数又是5的倍数，一定是15的倍数。百数表中15的倍数有15、30、45、60、75、90。除题目已给的45、60、75、90外，还有15和30。 9. 4个 【解析】用0、3、6组三位数，数字和0＋3＋6＝9，是3的倍数，所以任意排列都是3的倍数。 排列：百位不能为0。 百位3：306、360（2个） 百位6：603、630（2个） 共4个。 10. 【解析】从2、5、8选三个组成三位数，数字和2＋5＋8＝15，是3的倍数，所以任意排列都是3的倍数。 全排列共3×2×1＝6个：258、285、528、582、825、852。6个 11.同时是2和3的倍数 53□：个位为偶数，5＋3＋□＝8＋□需是3的倍数。□＝4（12），所以填4。 同时是3和5的倍数 3□5：个位5，是5的倍数。3＋□＋5＝8＋□需是3的倍数。□可取1（9）、4（12）、7（15）。 提优拓展 12. 2430 【解析】同时是2和5的倍数→个位b＝0。同时是3的倍数：2＋a＋3＋0＝5＋a，需是3的倍数。 a可取：1（和6）、4（和9）、7（和12）。已知a＞b＝0，a＝1、4、7都符合。 这个四位数为：2130、2430、2730。题目要求唯一解，需补充条件“a＞b且最大”或“且a为偶数”等。常规改卷中，任一个符合题意的解都给分。这里示例如 2430。 13. 99 【解析】A是小于100的奇数，且是3的倍数。99是最大两位数，奇数，9＋9＝18是3的倍数 ✓。所以A最大是99。 14. 最大：9735，最小：1395 15.（1）153＝100＋50＋3＝1×100＋5×10＋3 ＝1×(99＋1)＋5×(9＋1)＋3 ＝1×99＋1＋5×9＋5＋3 ＝(1×99＋5×9)＋(1＋5＋3) 其中1×99和5×9都是3的倍数，所以153是否是3的倍数，取决于(1＋5＋3)是否是3的倍数。1＋5＋3＝9，是3的倍数，故153是3的倍数。 （2）2025：2＋0＋2＋5＝9，9是3的倍数，所以2025是3的倍数。验证：2025÷3＝675，结果整除，符合。 学科网（北京）股份有限公司 $