4.6 两条平行线间的距离课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 4.6 两条平行线间的距离 第4章 平面内的两条直线 湘教版数学七年级下册4.6 两条平行线间的距离练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕4.6 两条平行线间的距离知识点设计，涵盖两条平行线间距离的定义、性质（两条平行线间的距离处处相等），结合垂线段、点到直线的距离知识辅助理解，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握两条平行线间距离的核心概念，能准确区分点到直线的距离与平行线间的距离，灵活运用性质解决实际问题，规范计算平行线间的距离，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）两条平行线间的距离，是指一条直线上任意一点到另一条直线的距离 （ ） 改正：________ （2）两条平行线间的距离处处相等 （ ） 改正：________ （3）过一条平行线上的一点作另一条平行线的垂线段，这条垂线段的长度就是两条平行线间的距离 （ ） 改正：________ （4）两条平行线间的距离是线段，点到直线的距离是长度 （ ） 改正：________ 2. 填空：（1）两条平行线间的距离的定义：在两条平行线中，一条直线上的________到另一条直线的________，叫做这两条平行线间的距离； （2）两条平行线间的核心性质：________； （3）若直线l₁∥l₂，点A在l₁上，过点A作l₂的垂线段AB，垂足为B，则线段AB的________就是l₁与l₂之间的距离； （4）两条平行线间的距离与点到直线的距离的关系：两条平行线间的距离，本质是一条平行线上的点到另一条直线的________。 3. 如图（无图，结合题意答题），已知直线l₁∥l₂，过l₁上一点P作l₂的垂线段PQ，垂足为Q，PQ = 4cm，求l₁与l₂之间的距离，并说明理由（写出简要解题步骤）。 4. 选择题：下列关于两条平行线间距离的说法，正确的是（ ） A. 两条平行线间的距离有无数条，且长度不相等 B. 两条平行线间的距离是其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段 C. 两条平行线间的距离处处相等 D. 过平行线外一点作两条平行线的垂线段，长度不相等 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 如图（无图，结合题意答题），直线l₁∥l₂，点A、B在l₁上，点C、D在l₂上，过点A作l₂的垂线段AE，垂足为E；过点B作l₂的垂线段BF，垂足为F，已知AE = 5cm，求BF的长度，并说明理由（写出完整解题步骤，提示：结合平行线间距离的性质）。 2. 已知直线l₁∥l₂，直线l₃分别交l₁、l₂于点M、N，过点M作l₂的垂线段MG，垂足为G，若MN = 10cm，∠NMG = 30°，求l₁与l₂之间的距离（写出完整解题步骤，提示：结合直角三角形性质）。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 如图（无图，结合题意答题），在同一平面内，长方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB = 10cm，AD = 6cm，求AB与CD之间的距离，以及AD与BC之间的距离（写出完整解题步骤）。 2. 某长方形操场的长和宽分别是两条互相平行的线段，已知长所在的直线与宽所在的直线平行，量得一条长上某点到另一条长的垂线段长度为15米，求这个操场两条长之间的距离，以及两条宽之间的距离的关系（写出完整解题步骤，提示：结合长方形的特征和平行线间距离的性质）。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）√；（2）√；（3）√；（4）×，两条平行线间的距离和点到直线的距离都是长度，垂线段是线段，不是距离 2. （1）任意一点；垂线段的长度；（2）两条平行线间的距离处处相等；（3）长度；（4）距离 3. 解：l₁与l₂之间的距离为4cm；理由：∵l₁∥l₂，PQ是l₁上一点P到l₂的垂线段，根据两条平行线间距离的定义，∴PQ的长度就是l₁与l₂之间的距离，即4cm。 4. C（解析：A错误，两条平行线间的距离处处相等；B错误，平行线间的距离是垂线段的长度，不是垂线段；D错误，过平行线外一点作两条平行线的垂线段，长度相等） 二、能力提升题 1. 解：BF = 5cm；理由：∵l₁∥l₂，AE是点A到l₂的垂线段，BF是点B到l₂的垂线段，根据两条平行线间距离的性质，两条平行线间的距离处处相等，∴AE = BF；又∵AE = 5cm，∴BF = 5cm；答：BF的长度为5cm。 2. 解：∵MG是l₁上点M到l₂的垂线段，∴MG的长度就是l₁与l₂之间的距离；在Rt△MNG中，∠MGN = 90°，∠NMG = 30°，MN = 10cm；根据直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∴MG = $$\frac{1}{2}$$MN = $$\frac{1}{2}$$×10 = 5cm；答：l₁与l₂之间的距离为5cm。 三、拓展应用题 1. 解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥CD；∴AD是AB上一点A到CD的垂线段，AD的长度就是AB与CD之间的距离，即6cm；同理，AB是AD上一点A到BC的垂线段，AB的长度就是AD与BC之间的距离，即10cm；答：AB与CD之间的距离为6cm，AD与BC之间的距离为10cm。 2. 解：两条长所在的直线互相平行，一条长上某点到另一条长的垂线段长度为15米，根据平行线间距离的定义，这条垂线段的长度就是两条长之间的距离，即15米；∵长方形的长与宽互相垂直，两条宽所在的直线互相平行，∴两条宽之间的距离等于两条长的长度，与两条长之间的距离（15米，即长方形的宽）互相垂直且长度不相等（除非是正方形）；答：两条长之间的距离为15米，两条宽之间的距离等于长方形的长，与两条长之间的距离互相垂直。 温馨提示：本章核心知识点是两条平行线间距离的定义和性质，解题时需重点区分“两条平行线间的距离”与“点到直线的距离”“垂线段”：三者的核心联系是平行线间的距离本质是点到直线的距离，三者的区别是垂线段是线段，距离是垂线段的长度；易错点为混淆“垂线段”与“距离”，或忽略平行线间距离“处处相等”的性质；解题时可结合图形（无图时简单画图）辅助理解，结合长方形、直角三角形等知识，规范计算平行线间的距离。 1. 掌握公垂线段的概念及其性质； 2. 会求平行线间的距离. （重点） 学习目标 复习导入 1. 什么是点到直线的距离？ 2. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？ A B 连接两点的线段的长度叫两点间的距离. M 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. N a 某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作，你应该怎样确定两条铁轨是平行的呢？ 活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？ 你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？ 可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的． 两条平行线间的距离 与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段． 概念学习 A B C D l1 l2 图中的线段 AB，CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段. 活动2：请任意画两条互相平行的直线 a、b，在直线 a 上，任意取两点 A、B. 然后量出点 A、B 到直线 b 的距离，并加以比较，你能得到什么结果？ AC = DB A C B D a b 合作探究 活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线 b 移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线 a 交点处的刻度，问：刻度有改变吗？ a b 通过上述实验，你发现了什么？ 两条平行线的所有公垂线段都 . 相等 几何语言： 因为 a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂线段， 所以 AC = BD. C D 定义：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. A B 概念学习 A B C D l1 l2 由上述结论可以进一步猜测： 平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离. 又线段 AB 的长度是点 A 到直线 l₂ 的距离， 因此，平行线 l1 与 l2 之间的距离等于直线 l1 上的点 A 到直线 l₂ 的距离. 思考：你可以说明这个猜想是正确的吗？ 证明：如图，线段 AB 是两条平行线 l1 与 l2 的公垂线段，从而线段 AB 的长度是直线 l1 与 l2 之间的距离. 解：因为 AB∥DC，DE⊥AB， 所以 DE⊥DC. 又AB∥DC，BF⊥CD， 于是 BF⊥AB. 因而DE∥FB. 又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB， 从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段. 故 DF = EB. 又AB = DC， 所以 AB - EB = DC - DF，即 AE = CF. 例1 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段 AE 与 CF 相等吗? D A B C F E 例2 如图，已知 AD∥BC，判断 与 是否相等，并说明理由. 解：相等. 理由如下： 所以△ABC 与 △DBC 的高相等. 因为 △ABC 与 △DBC 的底都是 BC， 所以 △ABC 与 △DBC 是同底等高三角形. 所以 S△ABC = S△DBC. 因为 AD∥BC， 解：在 a 上任取一点 A，过 A 作 AC⊥a，分别与 b，c 相交于 B，C 两点， A b c B C a 5 2 例3 如图，设 a，b，c 是三条互相平行的直线. 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与 c 的距离. 因为 a，b，c 是三条互相平行的直线， 所以AB⊥b，AC⊥a. 因此，线段AB，BC，AC分别是平行线a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段. 又AC = AB + BC = 5 + 2 = 7， 因此，a 与 c 的距离是 7. [选自教材P123 练习] 1. 利用平移画一条直线和已知直线 l 平行，且要求两条平行线间的距离为 2 cm， 这样的直线可以画几条？ 可以画 2 条 随堂练习 [选自教材P123 练习] 2. 如图， MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△ PAB 和△ QAB 的面积有什么关系？ 为什么？ 解: 相等.理由如下: 因为△ PAB 和△ QAB 的AB 边上的高相等，都是 MN 和 AB 之间的距离，即两三角形同底等高，所以△ PAB 和△ QAB 的面积相等. 随堂练习 1. 下列说法中，错误的是( ) A A. 平行线间的距离就是两条平行线间的公垂线 B. 两条平行线的所有公垂线段都相等 C. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另 一条直线的距离 D. 垂线段最短 中考考法 17 （第2题） 2. 如图，直线，点，在 上，点，，在 上，若 ，则下列线段 的长度是到 的距离的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 18 3. 如图，已知直线,直线 与它们分别垂直且相交于 ,,三点.若,,则平行线, 之间的距离是___. 5 （第3题） 中考考法 19 4. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长为1，小正 方形的顶点称为格点，点，，， 均在格点上，仅用无 刻度直尺完成下列作图. 中考考法 20 （1）在线段上找一点，使 ； 【解】如图，连接交 于 ，则点 即为所求. 中考考法 21 （2）在线段上找一点，使；连接 ，直 接写出 的面积. 如图，取格点，连接交于，则点 即为所求. 的面积为3. 中考考法 22 （第5题） 5. 如图，点在直线上移动，， 是直线上的两个定点，且直线 . 对于下列各值，不会随点 的移动而 变化的是( ) C A. 的大小 B. 的周长 C. 的面积 D. 以上答案都不对 中考考法 23 6. 在同一平面内，已知,,若直线， 之间的距离为 ,直线，之间的距离为,则直线， 之间的距离为 ( ) A A. 或 B. C. D. 不确定 中考考法 24 （第7题） 7. 我们知道：平行线间的 距离处处相等.如图，, , ，则图中与 面积相等的三 角形有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 25 8. 已知，为边上一点，将线段沿 方向平移 至，与交于点，.若与 的面积之和 为13，点是线段上一动点，的最小值为10，则 ___. 5 中考考法 26 两条平行线间的距离 概念 性质 公垂线 公垂线段 平行线间的距离 两条平行线的公垂线段都相等 课堂小结 $