临考押题卷02（河北省专用）2026年高考数学押题模拟卷

**基本信息** 2026年高三数学临考押题卷整合河北多地模拟题，覆盖高考核心知识，通过科技情境（如芯片检测）、生活实例（如歌手评分）考查数学眼光、思维与语言，适配高考冲刺训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、数列、三角函数等|第6题以评分数据比较考查数据意识，第11题芯片检测体现应用意识| |填空题|3题/15分|正态分布、立体几何距离、数列创新|第14题数列操作数阵凸显创新意识| |解答题|5题/77分|三角、立体几何、概率统计、椭圆、导数|第17题比赛得分分布考查数据观念，第19题导数证明体现逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，所以． 2．（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将复数进行化简写成的形式，实部为，虚部为，进行计算即可． 【详解】由可知：实部为2，虚部为1，故和为3． 3．（2026·河北衡水·模拟预测）在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【详解】设等比数列公比为，由，得，，. 由，得，即， 因，故，则. 4．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 5．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 6．（2026·河北石家庄·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 【答案】D 【分析】分别求出数组A和数组B的极差、平均数、方差、分位数，即可得答案. 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 7．（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，若点 E满足， 则，所以， 所以， 则，则. 8．（2026·河北张家口·二模）已知正三棱柱的底面边长为4，高为，，分别为，的中点，球面经过，，，四点，则球面与该正三棱柱的上底面交线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱柱的特征得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合直角三角形的性质得到球心位置及球的直径，再结合球的截面性质求解即可. 【详解】如图，连接，，，，，易得平面，平面， 所以，，即和均为直角三角形， 所以即为球的直径，其长为，所以． 过点作于点，则． 球与上底面的交线即为以为圆心，半径为的圆弧， 又底面的边长为4，则交线为以为圆心，圆心角为，半径为2的圆弧，长度为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【分析】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D. 【详解】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 10．（2026·河北·二模）已知在锐角三角形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A根据正弦函数的单调性判断可得；对B根据锐角三角形及A选项分析结果可得；对C由锐角三角形及正切函数的单调性判断可得；对D先B选项分析知，进而可得，再由余弦函数的单调性可得. 【详解】因为锐角三角形中，，， 即， 因为均为锐角，所以，且在上单调递增， 所以，即，故A错误； 对于B，因为，所以，由A选项分析知， 所以，得，又因为为锐角，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 因为在上单调递增，所以， 因为为锐角，所以，所以，故C正确； 对于D，由B选项分析知，所以， 因为，所以，在上单调递减， 所以，故D错误. 11．（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【答案】ACD 【分析】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是，代入数值得解；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率为，代入数值得解；选项D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为，代入数值得解. 【详解】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”， 事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”， 则，，， ，，， 选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下， 为 ，故A正确； 选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下， 是，故B错误； 选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下， 为， ，故C正确； 选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下， 为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河北邢台·二模）已知随机变量 X 服从正态分布，且，若随机变量，，则__________. 【答案】0.3/ 【分析】由变量间关系求得即，然后根据正态分布的对称性求概率. 【详解】因为，，所以，即， 所以. 13．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 14．（2026·河北保定·一模）在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列．现将数列2，1进行这样操作，第一次得到数列2，1，1，第二次得到数列2，1，1，2，1，…，将上述数列排成如图所示的数阵，则数阵中第10行共有______项，第n行所有项的和为______． 【答案】 513 【详解】设第次操作后所得数阵的项数为，则，， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以. 因为，所以数阵中第10行共有项. 设第行的各项构成数列，，且，. 因为每操作一次，是在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列， 所以增加的所有项的和为：. 所以， 且， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【详解】（1）已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ， 因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. （2）已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 16．（2026·河北唐山·二模）在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助面面垂直性质定理与线面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）因为侧面是边长为2的菱形，， 所以，取中点，连接，则， 又因为，所以， 又因为底面侧面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面ABC，所以， 因为，满足，所以， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为侧面是菱形，所以， 又因为，、平面，所以平面； （2）以为坐标原点，AC，AD，AB所在直线的方向分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 故，， 设平面与的法向量分别为、， 则，，即，， 令，则，，，， 所以，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（2026·河北衡水·二模）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 4 5 6 【详解】（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 （2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 18．（2026·河北张家口·二模）已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． (1)求的方程； (2)若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据长轴长及直线与椭圆的位置关系求解即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据圆的性质得到，结合韦达定理及直线过定点问题证明即可. 【详解】（1）由题易知， 联立得， ， 令，因为，解得， 所以C的方程为． （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，整理得， ， 则，， 所以． 因为以为直径的圆经过点，则，即， 即， 则，即或． 当时，， 直线的方程为，此时直线过定点，舍去； 当时，， 直线的方程为，此时直线过定点． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，两点为，，以为直径的圆的方程为，点在该圆上． 综上所述，直线过定点． 19．（2026·河北保定·二模）已知函数. (1)若在定义域上单调递减，求的取值范围； (2)当时． （i）若，且．求证：； （ii）求证： 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据在定义域上单调递减得到在上恒成立，即在上恒成立，通过构造函数，利用导数与最值的关系求出，即可求出值. （2）（i）根据导数与单调性及最值的关系得到在上单调递减；构造函数，，求导，得到在上单调递减，进而得到，结合及单调性证明即可. （ii）由（i）得，在上单调递减，得到在上恒成立，即恒成立，令，得到，结合累加法证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即恒成立，即在上恒成立， 设，则. 令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即，则. 所以的取值范围为. （2）（i）当时，，. 令，则. 令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即，所以， 即，所以在上单调递减，且. 又，，所以，. 令，， 则， 令，， 则， 所以在上单调递增，即在上单调递增，则， 所以在上单调递减. 因为，所以，即， 又，所以，即. 又在上单调递减，所以，即. （ii）由（i）知时，在上单调递减，且. 所以当时，恒成立，即， 即，当且仅当时取等号． 令，则， 则. 所以 ， 即，所以， 又，所以， 所以. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 3．（2026·河北衡水·模拟预测）在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 4．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北石家庄·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 7．（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北张家口·二模）已知正三棱柱的底面边长为4，高为，，分别为，的中点，球面经过，，，四点，则球面与该正三棱柱的上底面交线的长度为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 10．（2026·河北·二模）已知在锐角三角形中，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河北邢台·二模）已知随机变量 X 服从正态分布，且，若随机变量，，则__________. 13．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 14．（2026·河北保定·一模）在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列．现将数列2，1进行这样操作，第一次得到数列2，1，1，第二次得到数列2，1，1，2，1，…，将上述数列排成如图所示的数阵，则数阵中第10行共有______项，第n行所有项的和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 16．（2026·河北唐山·二模）在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（2026·河北衡水·二模）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 18．（2026·河北张家口·二模）已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． (1)求的方程； (2)若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． 19．（2026·河北保定·二模）已知函数. (1)若在定义域上单调递减，求的取值范围； (2)当时． （i）若，且．求证：； （ii）求证： 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $