第4章 平面内的两条直线【章末复习】课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 小结与复习 第4章 平面内的两条直线 湘教版数学七年级下册第4章 平面内的两条直线 综合练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕第4章“平面内的两条直线”全章节知识点设计，涵盖相交与平行、平移、平行线的性质与判定、垂线、垂线段与点到直线的距离、两条平行线间的距离等核心内容，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们系统梳理本章知识点，熟练掌握各类题型的解题方法，灵活运用本章知识解决实际问题，规范书写推理过程，时长建议40分钟。 一、基础巩固题（每题8分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 （ ） 改正：________ （2）平移前后，图形的形状、大小不变，对应点的连线平行且相等 （ ） 改正：________ （3）两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行，两者都是平行线的性质 （ ） 改正：________ （4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （ ） 改正：________ （5）两条平行线间的距离处处相等，且等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度 （ ） 改正：________ 2. 填空：（1）同一平面内，两条直线相交形成的相对的角叫做________，它们相等；相邻的角叫做________，它们互补； （2）平移的两个要素是________和________； （3）平行线的判定方法有3种，分别是同位角相等、________、________，均可由角的关系推出线平行； （4）直线外一点到这条直线的________，叫做点到直线的距离； （5）若直线l₁∥l₂，过l₁上一点作l₂的垂线段，这条垂线段的________就是l₁与l₂之间的距离。 3. 如图（无图，结合题意答题），直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 80°，求∠BOD、∠AOD的度数（写出简要解题步骤）。 4. 选择题：下列现象中，属于平移的是（ ） A. 钟表指针转动 B. 抽屉推拉 C. 电风扇扇叶转动 D. 秋千摆动 5. 选择题：下列关于平面内两条直线的说法，正确的是（ ） A. 相交的两条直线一定垂直 B. 平行线间的距离是垂线段 C. 垂线段最短 D. 两直线平行，同旁内角相等 二、能力提升题（每题12分，共36分） 1. 如图（无图，结合题意答题），直线l₁∥l₂，直线l₃分别交l₁、l₂于点M、N，∠1 = 65°，∠2与∠1是内错角，∠3与∠1是同旁内角，求∠2、∠3的度数，并说明理由（写出完整解题步骤）。 2. 已知直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，且∠AEF = ∠DFE，求证：AB∥CD（写出完整推理步骤，提示：结合角平分线性质和平行线判定方法）。 3. 如图（无图，结合题意答题），直线AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，∠AOE = 35°，求∠COF和∠DOE的度数（写出完整解题步骤，提示：结合垂直定义、对顶角和邻补角性质）。 三、拓展应用题（每题12分，共24分） 1. 如图（无图，结合题意答题），在同一平面内，长方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB = 12cm，AD = 8cm，点P是AB上一点，过点P作CD的垂线段PQ，垂足为Q，求PQ的长度，以及AD与BC之间的距离（写出完整解题步骤）。 2. 某小区内有两条平行的小路l₁和l₂，现要从l₁上的点A向l₂修一条最短的小路，测得小路长度为10米，点B是l₁上另一点，过点B作l₂的垂线段BC，垂足为C，求BC的长度，并说明理由；若直线l₃垂直于l₁，判断l₃与l₂的位置关系（写出完整解题步骤）。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）√；（2）√；（3）×，两直线平行，内错角相等是性质，内错角相等，两直线平行是判定；（4）√；（5）√ 2. （1）对顶角；邻补角；（2）平移方向；平移距离；（3）内错角相等；同旁内角互补；（4）垂线段的长度；（5）长度 3. 解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD = ∠AOC = 80°；∵∠AOC与∠AOD是邻补角，∴∠AOD = 180° - 80° = 100°；答：∠BOD = 80°，∠AOD = 100°。 4. B（解析：A、C、D均为旋转现象，只有B是平移现象） 5. C（解析：A错误，相交的两条直线不一定垂直；B错误，平行线间的距离是垂线段的长度；D错误，两直线平行，同旁内角互补） 二、能力提升题 1. 解：∠2 = 65°，∠3 = 115°；理由：∵l₁∥l₂，∠1与∠2是内错角，根据平行线性质2（两直线平行，内错角相等），∴∠2 = ∠1 = 65°；∵∠1与∠3是同旁内角，根据平行线性质3（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1 + ∠3 = 180°，∴∠3 = 180° - 65° = 115°；答：∠2 = 65°，∠3 = 115°。 2. 证明：∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（已知），∴∠GEF = $$\frac{1}{2}$$∠AEF，∠HFE = $$\frac{1}{2}$$∠DFE（角平分线的定义）；又∵∠AEF = ∠DFE（已知），∴∠GEF = ∠HFE（等式性质）；∵∠GEF与∠HFE是内错角，且∠GEF = ∠HFE，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 3. 解：∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC = 90°（垂直的定义）；∵∠AOE = 35°，∴∠COE = ∠AOC - ∠AOE = 90° - 35° = 55°；∵∠COE与∠DOF是对顶角，∴∠COF = ∠DOE（此处修正：∠COE与∠DOF对顶角，∠COF = 55°；∠DOE与∠AOE是邻补角，∴∠DOE = 180° - 35° = 145°）；答：∠COF = 55°，∠DOE = 145°。 三、拓展应用题 1. 解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥CD；∴PQ是点P到CD的垂线段，PQ与AD平行且相等，∴PQ = AD = 8cm，即AB与CD之间的距离为8cm；同理，AD与BC之间的距离等于AB的长度，即12cm；答：PQ的长度为8cm，AD与BC之间的距离为12cm。 2. 解：BC = 10米；理由：∵l₁∥l₂，点A到l₂的小路是垂线段，长度为10米，即l₁与l₂之间的距离为10米；BC是点B到l₂的垂线段，根据两条平行线间距离处处相等的性质，∴BC = 10米；∵l₃⊥l₁，l₁∥l₂，∴l₃⊥l₂（垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条）；答：BC的长度为10米，l₃与l₂互相垂直。 温馨提示：本章核心是平面内两条直线的位置关系（相交、平行）及相关性质、判定和应用，重点掌握平移的特征、平行线的性质与判定的区别、垂线和垂线段的性质、平行线间距离的定义；易错点为混淆平行线的性质与判定、垂线段与距离的概念、平移与旋转现象；解题时可结合图形辅助理解，规范书写推理步骤，注重知识点的综合运用，梳理章节内在联系，提升解题能力。 一、对顶角 两个角有_________，并且两角的两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角. 对顶角的性质：____________. A O C B D 1 3 2 4 公共顶点 反向延长线 对顶角相等 二、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫______. 1. 垂线的定义 2. 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已 知直线垂直. 4. 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到 直线的距离. 3. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，______最短. 有且只有 垂线段 长度 直角 垂线 垂足 同位角、内错角、同旁内角的结构特征： 同位角 “F ”型 内错角 “Z ”型 同旁内角 “U ”型 三、同位角、内错角、同旁内角 三线八角 四、平行线 1. 在同一平面内，___________的两条直线叫作平行线. 3. 平行于同一条直线的两条直线______. 2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行. 4. 平行线的判定与性质： 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 性质 判定 没有公共点 有且只有 平行 五、平移 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2. 平移的性质： (1) 平移前后的图形的形状，大小和朝向完全相同； (2) 对应线段平行(或在同一条直线上)且相等； (3) 对应点所连线段平行(或在同一条直线上)且相等. 考点一 利用对顶角、垂线的性质求角度 例1 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点，∠AOE = 65°，求∠DOF 的度数. 解： 因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°. 因为∠AOE = 65°， 所以∠COE = 90° - 65° = 25°. 又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)， 所以∠DOF = 25°. B A C D F E O 考点二 点到直线的距离 例2 如图 ，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，则点 C 到 AB 的距离是 cm，点 A 到 BC 的距离是 cm，点 B 到 AC 的距离 是 cm. 4.8 6 8 考点三 平行线的性质和判定 例3 （1）如图所示，∠1 = 72°，∠2 = 72°，∠3 = 60°，求∠4 的度数； 解：因为∠1 =∠2 = 72°， 所以 a∥b (内错角相等，两直线平行). 所以∠3 +∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 因为∠3 = 60°，所以∠4 = 120°. a b 例4 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是 ( ) 解析：紧扣平移的概念及性质解题. D 考点四 平移的性质 A B C D 解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°， ∠3 的度数为 8x°，根据题意可得 x°+ x°+ 8x°= 180°，解得 x = 18. 即∠1 = ∠2 = 18°. 而∠4 = ∠1 +∠2（对顶角相等）， 故∠4 = 36°. 考点五 相交线中的方程思想 例5 如图所示， 交于点 O，∠1 =∠2，∠3:∠1 = 8:1，求∠4 的度数. 4 1 2 3 O （ ） ） （ 考点1 相交线所成的角 1. 如图，直线，相交于点，若 ， 平分，则 ______. 中考考法 12 2. 如图，，相交于点， 交 于点，交于点 . （1）指出，被 所截形成的同 位角、内错角、同旁内角； 【解】同位角：和；内错角：和 ；同旁内 角：和 . （2）指出，被 所截形成的内错角； 和，和 都是内错角. 中考考法 13 （3）指出，被 所截形成的同旁内角. 和，和 都是同旁内角. 中考考法 14 考点2 平移 （第3题） 3. 第12届世界运动会于 2025年8月在四川成都举行，其会徽灵感源于熊 猫、芙蓉花、中国结.能通过如图平移得到的是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 15 4. 如图，将周长为的沿方向平移得到 ， 连接，若四边形的周长是,则 平移的距 离是___ . 1 （第4题） 中考考法 16 考点3 垂线 5. 如图，推动水桶，以点 为支点，使其向右 倾斜，若在点处分别施加推力,,则的力臂大于 的 力臂 .这一判断过程体现的数学依据是( ) 中考考法 17 A. 垂线段最短 B. 同一平面内过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与 已知直线平行 √ 中考考法 18 6. 直线，相交于点，过点作 . 中考考法 19 （1）如图①，若 ，求 的度数； 【解】因为 ， 所以 ，即 . 又因为 ， 所以 . 中考考法 20 （2）如图②，作射线使，则是 的 平分线，请说明理由； 中考考法 21 因为 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 . 即 . 中考考法 22 又因为 ， 所以 . 所以是 的平分线. 中考考法 23 （3）在图①中作，直接写出与 的数量关系. 或 . 中考考法 24 【点拨】①当在 下方时，如图①.因 为，所以 ，即 .因为 ， 所以 ； 中考考法 25 ②当在上方时，如图②.因为 ， 所以 .因为 ，所以 . 综上，与 的数量关系为 或 . 中考考法 26 考点4 平行线及其判定与性质 7. [衡阳月考] 下列说法正确的有( ) ①平行于同一直线的两直线平行；②相等的角是对顶角；③ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内， 不重合的两条直线的位置关系有平行和垂直两种；⑤若 ，，则 . A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 27 8. 如图， . （1）若 ， ，则 的度数是 ____ ； 72 中考考法 28 【点拨】如图，过点作.因为，所以 . 所以 . 所以 . 又因为，所以 . 中考考法 29 （2），和 之间的 数量关系是_____________________ _____________. 【点拨】因为 ，所以 .因为，所以 . 所以 .所以 . 中考考法 30 9. 如图，已知 ,且 . （1）试说明： ; 【解】因为, , 所以,所以 , 所以 . 因为 , 所以 . 中考考法 31 （2）若 ,,求 的度数. 中考考法 32 因为, ,所以 . 因为 , , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 . 中考考法 33 平面内两条直线的位置关系 两条直线相交 对顶角相等 垂线，点到直线的距离 两条直线被第 三条直线所截 两直线平行 两直线平行的性质 两直线平行的判定 同位角、内错角、同旁内角 两直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行的性质 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，内错角相等 平行线间的公垂线段(距离)都相等 $