山东省青岛第二中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

2024级高二数学期中考试参考答案 6 7 9 10 B A B A ABD ABD 11 12 13 14 3 ACD 18 -3ln2 10 要求前4次中甲射击3次的概率，约定甲先射击，则共有三种 情况： 甲中乙中甲没中甲，概率为×号×号×1=京 甲没中甲没中甲中乙：号×号××1= 3 3 27 甲没中甲中乙中甲：号××号×1=务所以-香选D 6.由n=10可得T,1=C10 产，当102为整数时，该项为有 2 3 理项. 因为0≤r≤10且r∈N,所以当=2,5,8时，10,2分别为2,0， 3 -2,是整数，即有理项有3项 从11项中任取3项，其中有理项的个数5服从参数为N=11(总体 个数)，M=3(有理项个数)，n=3(抽取个数)的超几何分布. 根据起几向分布的期望公式(G-兴，可得（传》=3X3-号 11111 7.法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到 右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先第1个隔板从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7 个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空， 共有7+6+5+4+3+2+1=28个安康数 法二：等价于从左到右三份分别对应，，且++=7，≥ 1,≥0，≥0， 若=+1，则++=6，即求出方程非负整数解的个数， 由隔板法有+3-1=名=28个安康数.选C 8.由ae-2=e225>0,两边取对数，ln(ae-2)=ln(e225）,即 lna+a=2027, 又由b(1nb-2)=e202s>0,两边取对数，lnb+ln(nb-2)=2028,即 lnb-2+ln(1nb-2)=2026, 令f(x)=x+nx,x>0,则f(a)=2027>f(nb-2)=2026, 由f'(x)=1+1>0,可得f(x)在(0，+o)上单调递增，则a>1nb-2, 故ab>(lnb-2)b=e2028; 又由a>lnb-2可得b<e+2,则ab<ae+2=aea-2.e4=e202,故 e2028<ab<e2029. 故选：A. 10.ABD 由题意，若第次传球后球在乙手中，则第一1次必不在乙手中， 此时概率为1--1，第n次传球给乙的概率为。， 六=(1--)心-专=-(1-){-1-3为等比数 列，C错误； :1=“{-1-为首项是君公比是-的等比数列， 第1页共3页 ·青+×(-)1,3=意A正确： 前5次传球共有25=32种传球方法，传到乙手中的概率5=是 .传到乙手中共有11种传法，B正确： 20z6号+×(-)205，显然名×(-)2025<0， 6 六2026<3D正确。 11.ACD 对于，(2)=0≤≤2)=（-，≤+)≈0.34，所以A正确： 2 对于B,根据正态分布曲线的性质得，随着的增大()减小，.() 在R上是减函数，B错误： 对于C,:=0,根据对称性得，()=（一2≤≤)=（一 ≤≤2-)=(2-) ∴.()图象关于直线=1对称，所以C正确； 对于D,根据对称性得，()=（≥）=1-（≥-）1-（-) ∴（)关于(0，)对称，D正确 13.18 若使用两种颜色，正面有C?×2种涂法，因为同一区域的两面不同色， 且两面均不使用另一面未用过的颜色，所以对应反面仅一种涂法： 若使用三种颜色，正面有3×2×1种涂法，反面全错排共2种涂色 方法；所以总共6+12=18种， 14.-32 ()=+1-8,0为()的极值点， 0+1=80 :+1=+1,2+3=90, .2+2+1=90=0+80=0+0+1 ,+在上单调递增， ∴.2=0’3=80 2=1+1， .1=2-1=0-1 1+72-3=0-1-0,0+1=80, .0+1=80=32+0 代入，得1+72-3=0-32-0+1-1=-32 15.(1):3=65,.（-1)(-2)=(-5x5 6×! 整理得，(-3)(-4)=20， ·=8或-1（舍).=8 (2)令=2，得a0+a1+…+an=1 令=1，得0=(-1)8=1，原式=1-1=0 16.【答案】（山=42+24,4.02万台②）(（得，哥引 【详解】(1)因为元=×1+2+3+4+5)=3， 5 =3x8+10+13+20+24）=15,∑x2=1+4+9+16+25=55, 所以 62-0G-列2-万2675315g-42 22 55-5x910 所以a=-br=15-4.2×3=2.4,故经验回归方程为)=4.2x+2.4, 11月对应的x值为9，当=9时，=4.2×9+2.4=40.2， 故可估计11月该款迎宾机器人的月销量为4.02万台； (2)法一：设甲、乙两学校购买迎宾机器人的个数之和为X,则X 的所有可能取值为0,1,2，P(X=0)=(1-p)(2-3p)=3p2-5p+2, P(X=1)=(1-p)3p-1)+p(2-3p)=6p2+6p-1, P(X=2)=p(3p-1)=3p2-p,所以 E(X)=0×(3p2-5p+2)+1×(-6p2+6p-1+2×(3p2-p)=4p-1, 题有4p-k200s0,且p号}p故P的 取值范阁为3引 法二：设甲学校购买迎宾机器人的个数为X,乙学校购买迎宾机器人 的个数为Y,则P(X=0)=1-p,P(X=)=p,E(X)=p: P(Y=0)=2-3p,P(Y=1)=3p-1, E(Y)=3p-1. E(X+)-22+y,加，22，+22m =立2，+n,=立n+2yp,=EXHE) 所以E(X+Y)=4p-1.依题意有(4p-1)×2000≤3000，且 p号得p故P的取值相为副 2 5 11 17.(1)y=ex-3e(2)≤93 【详解】(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=e(3x-2) 所以f(1)=-2e,f'(1)=e,所以切线方程为y+2e=e(x-1), 即y=ex-3e. (2)法一：令h(x)=f(x)-g(x)=e(3x-5)-a(c-3),则 第2页共3页 h'(x)=e(3x-2)-a,h"(x)=e*(3x+1).所以h'(x)在[3，+o] 上单调递增，h'(x)n=h'(3)=7e3-a. ①当a≤7e3时，h'(x)≥0，所以h(x)在[3，+o∞]上单调递增， 即h(x)mm=h(3)=4e3>0恒成立，所以此情况满足题意； ②当a>7e3时，h'(x)nm=h'(3)<0, h'(na)=ea(3lna-2)-a=a(3lna-3)>7e33×3ln7-3)>0 且h'(x)在[3，+oo]上单调递增，所以x∈(3，lna)使得h'(xo)=0 即h'(x)=e(3x-2)-a=0，有e(3x-2)=a. 所以h(x)在[3，]上单调递减，在[x,+∞]上单调递增， h(x)mm=h(xo)=e(3x-5)-e(3x,-2)x,-3) =一 (36-140+11)≥0，解得1≤0≤号 所以=(30-2)E(73,9 综上所述，a的取值范围为≤9号 法二：①当x=3时，4e3>0,对任意实数a恒成立： ②当x>3时，asC(Bx,5)不妨令)=C3x,5),则 x-3 x-3 h'(x)=e(3x-2x-3)-e3r-5).e(3r2-14r+1m） (x-3)月 (x-3)月 -e(3x-11(x-l) (x-3)月 令（到=0，解得x号或x=1所以(）在3 上单调递减， 11 在 3,0 上单调递增所以a≤h(x)nm=h 3 综上， 11 的取值范围为≤93. 5 2 18.(1)见解析(2)①二(i 5 【详解】(1)由题意X可能取值为0,1,2， P(X=0)= P(X=1)= cic_3 5 P(X=2)= C3C-1 C%5 X 0 1 2 1-5 3-5 1 5 1 3 期塑E(X)=0×亏+1×亏+2×亏1， 5 (2)(i)设A=“甲箱中取出2个球都为白球”；B=“甲箱中取出2 个球为一白一红”；C=“甲箱中取出2个球都为红球”；D=“乙箱中 取出的1个球为白球” 由全概率公式： P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD) =P(A)P(DA)+P(B)P(D B)+P(C)P(D C) 1、6,35,145 5959599 (i)设E=“从甲箱中取出2个同色球”，所以E=AUC 由贝叶斯公式：P(ED)=P(AUCD)=P(AD)+P(CD) _P(AD)+P(CD)_P(A)P(DIA)+P(C)P(DIC) P(D) P(D) 6.4 =4545= 2 5 9 19.【答案】(1)a≤1(2)①(1，+∞)：②证明见解析 【详解】(1)因为函数f(x)单调递增， 所以了心)=nx+士a≥0对任意x∈(0，o恒成立. 2x 设s(x)=)nr+x+1 -a20, 2x 因为)分京是 所以当x∈(0,1)时，s'(x)<0,f'(x)在(0,1)上单调递减： 当x∈(1，+oo)时，s'(x)>0,f'(x)在(1，+oo）上单调递增. 于是f'(x)m=f'()=1-a之0解得a≤1. (2)由(1)可得当a≤1时，f(x)单调递增，不符合题意； 当a>1时，f'(1)<0: x-e 不妨令p(x)=1+e2-4x,p'(x)=2e2r-4=0台x=ln2, 所以o(n=o}n2-3-21h2>0,所以fe）>0: 当x=e2a时，f(e2）= 又因为f'(x)在(0，)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以3me(e2a,1),ne(1,e2a）,满足f'(m)=f'(n)=0.即f(x) 第3页共3页 在(0，m)上单调递增，在(m,n)上单调递减，在(n,+oo)上单调递增 又因为f(1)=0,所以 f(m)>f(1)=0>f(n). -al-20. e）0ge-小-2a0 故函数f(x)有3个零点且x∈(e2,m),x2=l,∈(n,e2a), 所以实数a的取值范围为a>1. 当a1时，ea6-, 设)-=inx-2ax-,又因为x+>0,则u(x)与f(x)的零 x+1 2 点相同，即函数u(x)有3个零点且 x∈(e2,m),x2=1,x3∈(n,e2a）,而 9-h-2a-4, x+1 又为=s)=0.故-砖 因为a≥1，故(4a-3)x+5=车+40-35 2>x3+>2=2x2, X3 X3 故(4a-3)x+x3>2x2成立.青岛二中2025-2026学年第二学期期中考试 高二试题（数学） 命题人：程志高磊刘硕宋子晨 审核人：程志 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知关于x,y的-组数据中，x=4,y=10,若y与x的回归直线方程为y=2x+a,则4 A.1 B.2 C.3 D.4 2.在(1+x)°+(1+x)+(1+x°+(1+x)°的展开式中，含x的系数是 A.35 B.34 C.30 D.15 3.函数f(x)=x+8-2nr的单调递减区间是 8 A.（-00,2) B.(0,2) C.（-0,4) D.(0,4) 4.青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个 1.0 留文艺类 08 科技类 年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况， 0.6 04 并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如右图所示，经计算得 02 0.0 到x2=16 高 高二 右表是x独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值， 0.05 0.01 0.005 0.0( 下列光法正确的是 3.841 6.635 7.879 10.{ A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C.依据=0.001的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错 的概率不大于0.001 D.没有99%的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联 高 5,甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与且每次射击命中与否互不影响.两人约定 如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击约定甲先射击， 则前4次中甲恰好射击3次的概率为 1 A. B. c. 2 27 D. 9 10 6若从 1 的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为5，则E()= 2灰 6 9 c. 12 D. 6 1 11 55 7.我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的安康数” 共有 A.15个 B、27个 C.28个 D.36个 8.已知正实数a,b满足aea-2=e2025和b(mb-2）=e2028,则 A.e202s<ah<c209B.e2027abe202sC.e2026<ab<e202D.e2025<ab<e2026 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求 9.已知X~B 且Y=2X+1,则 &)- C.E(Y)-1=2D(Y) D.当P(X=k)取最大值时，k=1或2 10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球 传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为Pn，下列说法中正确的是 3 A.P3= B.第5次传球后球在乙手中有11种传法 8 C.数列 为等比数列 D.PB026< 3 顶共2页 11.已知随机变量Y~N(0,4),记函数f(x)=P(x-2≤Y≤x),g(x)=P(Y2x),则下列谈 法正确的是 (注：若X~N(4,o2),则P(4-o≤X≤4+o)≈0.68，P(μ-2o≤X≤μ+2o)≈0.95) A.f(2)≈0.34 B.g(x)在R上是增函数 C.(x)的图象关于直线x〧1对称 D.g(x)的图象关于点 021 对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12对于率件AB,P()=P(4)=言P(U)-号则P(4- 13.某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌（正面为金色边线， 探索 反面为银色边线)，如右图所示现给团牌的正反两面的6个区域涂色，有3 求真 种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同 笃行 色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为 14.已知数列{a,}满足an1=e.1(n∈N*),a2+a=9x,其中，为函数f(x)=e-4x2在 (1,+o)上的极值点，则a,+7a2-a3= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知A3=6C (I)求n的值； 2)若(2x-3)”=a。+a,(x-1)+42(x-1)2++an(x-1,求a+a2++a. 16.（15分)某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了3月至7月 该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： (I)求出y关于x的经验回归方程)=x+a,并估计11月该款迎宾机器人的销量： (2)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴.已知甲、乙两所学校各至 多购买一个迎突机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为p3-化<)<到)， 若两所学校享受 高一数学 9补贴总金额的期望不超过3000元，求P的取值范围： 信a,6盈沁列 月份 3月 4月 5月 6月 7月 月份代码x 2 3 5 2对 月销夕（单 10 13 20 24 位：千台) =y-6x:2y=267. 1(15分)己知函数f(x)=e*(3x-5),g(x)=a(x-3) )求∫(x)在x=1处的切线方程： p)若∫(x)≥g(x)对x∈[3，+o)恒成立，求实数a的取值范围. 18.(17分)已知甲箱子中有3个白球和3个红球乙箱子中有4个白球和3个红球. 两箱中的球除颜色外，没有其他区别) )若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数X的概率分布列和期望； 2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球. )求从乙箱中取出的球是白球的概率； 若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率. I9.(17分)己知函数f(x)=(x+1)血Vx-ax+a )若函数∫(x)单调递增，求实数a的取值范围： 2)若函数f(x)有3个零点为，x2,(:<x2<为)； )求实数a的取值范围；()求证：(4a-3)x,+x3>2x2. 卡共2页