江苏省南京市鼓楼区求真中学2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试卷 -

2024-2025学年江苏省南京市鼓楼区求真中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列国产新能源汽车图标中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.在式子，，，，中，分式有(    ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3.在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球它们除了颜色外均相同，若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回．通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么可以推算a大约是(    ) A. 11 B. 14 C. 17 D. 20 4.下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.如果，那么的值为(    ) A. B. C. D. 1 6.如图，在菱形ABCD中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______. 8.已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组.若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为，则第四组的频数为______. 9.估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆.将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为______. 10.对于命题“若四边形ABCD中，，，那么四边形ABCD不是平行四边形”.用反证法证明这个结论时，第一步应假设______. 11.如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是______. 12.时，分式的值为______. 13.如图，将▱ABCD的两边AD与CD分别沿DE，DF翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为______. 14.把a kg的盐溶在b kg的水中，那么在m kg这种盐水中的含盐量为______ 15.观察分析下列方程：①的解是或；②的解是或；③的解是或请利用它们所蕴含的规律．求关于x的方程为正整数的解，你的答案是：______. 16.如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点不与点C、D重合，以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、下列结论：①≌；②AF平分；③若，，则；④无论的比值为何值，都成立.其中正确的有______. 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 已知关于x的分式方程 当时，求方程的解. 若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围. 18.本小题6分 先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值. 19.本小题6分 证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，DE是的中位线，AF是的中线，AF、DE交于点 求证：______. 证明：______. 20.本小题6分 某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据： 计算并完成表格： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率 ______ 请估计，当n很大时，频率将会接近多少？精确到 转动转盘一次，估计指针落在“铅笔”的概率精确到 21.本小题6分 今年的4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校为了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查.根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次类别，并绘制如下两幅尚不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： 这次调查一共抽取了______名学生，请将条形统计图补充完整； 扇形统计图中，“较强”层次类别所占圆心角的大小为______； 若该校有2000名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，请根据以上调查结果估算，全校需要强化安全教育的学生共有多少名？ 22.本小题6分 一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度. 23.本小题8分 已知：， 当时，的值为______； 当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； 设，求当x为非负整数时，y的整数值. 24.本小题8分 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形ABCD中，，BD平分，则四边形ABCD是近似菱形. 请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上. 如图3，在四边形ABCD中，，，，求证：四边形ABCD是“近似菱形”. 在的条件下，若，，求AB的长. 25.本小题8分 如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于B，的延长线于 填空：的度数______； 求证：； 如图2，在中，，高，，求HR的长度. 26.本小题8分 如图1，O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O作，，垂足分OH别为H，M，若，我们称是平行四边形ABCD的心距比. 如图2，四边形 ABCD是矩形，，，则______； 如图3，四边形ABCD是平行四边形，当______，平行四边形ABCD是菱形； 如图4，在中，，点E、F、G分别在AB、AC、BC边上，若存在一个四边形BEFG是平行四边形，且，请通过尺规作图作出一个点不写作法，但保留作图痕迹，如若有必要，可简述作图思路 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选： 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2.【答案】B  【解析】解：，，的分母中含有字母，是分式，共有3个． 故选： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 3.【答案】C  【解析】解：由题意可得，， 解得，， 经检验是原方程的解． 故选： 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 4.【答案】C  【解析】解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意； B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题； C.不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； D.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题； 故选： 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， ， 故选： 先把已知条件中的等式中的分式进行通分，把用ab表示出来，再利用完全平方公式把所求分式的分子和分母展开，写成含有的形式，再把换成ab，进行约分即可． 本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 6.【答案】D  【解析】解：如图在BC上取一点E，使得，作，作点C关于EF的对称点，交EF于G，连接交EF于P，连接PC，此时，的值最小． 的最小值， 四边形ABCD是菱形，， ， ，， ，， ， 故选： 如图在BC上取一点E，使得，作，作点C关于EF的对称点，交EF于G，连接交EF于P，连接PC，此时此时，的值最小． 本题考查轴对称-最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 7.【答案】  【解析】解：代数式在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为： 根据分式有意义即分母不为0计算即可． 本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 8.【答案】15  【解析】解：第五组的频数为：， 所以第四组的频数为：， 故答案为： 先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数． 本题考查了频数与频率，总体、个体、样本、样本容量，掌握频率=频数总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键． 9.【答案】②①③  【解析】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②水中捞月，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案． 本题主要考查可能性的大小，随机事件，解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件． 10.【答案】四边形 ABCD是平行四边形  【解析】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形 ABCD是平行四边形， 故答案为：四边形 ABCD是平行四边形． 用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实条件、公理、定义、定理、法则、公式等相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立． 11.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形  【解析】解：根据尺规作图的画法可得，，， 四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出，，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据． 本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：，，四边行ABCD是平行四边形． 12.【答案】  【解析】解：当时，原式 故答案为： 利用代入法，代入所求的式子即可． 本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 13.【答案】  【解析】解：由翻转变换的性质可知，，，， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 和是等边三角形， ， ， 故答案为： 先证明和是等边三角形，可得，再由折叠性质求解即可． 本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 14.【答案】  【解析】解：在mkg这种盐水中的含盐量为：， 故答案为： 先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解． 本题主要考查列代数式，解答的关键是表示出盐在盐水中所占的比例． 15.【答案】或  【解析】解：：①的解是或；②的解是或；③的解是或， 变形为且， 解为和 故答案为：或 根据已知三个方程的解，归纳总结得到规律，将所求方程变形后，利用此规律即可得到方程的解． 此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键． 16.【答案】①③④  【解析】解：①取AC中点O，连接OH，如图： 是AF中点， ， 四边形ABC和ECGF均为正方形， ，， ， ， ， 又，， ≌， 故①正确； ②若AF平分，则， ， ， ， ， 为定值， 在直线CF上， 在CD上， ， 当时，A，D，F共线，此时不存在， 故②错误； ③由①知， ，， ， 故③正确； ④设， 则， ，， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 取AC中点O，连接OH，根据中位线定理得出，再根据正方形的性质得出，所以，从而得到，根据SSS判断两三角形全等即可；假设AF平分，可以推出，而根据F的轨迹可以得出当时，不存在，从而判断；根据①可以得到为直角三角形，根据勾股定理求解AF的长即可；设CG和BC的比值，用k表示出两个三角形的面积比从而得解． 本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质、正方形的性质和勾股定理，属于综合题型． 17.【答案】解：当时， ， ， ， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为：； ， ， ， ， 去分母得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且  【解析】将代入分式方程，解分式方程即可求解； 先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 18.【答案】，  【解析】解： ， 不大于3的正整数为1，2，3， ，， ，2， 当时，原式 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 19.【答案】，  连接DF、EF， 、F分别是AB、BC的中点， ， 同理可得：， 四边形ADFE是平行四边形， ，， 即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分  【解析】求证：，， 证明：连接DF、EF， 、F分别是AB、BC的中点， ， 同理可得：， 四边形ADFE是平行四边形， ，， 即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 利用文字说明转化为几何图形证明，结合平行四边形的判定与性质得出答案． 此题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质，正确应用三角形中位线定理是解题关键． 20.【答案】；补充表格见解答过程；   ；     【解析】 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率 故答案为：； 当n很大时，频率将会接近； 获得铅笔的概率约是 根据频率的算法，频率=频数总数，可得各个频率；填空即可； 根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； 根据概率的求法计算即可． 本题考查利用频率估计概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】200；补全条形统计图见解析；  ；    【解析】解：， 这次调查一共抽取了200名学生， 较强层次的人数为人， 补全条形统计图如下， 故答案为：200； 扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角为 故答案为：； 名， 估计全校需要强化安全教育的学生人数为500名． 用一般层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用总人数减其它层次人数，计算出较强层次的人数，即可补全条形统计图； 用乘以“较强”层次所占的百分比，即可得到扇形统计图中“较强”层次所占圆心角； 用2000乘以样本中“淡薄”和“一般”层次所占的百分比即可． 本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，掌握题意由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． 22.【答案】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为  【解析】设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度Wie细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用可列方程求解． 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23.【答案】；   ；   0或  【解析】当时，，， ， 故答案为：； 时，，理由如下： ，， ， ， ，， ， ； ，，， ， 当x为非负整数时，y的值是整数， 当时，，当时，， 答：当x为非负整数时，y的整数值为0或 代入计算即可； 利用作差法，计算的结果，根据结果的符号判定P与Q的大小； 把，代入，化简后，根据x为非负整数，求y的整数值即可． 本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算法则是正确解答的关键． 24.【答案】解：以BD为对角线的“近似菱形”ABCD， 或，以例作图，则点A在BD的垂直平分线上，设点A在BD上方第三个网格格点上，则点C在点B下方第一个网格对角线上，如图2所示，答案不唯一； 证明：， ， ， ，， ， ， 平分，， ， 四边形ABCD是“近似菱形”； 解：过点D作，交BC于E，连接AE，交BD于O，如图3所示： ， 四边形ABED是平行四边形， ， 平行四边形ABED是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 在中，由勾股定理得：  【解析】理解“近似菱形”的定义，按照定义作图即可，答案不唯一； 理解“近似菱形”的定义，按照定义找出条件证明即可； 过点D作，交BC于E，连接AE，交BD于O，证明四边形ABED是菱形，得出条件证明≌，最后根据勾股定理即可求出． 本题属于四边形综合题，主要考查了“近似菱形”定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构建菱形是解题的关键． 25.【答案】；   证明见解答过程；     【解析】过点A作于点K，如图1所示：   ，，， ， 四边形ABCD是矩形， ， 平分，EA平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， 即； 证明：由可知：，， ； 解：将沿PQ翻折得到，点H的对应点为M，将沿PR翻折得到，点H的对应点为N，设MQ，NR的延长线交于点T，如图2所示： 设，则， 在中，，高，， ， 由翻折的性质得：，，，，，，，， ，， ， ， 四边形PMTN是矩形， 又， 矩形PMTN是正方形， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 过点A作于点K，证明四边形ABCD是矩形得，根据角平分线性质得，，由此可依据“HL”判定和全等，则，继而得，同理证明和全等得，继而得，根据得，由此即可得出的度数； 由可知，，据此即可得出结论； 将沿PQ翻折得到，点H的对应点为M，将沿PR翻折得到，点H的对应点为N，设MQ，NR的延长线交于点T，设，则，根据翻折的性质证明四边形PMTN是正方形，则，，进而得，，在中，由勾股定理可求出，继而可得出HR的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键，利用翻折的性质构造正方形是解决问题的难点． 26.【答案】；   见解析过程；   见解析过程．  【解析】四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， 故答案为：； ，平行四边形ABCD是菱形． ， ， ， 又，， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 四边形ABCD是菱形； 故答案为：1； 如图4，以点C为圆心，CB为半径作弧，交AB于点D，作BC的垂直平分线交CD于H，连接BH，并延长交AC于点F，则点F为所求点． 由面积法可得，即可求解； 由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，可得，可得结论； 如图4，以点C为圆心，CB为半径作弧，交AB于点D，作BC的垂直平分线交CD于H，连接BH，并延长交AC于点F，则点F为所求点． 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定，基本作图等知识，理解新定义，并运用是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$