江苏省南京市鼓楼区宁海中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 本试卷以八年级下册核心知识为载体，融合航天热点、文化诗句等真实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|必然事件、普查、因式分解等|结合“367人生日”等生活实例考查数学眼光| |填空题|10/20|平行四边形性质、菱形周长、折叠问题等|以“DeepSeek”频率计算体现数学语言表达| |解答题|10/68|统计分析、平行四边形证明、配方法应用等|航天知识测试题培养数据意识，翻折探究题发展推理能力| |附加题|2/20|矩形综合、几何变换|旋转综合题融合全等与勾股定理，提升创新思维|

江苏省南京市鼓楼区宁海中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）下列事件中属于必然事件的是（　　） A．检查生产流水线上的一个产品，是合格品 B．三条线段组成一个三角形 C．a是实数，则|a|＞0 D．367个人中至少有2个人生日相同 2．（2分）下列调查中，适合采用普查的是（　　） A．调查某市垃圾分类的情况 B．了解某班学生的跳远成绩 C．调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中学生的脊柱侧弯情况 3．（2分）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是（　　） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图 4．（2分）下列各式能用公式法因式分解的是（　　） A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2 5．（2分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，若AE＝2ED＝3，则▱ABCD的周长是（　　） A．7.5 B．9 C．15 D．30 6．（2分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）为了了解2026年春学期南京市八年级学生的视力水平，随机抽取了1000名学生进行检测．此次抽样调查的样本容量为　 　 ． 8．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是　 　 ． 9．（2分）“深度求索”的英语单词“DeepSeek”中，字母“e”出现的频率是　 　 ． 10．（2分）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 　 　 （填“必然”或“随机”）事件． 11．（2分）因式分解：a2﹣2a＝　 　 ． 12．（2分）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 　 　 ． 13．（2分）如图，▱ABCD的对角线交点在原点，若A（﹣1，2），则点C的坐标是　 　 ． 14．（2分）若x﹣2y＝﹣3，则代数式4y2﹣12y+9﹣x2的值为　 　 ． 15．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为　 　 ． 16．（2分）如图，将边长为2的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）把下列各式因式分解或简便计算： 因式分解： （1）2a2﹣12a+18； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； 简便计算： （3）50.82﹣49.22； （4）99×99+199． 18．（4分）神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． 【收集数据】 （1）下列抽样调查方式中最合适的是　 　 ．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． 【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图； （2）请补全频数分布直方图（写出计算过程）； 【应用数据】 （3）若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 19．（4分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　 　 （精确到0.1）； （2）盒子里约有白球　 　 个； （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少？ 20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，OB＝OD，EF交BD于点O．求证：AE＝CF． 21．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，，点E，F在BD上，BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若BD＝16，EF＝6，求四边形AECF的周长． 22．（4分）一块边长为12.8m的长方形空地，在四角均留出一个边长为1.4m的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小． 23．（6分）已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规按下列要求作图. （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 24．（6分）已知m＞0，且m为正奇数，求证m2﹣1能被8整除． 25．（6分）阅读材料并解决问题． ①分解因式：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； ②求代数式2x2+4x﹣6的最小值：由2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　 ； （2）当a＝　 　 时，多项式3a2﹣12a+19有最　 　 值（填大或小），为　 　 ． （3）请问：当a，b为何值时，多项式a2+3b2+4a﹣6b+27有最小值？并求出这个最小值． 26．（12分）【探究与应用】： 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连接DE，则AC∥ED． （1）如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上这个结论； 小明同学提出如下解题思路，请补全： 【思路分析】： 由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE，BC＝EC；由平行四边形的性质得 　 　 ，AD∥BC．由上面的分析可证得EC＝AD，　 　 ，这样就可以得到OA＝OC，则 　 　 ，再由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证出∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，即可得出结论； （2）如图2，AD与CE相交于点O，若∠B＝90°，，BC＝2，则△AOC的面积为 　 　 ； （3）如果∠B＝30°，AB＝3． ①当△AED是直角三角形时，请画图并直接写出BC的长． ②设BC的长度为x，当AC＜ED时，直接写出x的取值范围． 四、【附加题】（共20分） 27．（4分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论： ①AE＝BC； ②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2； ③EF＝AE+DH； ④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 28．（16分）【基础回顾】（1）如图1，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′，若连接EE′，则△AEE′的形状为 　 　 ； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设EE′与AB相交于点P，在AD上取点Q，使DQ＝BP，连接QE，猜想QE与E′P的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在BC上，则AP，BP，CP之间存在的数量关系为 　 　 ． 江苏省南京市鼓楼区宁海中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）下列事件中属于必然事件的是（　　） A．检查生产流水线上的一个产品，是合格品 B．三条线段组成一个三角形 C．a是实数，则|a|＞0 D．367个人中至少有2个人生日相同 【分析】根据随机事件的定义，绝对值的性质及非负数的性质逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、检查生产流水线上的产品可能不合格，不一定是合格品，因此不是必然事件，不符合题意； B、三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不一定能组成三角形，因此不是必然事件，不符合题意； C、a为实数时，当a＝0，有|a|＝0，不满足|a|＞0，因此不是必然事件，不符合题意； D、一年最多有366天，367人中若前366人生日均不重复，第367人的生日一定与其中1人重复，因此367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是随机事件，绝对值的性质及非负数的性质，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 2．（2分）下列调查中，适合采用普查的是（　　） A．调查某市垃圾分类的情况 B．了解某班学生的跳远成绩 C．调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中学生的脊柱侧弯情况 【分析】根据普查的适用条件：调查范围小、易操作、不会破坏调查对象，对各选项逐一判断即可． 【解答】解：根据普查适合调查范围小，数量少，易实施，且调查不会破坏调查对象的情况，逐项分析判断如下： A选项、调查某市垃圾分类情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合题意， B选项、了解某班学生的跳远成绩，调查范围小，人数少，适合普查，符合题意， C选项、调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，测试会破坏车辆，适合抽样调查，不符合题意， D选项、了解全国中学生的脊柱侧弯情况，调查范围大人数多，适合抽样调查，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查普查与抽样调查的选择，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2分）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是（　　） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图 【分析】根据扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小即可得到答案． 【解答】解：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图． 故选：C． 【点评】此题考查的是扇形统计图的特点，掌握其特点是解决此题关键． 4．（2分）下列各式能用公式法因式分解的是（　　） A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2 【分析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法，据此进行判断即可． 【解答】解：﹣x2+y2可利用平方差公式因式分解， ﹣x2﹣y2，4x2+4xy﹣y2，x2+xy+y2不能用公式法因式分解， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 5．（2分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，若AE＝2ED＝3，则▱ABCD的周长是（　　） A．7.5 B．9 C．15 D．30 【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，求出∠CBE＝∠AEB，推出∠ABE＝∠AEB，求出AE＝AB＝3，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∵BC＝AD＝AE+DE＝3+1.5＝4.5， ∴▱ABCD的周长是2×（3+4.5）＝15， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，能求出AB的长度是解此题的关键，注意：平行四边形的对边平行且相等． 6．（2分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD 【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF＝GHAB，EH＝FGCD，又由当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案． 【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点， ∴EF＝GHAB，EH＝FGCD， ∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形， ∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形． 故选：C． 【点评】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）为了了解2026年春学期南京市八年级学生的视力水平，随机抽取了1000名学生进行检测．此次抽样调查的样本容量为　1000　 ． 【分析】样本容量则是指样本中个体的数目，据此可得答案． 【解答】解：本次抽样调查的样本容量为1000． 故答案为：1000． 【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握相应的定义是关键． 8．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是　100°　 ． 【分析】由平行四边形的性质得∠A＝∠C，而∠A+∠C＝160°，则∠C+∠C＝160°，求得∠C＝80°，所以∠B＝180°﹣∠C＝100°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝160°， ∴∠C+∠C＝160°， ∴∠C＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠C＝100°， 故答案为：100°． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠A＝∠C，进而求出∠C的度数是解题的关键． 9．（2分）“深度求索”的英语单词“DeepSeek”中，字母“e”出现的频率是　　 ． 【分析】用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【解答】解：由题意得：字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了求频率，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（2分）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 　随机　 （填“必然”或“随机”）事件． 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解答】解：“清明时节雨纷纷”从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 11．（2分）因式分解：a2﹣2a＝a（a﹣2）　 ． 【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可． 【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）． 故答案为：a（a﹣2）． 【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可． 12．（2分）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 　20　 ． 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【解答】解：如图所示， 根据题意得AO8＝4，BO6＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB5， ∴此菱形的周长为：5×4＝20． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 13．（2分）如图，▱ABCD的对角线交点在原点，若A（﹣1，2），则点C的坐标是　（1，﹣2）　 ． 【分析】根据平行四边形的性质易得点A、C关于点O对称，即可得解． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，OA＝OC， ∴点A、C关于点O对称， ∵A（﹣1，2）， ∴C（1，﹣2）； 故答案为：（1，﹣2）． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（2分）若x﹣2y＝﹣3，则代数式4y2﹣12y+9﹣x2的值为　0　 ． 【分析】将原式进行因式分解可得，原式＝（2y﹣3）2﹣x2＝（2y﹣3﹣x）（2y﹣3+x），因为x﹣2y＝﹣3，所以2y﹣3﹣x＝0，所以原式＝0． 【解答】解：因为x﹣2y＝﹣3， 所以2y﹣3﹣x＝0， 4y2﹣12y+9﹣x2 ＝（2y﹣3）2﹣x2 ＝（2y﹣3﹣x）（2y﹣3+x） ＝0×（2y﹣3+x） ＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将要求出的式子进行因式分解． 15．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为　（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）　 ． 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点C′的坐标． 【解答】解：因为正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3）， 所以画图如下： 当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）， ①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，如图， ∵AB′＝AB＝5，OA＝3， ∴OB′4， ∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°， ∴∠OAB′＝∠C′B′E， 在△AB′O和△EB′C′中， ， ∴△AB′O≌△EB′C′（AAS）， ∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4， ∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7， ∴点C的对应点C′的坐标为（7，4）； ②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，如图， B′C′＝AB＝BC′＝5， ∴点C的对应点C′的坐标为（5，﹣2）； ③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： △AB′O≌△EB′C′（AAS）， ∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4， ∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1， ∴点C的对应点C′的坐标为（﹣1，﹣4）； 综上所述：点C的对应点C′的坐标为（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）． 故答案为：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）． 【点评】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．是中考填空压轴题． 16．（2分）如图，将边长为2的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 　　 ． 【分析】取CD的中点N，连接PN，PB，BN．首先证明PQ＝PN，PB＝PG，推出PQ+PG＝PN+PB≥BN，求出BN即可解决问题． 【解答】解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN， 由翻折的性质以及对称性可知；PQ＝PN，PG＝PC，GH＝CD＝2， ∵点Q是GH的中点， ∴， 在Rt△BCN中，， ∵∠CBG＝90°，PC＝PG， ∴PB＝PG＝PC， ∴， ∴PQ+PG的最小值为， ∴△GPQ的周长的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，学会添加常用辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）把下列各式因式分解或简便计算： 因式分解： （1）2a2﹣12a+18； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； 简便计算： （3）50.82﹣49.22； （4）99×99+199． 【分析】（1）将原式提取公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式变形后提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可； （4）将原式变形后利用完全平方公式因式分解并计算即可． 【解答】解：（1）2a2﹣12a+18 ＝2（a2﹣6a+9） ＝2（a﹣3）2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） ＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）； （3）50.82﹣49.22 ＝（50.8+49.2）×（50.8﹣49.2） ＝100×1.6 ＝160； （4）99×99+199 ＝992+2×99+1 ＝（99+1）2 ＝1002 ＝10000． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 18．（4分）神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． 【收集数据】 （1）下列抽样调查方式中最合适的是　③　 ．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． 【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图； （2）请补全频数分布直方图（写出计算过程）； 【应用数据】 （3）若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 【分析】（1）根据抽样调查要具有广泛性、代表性判断即可； （2）结合频数分布直方图，扇形统计图，可求出样本容量，再计算即可； （3）根据用样本估计总体，先计算出样本中所占比，再乘总人数即可求解． 【解答】解：（1）根据抽样调查要具有广泛性、代表性，故抽样调查方式中最合适的是③； 故答案为：③； （2）9÷25%＝36（名）， 36﹣6﹣9﹣8＝13（名）； （3）航天知识掌握情况较好的人数是（名）， 答：航天知识掌握情况较好的人数是490名． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图，抽样调查的可靠性，用样本估计总体，扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．（4分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　0.6　 （精确到0.1）； （2）盒子里约有白球　24　 个； （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少？ 【分析】（1）根据表格的数据即可得解； （2）用总数乘以概率即可得解； （3）根据题意列出方程，解方程即可得解． 【解答】解：（1）由表格可得：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为0.6， 故答案为：0.6； （2）∵盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个， ∴估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个）， 故答案为：24； （3）根据题意知，24+2＝50%（40+x）， 解得x＝12， 答：推测x可能是12． 【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，OB＝OD，EF交BD于点O．求证：AE＝CF． 【分析】根据平行四边形的性质，易证△DEO≌△BFO（AAS），得出DE＝BF，即可得证． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEO＝∠OFB，∠EDO＝∠OBF． 在△DEO和△BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO（AAS）， ∴DE＝BF， ∴AD﹣DE＝BC﹣BF， ∴AE＝CF． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 21．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，，点E，F在BD上，BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若BD＝16，EF＝6，求四边形AECF的周长． 【分析】（1）连接AC，交BD于点O，由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证明四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝8，AC⊥BD，进而由勾股定理得OA＝4，再由菱形的性质得AE＝CE＝AF＝CF，OE＝OF＝3，然后由勾股定理求出AE＝5，即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16， ∴OA＝OC，OB＝OD＝8，AC⊥BD， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：OA4， 由（1）可知，四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝AF＝CF，OE＝OFEF＝3， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE5， ∴菱形AECF的周长＝4AE＝4×5＝20． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22．（4分）一块边长为12.8m的长方形空地，在四角均留出一个边长为1.4m的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小． 【分析】由正方形面积公式列式计算即可． 【解答】解：根据题意得： 12.82﹣4×1.42 ＝163.84﹣4×1.96 ＝163.86﹣7.84 ＝156（m2）， 答：草坪的面积有156m2． 【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及正方形面积，解题的关键是能准确进行计算． 23．（6分）已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规按下列要求作图. （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 【分析】（1）如图①，在直线l上任意取点B、C，连接AB，再分别以点A、B为圆心，以BC、AB为分别画弧，两弧相交于点D，由于AD＝BC，CD＝AB，根据平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD为所平行四边形； （2）如图②，先在直线l上取点O，再以O点为圆心，OA为比较作圆交直线l于点B、D，以D点为圆心，AB为半径画弧交⊙O于C点，则四边形ABCD满足条件． 【解答】解：（1）如图①，在直线l上任意取点B、C，连接AB，再分别以点A、B为圆心，以BC、AB为分别画弧，两弧相交于点D，连接AC、CD， 则四边形ABCD为所作； （2）如图②，先在直线l上取点O，再以O点为圆心，OA为半径作圆交直线l于点B、D，然后以D点为圆心，AB为半径画弧交⊙O于C点， 则四边形ABCD为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形点的判定与性质、矩形的判定． 24．（6分）已知m＞0，且m为正奇数，求证m2﹣1能被8整除． 【分析】设正奇数m＝2k+1（n为非负整数）；代入m2﹣1得（2k+1）2﹣1＝4k（k+1）；k和k+1是连续整数，必有一个为偶数，故k（k+1）能被2整除；因此4k（k+1）能被4×2＝8整除，即m2﹣1能被8整除． 【解答】解：设m＝2k+1，（k≥0且k为整数）， m2﹣1 ＝（m+1）（m﹣1） ＝（2k+1+1）（2k+1﹣1） ＝（2k+2）×2k ＝2（k+1）×2k ＝4k（k+1）， 因为k≥0且k为整数， 所以k、k+1是连续两个正整数，定为一奇一偶， 所以k（k+1）能被2整除， 所以4k（k+1）能被8整除． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用平方差公式计算即可． 25．（6分）阅读材料并解决问题． ①分解因式：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； ②求代数式2x2+4x﹣6的最小值：由2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　（m+1）（m﹣5）　 ； （2）当a＝　2　 时，多项式3a2﹣12a+19有最　小　 值（填大或小），为　7　 ． （3）请问：当a，b为何值时，多项式a2+3b2+4a﹣6b+27有最小值？并求出这个最小值． 【分析】（1）先利用配方法进行整理，再利用平方差公式进行因式分解； （2）利用配方法进行整理，再求出最值即可； （3）利用配方法进行整理，再求出最值即可． 【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣32＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）， 故答案为：（m+1）（m﹣5）； （2）3a2﹣12a+19＝3（a﹣2）2+7， ∴当a＝2时，多项式3a2﹣12a+19有最小值，为7， 故答案为：2，小，7； （3）原式＝（a2+4a+4）+（3b2﹣6b+3）+20 ＝（a+2）2+3（b﹣1）2+20， ∴当a＝﹣2，b＝1时，多项式a2+3b2+4a﹣6b+27有最小值，最小值为20． 【点评】本题主要考查了利用配方法进行因式分解，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． 26．（12分）【探究与应用】： 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连接DE，则AC∥ED． （1）如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上这个结论； 小明同学提出如下解题思路，请补全： 【思路分析】： 由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE，BC＝EC；由平行四边形的性质得 AD＝BC ，AD∥BC．由上面的分析可证得EC＝AD，　∠CAD＝∠DAC ，这样就可以得到OA＝OC，则 OD＝OE ，再由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证出∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，即可得出结论； （2）如图2，AD与CE相交于点O，若∠B＝90°，，BC＝2，则△AOC的面积为 　　 ； （3）如果∠B＝30°，AB＝3． ①当△AED是直角三角形时，请画图并直接写出BC的长． ②设BC的长度为x，当AC＜ED时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，补全分析即可． （2）易得四边形ABCD为矩形，设OA＝OC＝x，在Rt△OCD中，利用勾股定理，求出x的值，根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）①分∠EAD＝90°（两种情况），∠AED＝90°，∠ADE＝90°，四种情况讨论求解即可；②分BC＞AC，BC＜AC两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵折叠， ∴∠ACB＝∠ACE，BC＝EC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴EC＝AD，∠ACB＝∠CAD， ∴∠ACE＝∠CAD， ∴OA＝OC， ∴OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠AOC＝∠DOE， ∴∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE， ∴AC∥DE； 故答案为：AD＝BC，∠CAD＝∠DAC，OD＝OE； （2）∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠CDO＝90°，，AD＝BC＝2， 由（1）得：OA＝OC， 设OA＝OC＝x，则OD＝2﹣x， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：， 解得：， ∴，； （3）①如图，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于C， ∵AD＝BC，BC＝EC，AE＝AB＝3， ∴AD＝EC， ∵AD∥BC，∠EAD＝90°， ∴∠EGC＝∠AGB＝90°， ∵∠B＝30°，AB＝3， ∴，， ∴G是BC的中点， ∴； 如图，当∠AED＝90°时， ∵AC∥DE， ∴∠DAC＝∠ADE＝90°， 由（1）知：∠OAC＝∠OED， ∴∠OAE＝∠OEB， ∴OA＝OE， 由（1）知：AD＝CE，OA＝OC，OE＝OD， ∴OA＝OC＝OE＝OD， ∴四边形ACDE为矩形， ∴AE∥DC， ∵AB∥DC， ∴B，A，E在同一直线上， ∴∠BAC＝∠EAC＝90°， ∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝3， ∴， ∴AC，BC＝2AC＝2， 当∠EAD＝90°时，如图： 在平行四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝30°， ∴∠AOD＝60°， 由（1）知∠ODE＝∠OED， ∴∠ODE＝∠OED＝30°， ∵AE＝AB＝3， 设AD＝x，则：DE＝2x， ∴， ∴； ∴； 当∠ADE＝90°时，如图： ∵AC∥ED， ∴∠DAC＝∠ADE＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝90°， ∵AB＝3，∠B＝30°， ∴， ∴； 综上所述，当△AED是直角三角形时，BC的长为或或或； ②当BC＜AB时，由①可知，当时，AC＝DE， 由图可知：时，AC＜DE； 当BC＞AB时，由①可知：当BC的长为，AC＝DE， 由图可知：当时，AC＜DE； 综上：当或时，AC＜DE． 【点评】本题考查平行四边形中的折叠问题．同时考查了矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 四、【附加题】（共20分） 27．（4分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论： ①AE＝BC； ②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2； ③EF＝AE+DH； ④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【分析】①根据矩形的性质证明△ADE是等腰直角三角形，进而可以判断； ②首先证明△GCH∽△BCE，证明△AEF≌△BCE（AAS），可得EF＝EC，可得四边形CEFG是正方形，所以CG＝CE，进而可以判断； ③根据勾股定理可得DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，根据EF＝2，AE＝4，即可判断； ④设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a，可得AB＝AE+BE＝3a，所以S四边形ABCD＝2a•3a＝6a2，根据勾股定理可得EFa，所以得S四边形EFGC＝EF2＝5a2，进而可以判断． 【解答】解：①在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AD＝AE， ∴AE＝BC；故①正确； ②∵∠GCH+∠HCE＝90°，∠ECB+∠HCE＝90°， ∴∠GCH＝∠ECB， ∵∠G＝∠B＝90°， ∴△GCH∽△BCE， ∴， ∵∠AEF+∠CEB＝90°，∠BCE+∠CEB＝90°， ∴∠AEF＝∠BCE， 在△AEF和△BCE中， ， ∴△AEF≌△BCE（AAS）， ∴EF＝EC， ∵四边形CEFG是矩形， ∴四边形CEFG是正方形， ∴CG＝CE， ∵， ∴CE2＝CH•CB＝5×4＝20， ∴CE＝2；故②正确； ③若BC＝AE＝4，CE＝2， ∴BE2， ∴CD＝AB＝AE+BE＝4+2＝6， ∴DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1， ∵EF＝2，AE＝4， ∴EF≠AE+DH；故③错误； ④当F是AD的中点时， 设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a， ∵BE＝AF＝a， ∴AB＝AE+BE＝3a， ∴S四边形ABCD＝2a•3a＝6a2， ∵EFa， ∴S四边形EFGC＝EF2＝5a2， ∴S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6a2：5a2＝6：5．故④正确． 综上所述：①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△GCH∽△BCE． 28．（16分）【基础回顾】（1）如图1，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′，若连接EE′，则△AEE′的形状为 　等腰直角三角形　 ； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设EE′与AB相交于点P，在AD上取点Q，使DQ＝BP，连接QE，猜想QE与E′P的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在BC上，则AP，BP，CP之间存在的数量关系为 PC2+BP2＝2AP2 ． 【分析】【基础回顾】（1）由正方形的性质得出AD＝AB，∠DAB＝90°，∠D＝90°，由旋转的性质得出∠EAE′＝∠DAB＝90°，E′A＝EA，则可得出结论； 【类比探究】（2）【联想拓展】证明△DQE≌△BE'P（SAS），由全等三角形的性质可得出结论； （3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，由旋转的性质得出∠ABP＝∠ACD＝45°，BP＝CD，证出∠BCD＝90°，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：【基础回顾】（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠D＝90°， ∵△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′， ∴∠EAE′＝∠DAB＝90°，E′A＝EA， ∴△AEE′为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； 【类比探究】（2）QE＝E'P． 证明：∵将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′， ∴∠D＝∠ABE'，DE＝BE'， ∵DQ＝BP， ∴△DQE≌△BE'P（SAS）， ∴QE＝EP'． 【联想拓展】（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知∠ABP＝∠ACD＝45°，BP＝CD， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴PC2+CD2＝PD2， ∴PC2+CD2＝PD2， ∵AP2+AD2＝PD2＝2AP2， ∴PC2+BP2＝2AP2． 故答案为：PC2+BP2＝2AP2． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $