精品解析：广东广州市广州二中集团2025-2026学年第二学期期中质量监测七年级数学试卷

2025学年第二学期期中质量监测初一年级数学试卷 （满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 上课时，王老师用手在平面直角坐标系中捂住一个点，这个点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ） A. 2，1 B. 5，1 C. 2，3 D. 2，4 6. 如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．若设船在静水中的速度为，水流速度为，则列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知n是整数，且，则n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 如图，，，则点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 10. 如图，在平面直角坐标系上有一个点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，若点A第2026次跳动至点的坐标是，则的和为（ ） A. 506 B. 507 C. 1518 D. 1520 二、填空题．（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 12. 命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 13. 已知是方程的一个解，那么____________． 14. 伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了490米，则下落的这段时间为_________秒． 15. 如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为______． 16. 如图，，点E在延长线上，，交于F，，P为线段上一动点，Q为线段上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④，其中结论正确的有_____．（填序号） 二、解答题（共9大题，满分86分） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，三角形向右平移5个单位长度后得到的三角形． （1）画出平移后的三角形，并写出的坐标； （2）求三角形的面积． 20. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 21. 完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：（已知）， （___________________）， ______（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）， ____________（_________________________）， （_________________________）． 22. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” （1）求原正方形纸片的边长； （2）你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 23. 在平面直角坐标系中，对于点、点，若满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶元元点”，例如：点与互为“2阶元元点”． （1）下列选项中，是点的“8阶元元点”的有______（填序号）； ①；②；③． （2）点和点互为“2026阶元元点”；求a的值； （3）若点到两条坐标轴的距离相等，且与点互为“a阶元元点”，求a的值． 24. 如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线之间，，点C在直线上，记．作交直线于点D（D在A的右侧）使得． （1）当_____时，； （2）求（用含有α的式子表示）； （3）点E为平面内一点且满足，直线与直线交于点F．问是否为定值?若是，请求出这个值，若不是，则求出与的数量关系． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点C为y轴正半轴上的一个动点． （1）_____，_____； （2）连接交于点D，若三角形和三角形的面积相等，求点C的坐标； （3）如图2，过点C作的平行线l，点M、N为直线l上两个动点，线段和线段相交于点E，且满足，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中质量监测初一年级数学试卷 （满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 C、是有限小数，可化为分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 2. 如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对顶角相等得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 3. 上课时，王老师用手在平面直角坐标系中捂住一个点，这个点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第三象限点的坐标特点可直接解答． 【详解】解：∵手的位置是在第三象限， ∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴结合选项这个点是． 4. 如图，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可求解． 【详解】解：观察图形可知，与是同位角的是． 5. 方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ） A. 2，1 B. 5，1 C. 2，3 D. 2，4 【答案】B 【解析】 【分析】已知方程组解中x的值，先将x代入已知方程求出y，再将x，y代入第一个方程求出第一个被遮盖的数，即可得到结果. 【详解】解：将代入，得，解得， 则第二个被遮盖的数为1， 再将，代入，得， 则第一个被遮盖的数为5， 因此被遮盖的两个数分别为5，1． 6. 如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，先求出m的值，再计算横坐标得到P点坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴根据x轴上点的坐标特征得， 解得， 将代入横坐标计算得， ∴点坐标为． 7. 一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．若设船在静水中的速度为，水流速度为，则列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． 根据一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶，列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意，得． 故选B． 8. 已知n是整数，且，则n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先估算的大小，然后求出n的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，，，则点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长． 10. 如图，在平面直角坐标系上有一个点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，若点A第2026次跳动至点的坐标是，则的和为（ ） A. 506 B. 507 C. 1518 D. 1520 【答案】D 【解析】 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面12个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ，，，， ，，，， ，，，， …… 以此类推，，，，，其中n为正整数； ， ， ． 二、填空题．（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 12. 命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】要判断命题的真假，只需验证在条件成立时，结论是否一定成立．若对任意满足条件的，结论都成立，则为真命题；若存在反例使条件成立但结论不成立，则为假命题． 【详解】解：根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立， 当时，在等式两边同时乘以，得； 同理，在等式两边同时乘以，得， 因此，即， 对任意实数，结论恒成立，故该命题为真命题． 13. 已知是方程的一个解，那么____________． 【答案】 4 【解析】 【分析】把x与y的值代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可求出m的值. 【详解】解：把代入，得. 解得. 14. 伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了490米，则下落的这段时间为_________秒． 【答案】10 【解析】 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：当时，， 整理得 ， ∴下落的这段时间为10秒． 15. 如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握利用坐标表示位置是解题的关键．根据“白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为”，找出原点位置，建立坐标系即可． 【详解】解：∵白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为， ∴建立坐标系如图所示： ∴白棋③的位置应记为． 故答案为： 16. 如图，，点E在延长线上，，交于F，，P为线段上一动点，Q为线段上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④，其中结论正确的有_____．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】因为，所以可利用平行线的同位角相等性质，结合，判断的度数，即可验证结论①．因为，所以可利用平行线的内错角相等性质，结合 ，即可验证结论②．先证出是个可变的角， 是定角，再利用同位角的关系可验证结论③．由平分线的性质，证出，  ，利用角度间的数量关系即可推导出 的度数，验证结论④． 【详解】解：结论①， ∵， ∴， ①正确． 结论②平分 ， ∵， ∴ ； 又∵ ， ∴ ， 即平分 ， ②正确． 结论③，  ∵是上动点，位置变化时， 随之变化， ∴ 也随之变化， （，为定直线）是定值， 也随之变化， （所在直线的角）是定值， ∴ 不恒等于 ， ∴不恒平行于， ③错误． 结论④，  平分 ， ∴ ； 由②知平分 ， ∴ ； 又∵ ， ∴ ，  ④正确． 综上，正确结论为． 二、解答题（共9大题，满分86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：  ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程组的解法，运用加减消元法求解即可．熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，三角形向右平移5个单位长度后得到的三角形． （1）画出平移后的三角形，并写出的坐标； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： 点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：三角形的面积 20. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组即可得到答案． 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得： 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元． 21. 完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：（已知）， （___________________）， ______（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）， ____________（_________________________）， （_________________________）． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定进行证明即可． 【详解】略 22. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” （1）求原正方形纸片的边长； （2）你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 【答案】（1）原正方形纸片的边长为． （2）不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ∴正方形纸片的边长为； 【小问2详解】 解：设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴长方形的长大于正方形的边长， ∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 23. 在平面直角坐标系中，对于点、点，若满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶元元点”，例如：点与互为“2阶元元点”． （1）下列选项中，是点的“8阶元元点”的有______（填序号）； ①；②；③． （2）点和点互为“2026阶元元点”；求a的值； （3）若点到两条坐标轴的距离相等，且与点互为“a阶元元点”，求a的值． 【答案】（1）①③ （2） （3）33或 【解析】 【分析】（1）根据“8阶元元点”的定义逐一判断即可； （2）根据“2026阶元元点”的定义可得，解方程即可得到答案； （3）平面直角坐标系中，一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此建立关于m的方程求出m的值，进而得到点C的横纵坐标，再根据“a阶元元点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴点是点的“8阶元元点”； ②∵， ∴点不是点的“8阶元元点”； ③∵， ∴点是点的“8阶元元点”； 【小问2详解】 解：∵点和点互为“2026阶元元点”， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点到两条坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或； 当时，， ∵点与点互为“a阶元元点”， ∴； 当时，， ∵点与点互为“a阶元元点”， ∴； 综上所述，a的值为33或． 24. 如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线之间，，点C在直线上，记．作交直线于点D（D在A的右侧）使得． （1）当_____时，； （2）求（用含有α的式子表示）； （3）点E为平面内一点且满足，直线与直线交于点F．问是否为定值?若是，请求出这个值，若不是，则求出与的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）当点E在直线上方时，；当点E在直线下方时， 【解析】 【分析】（1）过点B作，则，由平行线的性质得，．进而可得，由此可解； （2）由（1）得 ，，根据求出，进而根据平行线的性质可解； （3）分点E在直线的上方、下方两种情况，根据平行线的判定与性质，结合前两问结论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作， ． ，， ， ． ． 当时，， 解得； 【小问2详解】 解：如图，过点B作， 由（1）得，， ． ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ，． 分两种情况： 当点E在直线上方时，如图，过点F作，过点B作， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ； 当点E在直线下方时，如图，过点F作，过点B作， ， ， ，， ，，， ， ， ， ． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点C为y轴正半轴上的一个动点． （1）_____，_____； （2）连接交于点D，若三角形和三角形的面积相等，求点C的坐标； （3）如图2，过点C作的平行线l，点M、N为直线l上两个动点，线段和线段相交于点E，且满足，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）； （2） （3）40 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，延长交于点T，连接，可求出的面积，再证明，据此利用三角形的面积公式求解即可； （3）将线段平移得到线段，连接（其中点M与点N是对应点），则，可证明三点共线，可证明；根据点B到的距离一定不大于的长，故当时，的面积有最大值，最大值为，则四边形的面积的最大值为40． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图1所示，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，延长交于点T，连接， 由（1）得， ∴，， ∴ ； ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示，将线段平移得到线段，连接（其中点M与点N是对应点）， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴； ∵平行线间的距离处处相等， ∴（等底等高）， ∴； ∵垂线段最短， ∴点B到的距离一定不大于的长， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴四边形的面积的最大值为40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $