辽宁大连市第八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

数学试题 (满分：150分，考试时间：120分钟) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题自要求的) 1.与-2026°角的终边相同的最小正角是（) A.46° B.224 C.226° D.134° 2.在△ABC中，若BC=V2,AC=2,B=45°，则角A等于（) A.60° B.45° C.30 D.15° 3.已知平面向量à=(1,0)，6=(2,2)，则向量a在6上的投影向量为←) A多 c D.26 4.将函数)y=血3x-星到的图象向右平移没个单位长度，得到函数y=闪的图象，则 12 A.5 2 c D.v 2 5.在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的 圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆盘上 点A(1,O)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B,细绳的 粗细忽略不计，当p=2rad时，点M与点O之间的距离为（) A. B. 、2 C.2 D. cos1 sinl 5 高一年级数学试卷第1页共4页 6.已知cos(a+)-号0=分，则os(a-)=( c子 7.已知函数f-anor+引@0则f网的最小正稠期大于4"是“的在0小上单 调递增”的（) A,充要条件 B、充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.在△ABC中，角A,B为锐角，△ABC的面积为4，且cos2A+cos2B=2-SiC,则△ABC 周长的最小值为() ·A.4+2N2 B.4w2-4 C.4W2+4 D.2√2-2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知西f)=osx+引， 则( A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为2元 C.f(,)的图象关于直线x= 对 D.f在[-引上的值域为Q叫 10.已知a,五，c都是单位向量，且a·b=0,则下列结论正确的有 A.(a+)(a-6)=0 B.a+=a-引 C.方与a-3的夹角为开 D.存在8，使得c-号8+五 1L.已知西数/问=0-5如z,x0,受有两个零点，则下列结论正确的有 () A.+为>3元 B.-2死 C.为six2+x2simx<0 D为+为<0 COSX2 COS 高一年级数学试卷第2页共4页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知平面向量a,6满足同l=4,同=3，a-6=6,则3a-46l= 13.在△ABC中，B=V2:BC=√3+1，A=105°，则△MBC的面积为 4已知骚数8（个-2a(x-9+cos(k-p水-受<0<孕的图象关于直线x白-牙 对称，则tan20= 四、解答题（本大题共5小题，共？7分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15(13分)已知ma=:mp=7且ae0引Be(0) (I)求an(a+)的值； 2求1-cs2的值： sin2a (3)求角2a+B的大小. 16.(15分)已知f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数(x)的最小正周期； ②)求函数∫(x)的单调增区间； 3米函数y=f)的图象上的所有点沿向量月=(，0≤日≤引平移，得到y=g()的 图象.若y=g(x)图象关于点 求函数g(x)的解析式， 17.(15分)已知A,B,C分别为AABC三边ab,c所对的角，a=2W5,向量 m=(sinC,sinB),n=(cosB,cosC),且m·n=sin2A. (1)成角A的大小： (②)诺△ABC的面积为V5,求△ABC的周长， (3)若点D是边BC上一点，且BD=CD,AD=3,求△ABC的面积. 高一年级数学试卷第3页共4页 18.（17分)摩天轮是=种大型转轮状的机械建筑设施，游 客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周 景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直 径为110m,设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋 转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约 需要30min. (I)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为Hm,求在转动一周的 过程中，H关于1的函数解析式； (2)当座舱距离地面的高度超过92.5m时，人的心跳速度就会加快，因此这段时间被称为 “心跳加速时刻”，求游客甲在开始转动一周的过程中，处于“心跳加速时刻的时间段； (3)(i)请利用所学知识证明si8+si血p=2sin94cos9:2. cos 2 (ⅱ)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地 面的高度差H(单位：m)关于1的函数解析式，并求高度差的最大值($i加红≈Q.065, 48 精确到0.1). 19.(17分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+√3 asinC=b+c. (1)求角A的大小； (2)当a=25时， (1)设BC,AC边上的两条中线AD,BE相交于点G,求G历.G元的最大值； (i)求o2+C sinC 值 sinB 2025-2026学年度下学期高一年级期中考试数学试题 参考答案 一、单选题 1、D2、C3、B4、A5、D6、B7、B8、C 二、多选题 9、BC.10、ABD11、ACD 三、填空题 12.12 13. 3+1 14. 4 2 四、解答题 1,1 5D由ma=有m9-片所以如a+-0ae2 tana+tan B 3 1】 3 （2)由ama=号，所以1co2=22s0a=ma sin 2a 2sina cosa 3· 3由ae0引，B0引则a+Ae(@列，又am(a+-=方0，则a+B引 又aa则(a+-到 tana+tan(a+B) 32 1 =1, Γ32 又&e0引，a+0引则2a+Pe0,所以2a+B=景 16.（)因为f()=sin2x-1-os2=sn2x+cos2x-1=5sn(2x+}-1， 所以函数y=了()的最小正周期为受=x。 2)由2-牙s2x+年s2+eZ,可得m-暂≤xs+爱eZ列， 所以函数y-的单测指区间为纵-受从+引&eZ。 (3)将函数/(=万n2x+》-1的图象上的所有点沿向量元-(@0s0≤引平移， 得到y=g()的图象，所以g)=万sin(2x-20+)】 第1页共4页 由y=的图象关于点（经0小对称，可得5n(妥-20+引-0， 所以-及-20=a(keZ,解得0=-贺-keZ, 2-4 又0≤9≤经可知9=至故8(-5sn2x-》】 17.(1)由已知得mn=sin Ccos B+cosCsin B=sin(C+B). 因为A+B+C=元，所以sin(C+B)=sin(π-A)=sinA,所以m·n=sinA. 又m·n=sin2A,所以sin2A=2 sin AcosA=sinA, 0<A<,则sA学0，所以asA=分又0≤A<,所以A 3 a)由S=方cn4=5,且4=号得c=4 由余弦定理a2=b2+c2-2 be cos A,及a=2W5,得12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc. 所以b+c=2√6（负值舍去）.故△ABC的周长为a+b+c=2√6+2√. (3)因为BD=CD,所以D是BC的中点，所以D=(B+AC), 两边平方得D=4(丽+26.C+AC),即9=(6+c2+bc, 又由(2)知b2+c2-bc=12,联立得bc=12, 故△ABC的面积SuBc=bcsinA=)X1I2×=3V3】 18.（1)如图，设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.当1=0时， H=10,此时游客甲位于点P(0,-55), 取以0P为终边的角为-7，根据摩天轮转一周大约需要30min, 可知座舱转动的角速度约为开=否ad/mm,所以H=5sn(（行-引65,0≤1≤30， 3015 (2)由55sin -引6>25得：m(-引分 第2页共4页 即名各-受晉，解得：10<1<20，放第0an到20nm为心跳加速时 (3)①因为9=9牛2+9,2，p=9+2_9,2,所以 22 22 0+2_0-2 sine+sing=sin()+sin(2 2 n2cos0-2c00sinin =sin n0cos0-2-cos0sin 22 22 202 2 2 -2sin 0ecos 2 2 ②如图，甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，则∠A0B=2π=无 4824’ 经过min后甲距离地面的高度为H,=55sin 点B相对于点A始终落后无rad, 24 13元 此时乙距离地面的高度为H2=55sin 15 24 +65, 则甲、乙距离地面的高度差： =以=（后-引m信-器】=4[信-引4m贤-剖】 利s0+sp=2m9生cs9，可得=10n套m(-希 2 2 0≤1≤30 当后-袋-受（或受，即178（或28）时，A的最大值为1山0 48≈7.2， 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m. 19.(1)因为acosC+√3 asinC=b+c, 由正弦定理可得，sinAcosC+√3 sinCsinA=sinB+sinC, sinAcosC+3sinCsin4=sinAcosC+cosAsinC+sinC, 整理得√5 sinCsin4=cosAsinC+sinC.因为Ce(O,元)，所以sinC≠0， 所以5A=6os4+1,即2a如(4-君引-1，化简n(4-君)7 又因为4Q,所以4-若君即得4=号 第3页共4页 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bexcos7=b2+c2-bc,且a=2√5，即得 12=b2+c2-bc,即b2+c2=bc+12, 在△c中，而-士C,所以G=号0-丽+C, 2 丽=西-花-号孤花，C-花-石-花-丽 所以函.ac-(后-号4c(号+号4c -2A+5AB.AC-2Ad-2c2+5cxb×}-2b2-24+ 1 bc y 9 9 9 因为b2+c2=bc+12,所以b2+c2=bc+12≥2bc, 解得bc≤12，当且仅当b=c=25时取等号， 所以GB.GC= 4+6c48+bc<-21所以当且仅当b=c=25时取最大值-2 9 18 ()由正弦定理 b c =4,=4sinB,c=4sin C, sinA sinB sinC cosB- B+ osCA /2 cosC0sCosCC sinC sinB sin2C sin2B sinC sinB CCB CsC 1 bcx号 sin2C sin2B sinC sinB 2 =16cos2B+16cos2C+16cosBcosC=16(cos2B+cos2C+cosBcosC) -sinB, 所以cos2B+cos2C+cosBcosC=cos2B+ 号w-jm-号e cosin 3 3 4 =4 、盼以sgAB+osG/2 ad=16×2=12,所以 osB- AB+ cosC sinB 4 inC sinB 第4页共4页