第十九章二次根式单元检测基础卷2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式单元检测基础卷 2025-2026学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 3．关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．化简（    ） A． B．2 C．3 D．9 6．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 11．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 二、填空题 13．______． 14．比大小：__________． 15．若实数，同时满足，，则的值为______． 16．观察下列算式： ； ； ； …… 根据上面的规律计算：_________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 20．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 21．如图，在平行四边形中，，，，并且，满足，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题： (1)______，______． (2)设、两点同时出发，设点运动的时间为秒，请问是否存在的值，使得以，，，四点组成的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．已知实数，，满足，，试求： (1)，，的值； (2)的值． 23．某校园内有一块由正方形和正方形组成的花圃，如图所示，正方形，的面积分别是和，现为了保护花圃，用长为的篱笆能围成这个花圃吗？ 24．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)求这两个正方形的周长之和． 25．阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ． ．这种方法称为“构造乘积对偶法”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章二次根式单元检测基础卷 2025-2026学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 【详解】解：选项A：，根指数为2，被开方数中，，因此，无论取何值，该式子均有意义，故符合题意； 选项B：，根指数为3，属于三次根式，不符合题意； 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式，不符合题意； 选项D：，根指数为2，但被开方数需满足，当时无意义，因此不满足“一定”是二次根式的条件，不符合题意； 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式. ∵ ，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； ∵ =，被开方数含分母，∴B不是最简二次根式； ∵ 满足最简二次根式的两个条件，∴C是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母，∴D不是最简二次根式. 3．关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数， ∴， 解得， 因此选项C正确． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式化简，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式逐个计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 5．化简（    ） A． B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，直接计算即可得到结果． 【详解】解：． 6．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A选项：， A错误， B选项：， B错误， C选项：， C错误， D选项：， D正确． 8．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义，是最简二次根式，只需让它的被开方数与的被开方数相等，列方程求解即可. 【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ， 解得：. 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可判断正确的选项． 【详解】解：A、 、故A错误； B、 ，故B错误； C、，计算符合二次根式乘法法则，故C正确； D、与不是同类二次根式，不能直接合并，、故D错误． 10．将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果． 【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得： 可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数， 位置为 表示第17行第2个数 前16行共有个数， 该数是总序列的第个数 该数的被开方数为 ， 该数为． 11．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 12．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 二、填空题 13．______． 【答案】2 【分析】本题考查有理数乘方运算与算术平方根的定义，解题思路为先计算乘方，再根据算术平方根的定义化简求出结果． 【详解】解：． 14．比大小：__________． 【答案】> 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 15．若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可得，再分、两种情况，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：，， ， ①当时， ，方程组无解； ②当时， ，解得，此时； 综上，． 16．观察下列算式： ； ； ； …… 根据上面的规律计算：_________． 【答案】 【详解】解：； ； ； ……； ∴． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19．观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【答案】(1)24 (2)（，n为整数） (3)见解析 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得： 故a为24． （2）解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． （3）证明： （，且n为整数）． 20．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“青一区间”定义，通过平方数判断被开方数的范围即可； （2）先解出，的值，计算，再用平方数判断的区间，进而求出的“青一区间”； （3）通过两次区间条件列出的范围，取交集确定的值，再代入计算． 【详解】（1）解：， 的“青一区间”为， ， 的“青一区间”为， 的“青一区间”为． （2）解：， ，即， ， ， ， ， 的“青一区间”为． （3）解：的“青一区间”为， ，即， 的“青一区间”为， ，即， 为正整数，是无理数， ， ． 21．如图，在平行四边形中，，，，并且，满足，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题： (1)______，______． (2)设、两点同时出发，设点运动的时间为秒，请问是否存在的值，使得以，，，四点组成的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，为4.8秒或8秒或9.6秒 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出，即可得到答案； （2）根据题意分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，满足，， ∴， ∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴当时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形， ∵， ∴， 当第一次到达点B后返回时， ， 解得，符合题意； 当第一次返回点C后再向B点运动时， ， 解得，符合题意； 当第二次到达B点向点C运动时， ， 解得，符合题意； 综上可知，存在的值，使得以，，，四点组成的四边形是平行四边形，为4.8秒或8秒或9.6秒 22．已知实数，，满足，，试求： (1)，，的值； (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据绝对值、二次根式、偶次方的非负性得出，，，再求出，，的值即可； （2）将，，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，且，，， 故，，， 即，，， 解得，． （2）解：将，代入，原式． 23．某校园内有一块由正方形和正方形组成的花圃，如图所示，正方形，的面积分别是和，现为了保护花圃，用长为的篱笆能围成这个花圃吗？ 【答案】用长为的篱笆不能围成这个花圃 【分析】分别求出两个正方形的边长，再求出需要的篱笆长，与所给的篱笆长进行比较即可求解． 【详解】解：正方形，的面积分别是和， 正方形，的边长分别为和， 花圃的周长为 ， ，，， ， 用长为的篱笆不能围成这个花圃． 24．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)求这两个正方形的周长之和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为． 25．阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ． ．这种方法称为“构造乘积对偶法”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据题意可得 ，然后问题可求解； （2）由（1）及题意可列方程进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ； （2）解：由（1）知，① ，② ①②得：，即， ∴ ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $