4.5.2垂线段与点到直线的距离课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 4.5.2垂线段与点到直线的距离 第4章 平面内的两条直线 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕4.5.2 垂线段与点到直线的距离知识点设计，涵盖垂线段的定义、垂线段的性质（垂线段最短）、点到直线的距离的定义及测量方法，结合垂线概念辅助理解，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握垂线段和点到直线距离的核心概念，能准确区分垂线段与垂线，灵活运用垂线段性质解决实际问题，规范计算点到直线的距离，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足的线段叫做垂线段 （ ） 改正：________ （2）垂线段是垂线的一部分，垂线是直线，垂线段是线段 （ ） 改正：________ （3）直线外一点到这条直线的距离，是指这点到这条直线的垂线段 （ ） 改正：________ （4）垂线段最短，即直线外一点到直线的所有线段中，垂线段的长度最短 （ ） 改正：________ 2. 填空：（1）过直线外一点作已知直线的垂线，________的线段叫做垂线段； （2）垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短； （3）直线外一点到这条直线的________，叫做点到直线的距离； （4）若点P到直线l的垂线段为PA，垂足为A，则PA________l，且PA的长度就是点P到直线l的________。 3. 如图（无图，结合题意答题），点P是直线l外一点，过点P作直线l的垂线，垂足为O，连接PA、PB、PO，其中PO⊥l，PA、PB不垂直于l，比较PO、PA、PB的长度大小，并说明理由（写出简要解题步骤）。 4. 选择题：下列关于垂线段与点到直线距离的说法，正确的是（ ） A. 垂线段就是点到直线的距离 B. 垂线的长度就是点到直线的距离 C. 垂线段的长度是点到直线的距离 D. 直线外一点到直线的距离有无数条 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 如图（无图，结合题意答题），直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE = 40°，已知点C到直线AB的垂线段为CF，垂足为F，求CF与OE的长度关系，并说明理由（写出完整解题步骤，提示：结合垂线段性质和垂线定义）。 2. 已知直线l，点A、B是直线l外两点，过点A作直线l的垂线段AC，垂足为C；过点B作直线l的垂线段BD，垂足为D，若AC = 5cm，判断BD的长度范围，并说明理由（写出完整解题步骤）。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 如图（无图，结合题意答题），在同一平面内，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在直线CD上，且OP = 6cm，点Q是直线AB外一点，过点Q作AB的垂线段QR，垂足为R，求点Q到直线AB的距离，以及点P到直线AB的距离（写出完整解题步骤）。 2. 某小区内有一条直线型小路l，路边有一个花坛P，现要从花坛P向小路l修一条最短的小路，已知修的小路长度为8米，求点P到小路l的距离，并说明为什么修这条小路最短（写出完整解题步骤，提示：结合垂线段性质）。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）√；（2）√；（3）×，直线外一点到这条直线的距离，是指这点到这条直线的垂线段的长度；（4）√ 2. （1）连接这点与垂足；（2）垂线段；（3）垂线段的长度；（4）⊥；距离 1. 理解垂线的画法； 2. 知道垂线段和点到直线的距离的概念，会运用并解决问题. （重点、难点） 学习目标 问题： (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 垂线的画法及基本事实 A .B l . 1 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1. 放 2. 靠 3. 画 l O 如图，已知直线 l，作 l 的垂线. A 无数条 l A B 1. 放 2. 靠 3. 移 4. 画 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A ，作 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 l A B 1. 放 2. 靠 3. 移 4. 画 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 A ，作 l 的垂线. 根据以上操作，你能得出什么结论 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以 在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯 一性. 知识要点 典例精析 A B 例1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． P (1) A B P (2) 总结 过一点画射线或线段的垂线，是指过该点画射线或线段所在的直线的垂线. A B P (3) C D E 点到直线的距离 1. 线段 AB，AC，AD ，AE 谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 如图，从 A 点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. B l A 2 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 线段 AD 的长度叫作点 A 到直线 l 的距离. 特别规定： D l A 知识要点 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 例2 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求： (1) 点 A 到直线 BC 的距离； A B C D 解：因为∠ABC = 90°， 所以 AB⊥ BC，点 B 为垂足， 所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段， 因为AB = 5， 所以点 A 到直线 BC 的距离为5. 典例精析 例2 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求： (2) 点 B 到直线 AC 的距离是多少? 解：因为 BD⊥AC，垂足为 D， 所以点 B 到直线 AC 的距离为 . 因为 S△ABC = BC·AB = AC·BD， 所以 BD = = = . 所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离. A B C D [选自教材P118 练习] 1. 如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离. 解: 作 AD ⊥ BC，垂足为点 D . D 所以线段 AD 的长度即为点 A 到直线 BC 的距离. 因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD , 所以AD = . 因为∠BAC = 90°， 所以 AC ⊥ AB， 点 A 为垂足， 所以线段 AC 的长度即为点 C 到直线 AB 的距离，则距离为4. 随堂练习 [选自教材P118 练习] 提示: 用直尺量出图中点 P 到各直线的距离, 再按比例尺换算成实际距离. 2. 某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5 000），其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离． 随堂练习 3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？ 解: 体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法: 先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩. [选自教材P118 练习] 随堂练习 1. 下列选项中，过点画的垂线 ，三角板放法正确的 是( ) C A. B. C. D. 中考考法 17 2. 如图，点到 的距离是哪条线段的 长度?( ) D A. B. C. D. 中考考法 18 3. 为直线外一点，，，为直线 上三点， ，，，则点到直线 的距离 ( ) D A. 等于 B. 等于 C. 小于 D. 不大于 中考考法 19 4. 下列说法正确的有________（填序号）. ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过任意一点均可作一条直线的垂线； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离. ①②③ 中考考法 20 5. 教材P117做一做 如图，为了解决，，， 四 个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂. 中考考法 21 （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂 的位 置，使之与四个小区的距离之和最小； 【解】如图，连接，交于点，则点 就是水厂的位置. 中考考法 22 （2）另外，计划把河流 中的水引入 水厂中，使之到 的距离最短，请你 画图确定铺设引水管道的位置，并说 明理由. 如图，过点作于点 ，则沿 铺设引水管道即可. 理由：垂线段最短. 中考考法 23 6. 如图，已知直角三角形中， , , ,,点沿从点到点运动，,则 的最 大值为___，最小值为_ __. 4 中考考法 24 1. 垂线的画法 2. 垂线的性质 (1) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2) 垂线段最短. 3. 点到直线的距离 课堂小结 $