临考押题卷03（河北省专用）2026年高考数学押题模拟卷

**基本信息** 2026年高考数学临考押题卷，融合河北多地模拟题，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，通过文化情境（如杏花雨气温统计）与实际问题（竞技比赛概率）考查数学眼光、思维与语言，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、复数模、充分条件、二项式定理、椭圆离心率|第9题以杏花雨气温数据考查统计（极差、众数等），体现数据意识| |填空题|3题/15分|直线与圆、函数性质、长方体交线长度|第14题结合长方体动态问题，考查空间观念与几何直观| |解答题|5题/77分|立体几何证明与二面角、三角函数单调性、双曲线弦长、导数零点、竞技比赛概率|第19题构建比赛概率模型，考查逻辑推理与数学建模，贴近真实情境|

2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河北邢台·二模）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北·模拟预测）若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 6．（2026·河北保定·二模）如图，在中，若 点满足 且 与 交于点 O，则 （   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北衡水·二模）“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（   ） A．这组数据的极差为7 B．这组数据的众数等于中位数 C．这组数据的下四分位数为8 D．这组数据的方差为 10．（2026·河北沧州·一模）已知数列满足，，且，，则（   ） A．一定不是等差数列 B．一定不是递减数列 C． D． 11．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的极大值为 B．函数的极小值为 C．直线是函数图象的一条切线 D．若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 13．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数.若，且，，则___________. 14．（2026·河北沧州·一模）如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北雄安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)若，求二面角的大小. 16．（2026·河北保定·一模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，求的取值范围． 17．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 18．（2026·河北衡水·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围； (3)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 19．（2026·河北·二模）甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为． (1)当时， （i）求比赛进行了4轮结束的概率； （ii）求的值； (2)求的表达式（用和表示）． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解不等式得，故， ，故， 所以，即. 2．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由题意得， 所以， 所以解得，所以. 3．（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为在定义域上是单调递增函数， 所以由等价于， 由可知且， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于， 因此，“”是“”的充要条件. 4．（2026·河北邢台·二模）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理系数的性质，求出，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可． 【详解】由题意知，，解得， 展开式通项公式为， 令，则，所以. 5．（2026·河北·模拟预测）若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】发现自变量互为倒数时函数值之和为定值，从而应用分组求和两两配对计算即可. 【详解】因为，又， 且， 所以． 6．（2026·河北保定·二模）如图，在中，若 点满足 且 与 交于点 O，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解. 【详解】设，则得，即， 再设，则，即， ，解得， 所以. 7．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 的周长为， 则，.设点 ， 整理得.又，解得， 椭圆的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北衡水·二模）“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（   ） A．这组数据的极差为7 B．这组数据的众数等于中位数 C．这组数据的下四分位数为8 D．这组数据的方差为 【答案】AC 【详解】将原始数据按从小到大排序：， 所以这组数据的极差为，故A正确； 这组数据的众数为，这组数据的中位数为，故B不正确； 由于，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确； 这组数据的平均数为，所以方差,故D不正确 10．（2026·河北沧州·一模）已知数列满足，，且，，则（   ） A．一定不是等差数列 B．一定不是递减数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】由题知，， 若， 根据等差中项的性质，可得是等差数列，A错； 由，得， 则是非递减数列， 又时，，得， 若是递减数列，则，与矛盾， 所以一定不是递减数列，BC正确； 由是非递减数列，得， 即， 因为，所以，即，D正确. 11．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的极大值为 B．函数的极小值为 C．直线是函数图象的一条切线 D．若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】求出的定义域和，对于AB，利用导数法得到的单调性，结合单调性得到的极值，从而得到结论.对于C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率和切点的坐标，利用点斜式得到切线方程.对于D，利用的单调性和极值，结合图像求解. 【详解】的定义域为. 对于AB，当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 在定义域内只有极大值，没有极小值，极大值为，故A正确，B错误. 对于C，设切点为， 显然， 是方程的一个根，切点为切线方程为， 即，故C正确. 对于D在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内有极大值， 又， 即由此作出函数的大致图象，如图. 不等式有唯一的整数解， ，即，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【答案】 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径， ∴ ， 设， 则. ∵ ， ∴ ，解得. ∵ ，∴ 或. 过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，. 当时，；当时，. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去. ∴ ，解得，即. 13．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数.若，且，，则___________. 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换可得，结合函数对称性分析可知，代入即可得结果. 【详解】由题意可知： ， 时，， 而，，， 可知是函数相邻最近的两个零点，且是函数的对称轴， 若，且，，则， 所以. 14．（2026·河北沧州·一模）如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 【答案】 【分析】设的中点为，通过证明平面平面，可解决第一空，由，确定为动直线AP与的夹角，进而可求解. 【详解】 如图，设的中点为，连接，，分别为，的中点， 则, ,又， 所以四边形都是平行四边形， 所以，， 又平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，即平面为平面， 线段为平面与底面的交线， 易得； 连接，因为，所以为动直线AP与的夹角，，过作（H为垂足），则， 在中，由等面积法可得，得， 又, 所以． 即动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北雄安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理证明平面，再应用线面平行性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，再分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）分别是线段的中点，. 在三棱柱中，四边形为平行四边形，则. 又平面平面， 平面. 平面，平面平面， . （2）平面平面. 又两两相互垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 设平面的法向量为，则 令，则，得. 平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则. 由题图可知，为钝角，则二面角的大小为. 16．（2026·河北保定·一模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简可得，结合正弦函数的单调性，即可求得答案； （2）由求出A，由确定C的范围，即可确定B的范围，利用正弦定理边化角可得，结合B的范围，即可求得答案. 【详解】（1）由， 化简得， 令，∵，则， 因为，的单调递减区间是， 由，解得， ∴函数单调递增区间为； （2）∵，∴， 又∵，∴，即， 由已知条件可知，则角C为钝角，是钝角三角形， ∴， 则， ∴，∴， ∴的取值范围为． 17．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 18．（2026·河北衡水·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围； (3)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】(1)代入求出切点坐标，对函数求导得到切线斜率，利用点斜式求出切线方程并化简 (2)化简不等式分离参数，求导分析其单调性，找到最大值即为的下界 (3)化简表达式，求导确定单调区间，计算特殊点函数值及极限，利用零点存在定理判断零点分布 【详解】（1）解：，，即切点为； ，，利用点斜式可得切线方程为. （2）解：由恒成立，得，化简得： ， 即，即 设，，令，解得， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以在处取极大值，，故. （3）证：设，当时，，， 则，，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在唯一的使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，且在处取得极大值， 因为，所以，； 因此，在和各有一个零点， 所以函数在有且只有两个零点. 19．（2026·河北·二模）甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为． (1)当时， （i）求比赛进行了4轮结束的概率； （ii）求的值； (2)求的表达式（用和表示）． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用四个独立事件同时发生来计算概率即可； （ii）利用全概率公式来求解即可； （2）利用构造数列的递推思想，求解通项公式，即可求得概率. 【详解】（1）（i）由题意得，若比赛进行四轮结束第一轮甲进攻乙胜，第二轮乙进攻甲胜， 第三轮甲进攻乙胜，第四轮乙进攻乙胜， 故比赛进行四轮结束的概率为． （ii）因为两队规则对称且初始分数相同，乙进攻时甲获胜概率为， 所以由全概率公式得：，解得：． （2）记为甲队的分数为分且乙为进攻方时甲队最终获胜的概率． 由规则，对，有① ② 边界条件：，且自然定义（甲得满分时获胜）． 由①解出，代入②得， 整理得．③ 这说明是等差数列 下面确定和的关系． 由②取并结合得． 又由①取得，代入得 ， 设公差为，则，故．于是对任意， 有．利用边界， 得,因此. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $