4.5.1垂线的概念课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 4.5.1垂线的概念 第4章 平面内的两条直线 湘教版数学七年级下册4.4.2 平行线的判定方法2、3练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕4.4.2 平行线的判定方法2（内错角相等，两直线平行）、判定方法3（同旁内角互补，两直线平行）知识点设计，涵盖内错角、同旁内角的识别，两种判定方法的理解与应用，以及三种判定方法（含方法1）的辨析，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握两种新的平行线判定方法，能准确识别内错角、同旁内角，灵活运用三种判定方法判断两直线平行，规范书写推理过程，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）内错角相等，两直线平行 （ ） 改正：________ （2）同旁内角相等，两直线平行 （ ） 改正：________ （3）两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同旁内角一定互补（ ） 改正：________ （4）平行线的三种判定方法，都是由角的关系推出线平行 （ ） 改正：________ 2. 填空：（1）平行线的判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果________相等，那么这两条直线平行； （2）平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果________互补，那么这两条直线平行； （3）内错角的位置特征是：在截线________，且在被截直线________；同旁内角的位置特征是：在截线________，且在被截直线________； （4）若直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF与∠CFE是内错角，且∠AEF = ∠CFE，则________∥________；若∠BEF与∠CFE是同旁内角，且∠BEF + ∠CFE = 180°，则________∥________。 3. 如图（无图，结合题意答题），直线AB、CD被直线EF所截，∠1与∠2是内错角，已知∠1 = 65°，∠2 = 65°，判断AB与CD是否平行，并说明理由（写出简要解题步骤）。 4. 选择题：下列选项中，能利用“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行的是（ ） A. 因为∠1 = ∠2，所以AB∥CD B. 因为∠1 + ∠2 = 180°，所以AB∥CD C. 因为AB∥CD，所以∠1 = ∠2 D. 因为AB∥CD，所以∠1 + ∠2 = 180° 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 如图（无图，结合题意答题），直线l₁、l₂被直线l₃所截，∠1 = 50°，∠2 = 50°，∠3 = 130°，判断l₁与l₂、l₂与l₃是否平行，并说明理由（写出完整解题步骤，可结合三种判定方法）。 2. 已知直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FH平分∠CFE，且∠AEF + ∠CFE = 180°，求证：AB∥CD（写出完整推理步骤，提示：结合角平分线性质和同旁内角互补判定平行）。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 如图（无图，结合题意答题），在同一平面内，直线AB、CD、EF两两相交，∠1 = ∠2 = 110°，∠3 = 70°，判断AB与CD、EF与CD的位置关系，并说明理由（写出完整解题步骤，灵活选用判定方法）。 2. 某小区内有两条直线型小路AB和CD，被一条交叉小路EF所截，测得∠AEF = 70°，∠DFE = 110°，请判断AB与CD是否平行，并说明理由；若要使AB∥CD，还可以测得哪些内错角相等或同旁内角互补（写出完整解题步骤）。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）√；（2）×，同旁内角互补，两直线平行；（3）√；（4）√ 2. （1）内错角；（2）同旁内角；（3）两侧；之间；同侧；之间；（4）AB；CD；AB；CD 3. 解：AB∥CD；理由：∵∠1与∠2是内错角，且∠1 = ∠2 = 65°，根据平行线的判定方法2（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD 4. B（解析：A是利用内错角相等判定平行，C、D是平行线的性质，只有B是利用同旁内角互补判定平行） 二、能力提升题 1. 解：l₁∥l₂，l₂∥l₃；理由：∵∠1与∠2是内错角，且∠1 = ∠2 = 50°，根据平行线的判定方法2，∴l₁∥l₂；∵∠2与∠3是同旁内角，且∠2 + ∠3 = 50° + 130° = 180°，根据平行线的判定方法3，∴l₂∥l₃；答：l₁与l₂平行，l₂与l₃平行。 2. 证明：∵EG平分∠AEF，FH平分∠CFE（已知），∴∠GEF = $$\frac{1}{2}$$∠AEF，∠HFE = $$\frac{1}{2}$$∠CFE（角平分线的定义）；又∵∠AEF + ∠CFE = 180°（已知），∴∠GEF + ∠HFE = $$\frac{1}{2}$$（∠AEF + ∠CFE）= 90°（等式性质）；∵∠GEF与∠HFE是同旁内角，且∠GEF + ∠HFE = 180°（此处修正：∠AEF与∠CFE是同旁内角，推导应为∠AEF + ∠CFE = 180°，直接根据判定方法3），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 三、拓展应用题 1. 解：AB∥CD，EF∥CD；理由：∵∠1与∠2是同旁内角，且∠1 + ∠2 = 110° + 110° = 220°（修正：∠1的对顶角与∠2是内错角，∠1的对顶角 = ∠1 = 110°，∠2 = 110°，内错角相等，∴AB∥CD）；∵∠2与∠3是同旁内角，且∠2 + ∠3 = 110° + 70° = 180°，根据判定方法3，∴EF∥CD；答：AB与CD平行，EF与CD平行。 2. 解：AB∥CD；理由：∵∠AEF与∠DFE是同旁内角，且∠AEF + ∠DFE = 70° + 110° = 180°，根据平行线的判定方法3，∴AB∥CD；若要使AB∥CD，还可以测得：∠BEF = ∠DFE（内错角相等），或∠AEF = ∠CFE（内错角相等），或∠BEF + ∠CFE = 180°（同旁内角互补）；答：AB与CD平行；还可以测得∠BEF = ∠DFE等内错角相等，或∠BEF + ∠CFE = 180°等同旁内角互补。 温馨提示：本章核心知识点是平行线的判定方法2（内错角相等，两直线平行）和方法3（同旁内角互补，两直线平行），解题时需重点区分内错角与同旁内角的位置特征，熟练掌握三种判定方法的灵活运用；易错点为混淆内错角与同旁内角的位置、误用“同旁内角相等”判定平行，或忽略三种判定方法的核心逻辑（角关系→线平行）；解题时可结合图形（无图时简单画图）辅助识别角的类型，规范书写推理步骤，确保判定过程严谨。 1. 理解垂线的概念、性质；（重点） 2. 会运用垂线的性质解决问题. （难点） 学习目标 情境导入 日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你还能举出其他生活中的例子吗? 在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化. ） α a b b b b b ） α 垂线的概念 问题 如图，直线 AB 与 CD 交于点 O，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 等于多少度？为什么？ A B C D O 由对顶角和平角的性质，可知当∠AOC＝90°时， ∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°. 在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. 垂直的定义： 知识要点 A B C D 如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线. 如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB）. 如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直可记作：l⊥m（或 m⊥l）. 其中 O 点是这两条互相垂直的直线的垂足. B A C D O l m 垂直的表示法 反之，若直线 AB⊥CD，垂足为 O，那么∠AOD = 90°. 符号语言： 如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点，∠AOD = 90° 时，AB⊥CD，垂足为 O. ①判定：因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. 符号语言： ②性质：因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90° (垂直的定义). (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 垂直概念的延伸 A B C D O (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，那么 ∠BOD =_____°； 例1 (1) 如图1，若直线 m、n 相交于点 O，∠1 = 90°，则 ； O m n 1 B C A O m⊥n 90 图1 图2 (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，则∠COA = °，∠BOC 的补角为 °. 72 162 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2： 例2 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE =∠NOE，若∠EON = 20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE，∠EON＝20°， 所以∠BON＝2∠EON＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°. ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°. 所以∠AOM ＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 综上可知，∠AOM ＝50°，∠NOC ＝140°. 思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线， 这两条直线平行吗？为什么？ a b c b⊥a，c⊥a b∥c ？ 猜想：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 合作探究 (1) 在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c. 1 2 因为 b⊥a，c⊥a（已知）， 所以 b∥c (同位角相等，两直线平行). 所以∠1 = ∠2 = 90° (垂直的定义). 解法1：如图， a b c 验证猜想 因为 b⊥a，c⊥a (已知)， 所以∠1 =∠2 = 90° (垂直的定义). 所以 b∥c (内错角相等，两直线平行). a b c 1 2 解法2：如图， 在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c. 你还有其他的解法吗？ 验证猜想 (2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l⊥b 吗? 解：因为 l⊥a， 所以∠1 = 90°. 因为 a∥b， 所以 ∠2 = ∠1= 90°(两直线平行，同位角相等)， 因此 l⊥b. a b l 1 2 几何语言： 因为 b⊥a，c⊥a (已知)， 所以 b∥c (同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行). a b c 1 2 反之，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线. 验证猜想 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 例3 如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1＝60°，求∠2 的度数． 解：因为 BD，AE 都垂直于 CG，所以 BD∥AE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）. 从而∠2＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）. C A B D E F G H 1 2 例4 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，∠1 = ∠2，求∠BEF 的度数. 解：因为 CD⊥AB， 所以∠BDC = 90°. 又因为∠1 = ∠2， 所以 DC∥EF (同位角相等，两直线平行). 所以∠BEF=∠BDC = 90°(两直线平行，同位角相等). 解：方法1：测出∠3 = 90°， 理由是同位角相等，两直线平行. 方法2：测出∠2 = 90°， 理由是同旁内角互补，两直线平行. 方法3：测出∠5 = 90°， 理由是内错角相等，两直线平行. 方法4：测出∠2，∠3，∠4，∠5 中任意一个角为 90°， 理由是同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 例5 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由. （第1题） 1. 如图，直线和相交于点 ， .若 ，则 的 大小为( ) B A. B. C. D. 中考考法 21 2. 设,, 为同一平面内的三条直线，下列说法中不正确的是 ( ) D A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 中考考法 22 3. 如图，直线，相交于点，平分 ， 于点，则 _____. （第3题） 中考考法 23 （第3题） 【点拨】 因为平分 ，所以 因为 ，所以 .所以 .因 为 ，所以 . 中考考法 24 4. 两条直线相交构成四个角，以下4个条件： ①有一个角是直角； ②有一对对顶角相等； ③有一对邻补角相等； ④有三个角都相等. 其中能判定这两条直线垂直的个数是___. 3 中考考法 25 5. 如图所示是地球截面图， 其中， 分别表示南回归线和北回归 线，表示赤道，点 表示某市的位置. 现已知地球南回归线的纬度是南纬 ， 该市的纬度是北纬 ，而冬至正午时， 太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线 （光线的延长线经过地心 ），则该市冬至正午时，太阳 光线与地面水平线的夹角 的度数是______. 中考考法 26 6. 教材P115练习T1 如图，直线 ， 相交于点， . （1）若 ，求 的度数； 【解】因为，所以 . 又因为 , 所以 . 所以 . 中考考法 27 （2）如果，请判断与 的位置关系，并说明理由. 中考考法 28 .理由如下： 因为 ， 所以 ，即 . 因为 ， 所以 ，即 . 所以 . 中考考法 29 7. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的 “取大 镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改 变光路的方法.为探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一 面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角 时，已知 ，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射 入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 为( ) B A. B. C. D. 中考考法 30 8. 在同一平面内有100条互不重合的直线， 若,,,, , ,则下列结论 正确的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 31 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 1. 垂线的定义 2. 垂线的性质 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行. 在同一平面内，如果一直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条. 课堂小结 $