精品解析：广东深圳南山麒麟中学2025-2026学年第二学期八年级期中学业质量监测 数学

2025-2026学年第二学期八年级期中学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并粘贴条形码。 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答。如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不按照以上要求作答，视为无效。 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若a＜b，则下列结论中正确的是（　　） A. ﹣3a＜﹣3b B. a+3＞b+3 C. a﹣3＜b﹣3 D. 3a＞3b 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 3. 若分式的值为零，则x等于（　　） A. 0 B. 2 C. D. 4. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的有（ ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（    ） A. B. 1或0 C. 1 D. 1或 8. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：______． 10. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 11. 如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 12. 若，则的值为__________． 13. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 16. 化简求值：先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值． 17. 如图，在中，垂直平分线． （1）求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 18. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 19. 定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． （1）共因多项式和的同因子是__________； （2）请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； （3）现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 20. 【问题提出】 （1）如图1，四边形中，E在边上，，，，连接交于点． ①求证； ②若，则__________． 【问题探究】 （2）如图2，已知等边三角形，，点P是其外一点，且，，求四边形的周长． 【问题解决】 （3）深圳市园林绿化部门为了提升城市形象，绿化美化环境，拟在某空地上新建一个“口袋公园”，设计师设计形状大致为四边形，如图3所示．其中，，，段临街道有足够长度，E是小道上某小区的入口（点E不在点B处），且米，设计人员准备将公园分成，与三大部分，F是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，内部种植月季等花卉，平均每平方米约需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期中学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并粘贴条形码。 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答。如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不按照以上要求作答，视为无效。 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若a＜b，则下列结论中正确的是（　　） A. ﹣3a＜﹣3b B. a+3＞b+3 C. a﹣3＜b﹣3 D. 3a＞3b 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可．不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，由a＜b，得﹣3a＞﹣3b，故A不合题意． B．根据不等式的性质，不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变，由a＜b，得a+3＜b+3，故B不合题意． C．根据不等式的性质，不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变，由a＜b，得a﹣3＜b﹣3，故C符合题意． D．根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，由a＜b，得3a＜3b，故D不合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质进行判断求解． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式即可． 【分析】A．左边是单项式与多项式的乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B．左边为，正确分解应为，而选项B写成，分解错误． C．左边符合完全平方公式，分解为，属于正确的因式分解． D．左边提取公因数2后得到，但括号内可进一步分解为，未分解彻底，不属于完整的因式分解． 故选∶C． 3. 若分式的值为零，则x等于（　　） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，∴ 不满足条件． 当时，，∴当时分式的值是0． 故选D． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 5. 某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定乙每小时的分拣数量，再根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件， 由题意得． 6. 下列命题是假命题的有（ ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方性质、平行线判定、反证法、角平分线性质和等腰三角形性质相关知识点进行判断即可． 【详解】解：①：可得或，故①是假命题； ② 只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，命题未给出同一平面的前提，故②是假命题； ③用反证法证明时，应假设结论的反面成立，结论的反面是，命题的假设为，是结论本身，故③是假命题； ④ 角平分线上的点到角两边的距离相等，是角平分线的性质定理，故④是真命题； ⑤ 等腰三角形只有底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线重合，不是所有高线、中线、角平分线都重合，故⑤是假命题． 综上，假命题共个． 7. 如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（    ） A. B. 1或0 C. 1 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 8. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 【答案】17 【解析】 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 12. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键．由，可得，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得. 【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°， 过E作EG⊥AD，垂足为G， 在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1， 在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=， 过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH， 设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2， 在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2， 即+2-a2=16， ∴a=， ∴CH=FH=， ∴AC=AE+EH+HC=， 故答案为. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键. 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是先分解分母确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得根进行检验，若根使原方程分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的根． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘最简公分母，得     解得  检验：当时，，因此是原方程的解． 【小问2详解】 解：原方程变形为  方程两边同乘最简公分母，得   展开得  移项合并得  解得  检验：当时，，因此是增根，原方程无解． 15. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示解集如下： 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16. 化简求值：先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质及运算法则先对分式化简，由分式有意义的条件可得且，再取1代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且， ∴取，原式． 17. 如图，在中，垂直平分线． （1）求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 【答案】（1） 如图，即为的角平分线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的角平分线交于点F即可； （2）过点作于点M，交的延长线于点N．证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点M，交的延长线于点N． ∵平分，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【答案】（1）甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 19. 定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． （1）共因多项式和的同因子是__________； （2）请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； （3）现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 【答案】（1） （2），理由如下： ， ， 则和的同因子是， 故是的共因多项式． （3）①； ②如图为所求拼图， 【解析】 【分析】（1）通过因式分解，找出两个多项式的共同因式； （2）先分解原多项式，再构造一个含有相同因式的二次三项式； （3）①根据拼图的面积表示多项式，写出因式分解；②画出图形再进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：，， 故共因多项式和的同因子是． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 ①解：由图可知，图2的面积可表示为， 也可表示为， 故． ②解：拼图的面积可表示为， 也可表示为， 则， 与的同因子是， 故是的共因多项式． 20. 【问题提出】 （1）如图1，四边形中，E在边上，，，，连接交于点． ①求证； ②若，则__________． 【问题探究】 （2）如图2，已知等边三角形，，点P是其外一点，且，，求四边形的周长． 【问题解决】 （3）深圳市园林绿化部门为了提升城市形象，绿化美化环境，拟在某空地上新建一个“口袋公园”，设计师设计形状大致为四边形，如图3所示．其中，，，段临街道有足够长度，E是小道上某小区的入口（点E不在点B处），且米，设计人员准备将公园分成，与三大部分，F是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，内部种植月季等花卉，平均每平方米约需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 【答案】（1） ①证明：，，， ， ， 中，， 又， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ② （2）四边形的周长为 （3）满足条件的建设费用大概需元 【解析】 【分析】（1）①根据“等边对等角”推得后可求出，证明， ②根据全等三角形性质可得，最后由即可求解； （2）延长使，连接，证明是等边三角形后，利用其性质即可证明，根据全等三角形性质得到后四边形周长即可求解； （3）作，连接，证明和是等腰直角三角形后利用其性质证明，由全等三角形性质可知、，此时可求；再通过证明、是等腰直角三角形，结合勾股定理求出，最后结合题意即可求出建设费用． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ， ． 【小问2详解】 如下图，延长使，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 等边三角形中，，， ， 即， 在和中， ， ， ， 即， ， 四边形的周长． 【小问3详解】 如图，作交于点，连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 则， 即， 和中， ， ， ，， 又， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， 综上，满足条件的建设费用元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $