4.5《垂线》垂线的概念课件2024-2025学年 湘教版七年级数学下册

4.5 垂线 ——垂线的概念 学习目标 1. 理解垂线的概念、性质；（重点） 2. 会运用垂线的性质解决问题. （难点） 画框的边线， 十字路口两条笔直的街道， 屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？ 探索新知 A B C D 将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？ ） α a b b b b b ） α 如图，取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a，转动木条 b. 当 b 的位置变化时，其中会有特殊情况出现吗？ 如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？ 由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°. A B C D O 探索新知 垂直的表示法 如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB） 如果用m、n表示这两条直线，那么直线m与直线n垂直，可记作：m⊥n（或mn⊥m）. 把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）. A B C D O n m 探索新知 在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. “垂直”用符号“⊥”表示. 如图，直线 AB 与CD互相垂直(O为垂足)， 记作“AB⊥CD”，读做“AB 垂直于 CD”. A B C D O A B C D O 垂直的表示法 O l m 垂足 AB⊥CD （或CD⊥AB） l⊥m （或m ⊥ l） 把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）. 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化. a b α b b b b 探索新知 垂线的基本性质 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O. 几何语言： ①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，那么∠AOD=90° ②性质：∵ AB⊥CD ,（已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 探索新知 o A B C D 思考:在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？ b⊥a,c⊥a b∥c ？ 猜想：垂直于同一条直线的两条直线平行. 在同一平面内，b⊥a,c⊥a，试说明：b∥c. 解法1：如图， 验证猜想 ∵b⊥a ，c ⊥a （已知） ∴∠1= ∠2 = 90° (垂直的定义) ∴b∥c(同位角相等，两直线平行) 在同一平面内，b⊥a,c⊥a，试说明：b∥c. 解法2：如图， ∵ b⊥a,c⊥a(已知) ∴∠1=∠2=90°(垂直定义) ∴b∥c(内错角相等，两直线平行) 在同一平面内，b⊥a,c⊥a，试说明：b∥c. 解法3：如图， ∵ b⊥a,c⊥a(已知) ∴∠1=∠2=90°(垂直定义) ∴ ∠1+∠2=180° ∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行) 知识要点 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线平行. 几何语言： ∵ b⊥a,c⊥a(已知) ∴b∥c(垂直于同一条直线的两条直线平行.) 反之，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 例1 在如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂 直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数. 解：　∵BD，AE都垂直于CG， ∴ ∠BDC= ∠AEC=90° ∴ BD∥AE(同位角相等，两直线平行). ∴ ∠2=∠1=60°(两直线平行，同位角相等). 例题讲解 例2 如图，已知CD⊥AB，∠1=∠2， 求∠BEF的度数. 解　∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90° 又∵∠1=∠2， ∴CD∥EF(同位角相等，两直线平行). ∴∠BEF=∠BDC=90°(两直线平行，同位角相等). 例题讲解 1. 如图，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD， ∠BOE=60°，求∠AOC的度数. 解： ∵EO⊥CD ∴∠EOD=90°， 又∵∠BOE=60°， ∴∠BOD=90°-∠BOE=30°. ∴∠AOC = ∠BOD=30°(对顶角相等). 随堂即练 2. 如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，求∠C. 解： ∵CD⊥DA，DA⊥AB， ∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行). ∴∠B+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补). 又∵∠B=56°， ∴∠C=180°-56°= 124°. 提升训练 $$