2025-2026学年苏科版第二学期八年级数学期末练习

2025--2026学年第二学期初二数学期末练习 例题：已知矩形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝8，点E为AD边上不与端点重合的一动点，将纸片△ABE沿BE翻折至长方形ABCD所在平面内得到△BEF． （1）若∠ABE＝25°，则∠DEF的度数为　 　 °； （2）如图①，△BEF的顶点F恰好落在DC边上，求AE的长； （3）如图②，连接CF，DF，若△CDF是以CF为腰的等腰三角形，求AE的长． 一．选择题（共8小题） 1．如图，依次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，添加的条件不正确的是（　　） A．∠FEH＝90° B．AC＝BD C．EG＝FH D．AC⊥BD 2．如图，菱形ABCD边长为2，∠B＝60°，点E为边BC中点，点F为边AB上一动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转60°，得到EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 第1题第2题 3．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为（　　） A． B． C． D． 第3题第4题第8题 5．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A． B． C． D． 7．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝1 B． C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝DC C．AB∥CD D．∠B＝∠D 二．填空题（共8小题） 9．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝　 　 秒时，四边形ABPQ是直角梯形． 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，∠BAC＝30°，E为AB的中点，F是对角线AC上一动点（0＜AF＜1.5），A′为矩形内AC下方一点，连接EF，FA′，EA′，EA′与AC交于点G，已知△AEF≌△A′EF，当△A′CG为直角三角形时，则A′C＝　 　 ． 第9题第10题第11题 11．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，对角线AC与BD相交于点O，将边AD沿AC方向平移到FE，连接DE．当点F是OA的中点时，四边形ADEF的面积为 　 　 ． 12．如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 　 　 ． 第12题第15题 13．若代数式x2+4的值与﹣5x的值相等，则x＝　 　 ． 14．不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中红球的个数为 　 　 ． 15．（☼相似）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上的一点，DA＝DC，E为BD的中点，连接AE．若∠ADB＝2∠BAE，则的值为 　 　 ． 16．（☼相似）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2．若S＝1，则S1+S2＝ 　 　 ． 第16题 三．解答题（共28小题） 17．2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 18．如图，线段AB＝9，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且C、D与点B在AP两侧，已知DP平分∠CPA，在线段DP取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）． （1）求证：△AEP≌△CEP； （2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由； （3）求△AEF的周长． 19．矩形纸片OABC放在直角坐标系xOy中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点A（0，9），点C（15，0）． （1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求BD、ED的长度； （2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥CO于点G，交MF于点T，求证：TG＝AM； （3）在（2）的条件下，设T（x，y），当x＝6时，Q为坐标轴上一点，在直线MF上是否存在点P，使得以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 20．问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系． 问题探究： （1）甲小组发现：图1中，线段PM与PN的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ； （2）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断△PMN的形状并证明； 问题拓展： （3）两小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝2，当△CDE旋转到B、D、E三点共线，且时，连结EN，直接写出线段EN的长度． 21．对于关于x的代数式ax2+bx+c若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是　 　 ． （2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于x的代数式ax2+（4﹣a）x﹣3（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值． 22．创新题：类比同类项的概念，我们规定：对于两个多项式A和B，若所含字母相同，项数相同，并且对于A中的每一项，B中都有对应的项是同类项，我们就称这两个多项式是“同类多项式”． 例如：4a2+2ab﹣4b与a2﹣3ab+2b是“同类多项式”，4a2+2a﹣4与a2﹣3a+b不是“同类多项式” （1）给出下列三个多项式： ①4a2+ab﹣8，②7a2+4b﹣1，③ab+a2﹣1． 其中与a2+2ab﹣4是“同类多项式”的是 　 　 （填写序号）． （2）已知A，B，C均为关于x，y的多项式，A＝2x4y5+2x3y4+x2yn﹣3，B＝mx4y5﹣2x3y4﹣x2y3，C＝﹣5x3y4+x2y3，若C与A﹣2B是“同类多项式”，求m，n的值． （3）已知D，E为关于x的“同类多项式”，D＝2x2+ax﹣1，E＝kx2﹣x+5，若3D﹣2E＝9是关于x的一元一次方程且有正整数解，若a为整数，求k，a的值． 23．在一个不透明袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． （1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是 　 　 ； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 24．从2025年春季学期起，江苏省义务教育学校的课间时间延长至15分钟．某校为了解学生喜欢的课间体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如下所示不完整的两幅统计图，其中A为“匹克球”，B为“羽毛球”，C为“乒乓球”，D为“棒球”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　 　 名学生； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为　 　 °； （4）若全校共有1800名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢羽毛球． 25．2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为　 　 （元），平均每天可售出　 　 件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 26．如图1，正方形ABCD的边长为5，点E是AD边上一点，连接CE，将四边形ABCE沿直线CE折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，AD的延长线与MN交于点F，与CM的延长线交于点G． （1）求证：FD＝FM； （2）（☼相似）若FM＝2，求FG的长度； （3）若△DFN是以FD为腰的等腰三角形，求DE的长度． 27．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．将该纸片沿EF折叠，点A，B分别落在点G，H处，FH与边AD相交于点M，连接EH． （1）△EFM面积的最小值为 　 　 ； （2）求证：DM＝HM； （3）若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长． ∴∠BEG+∠QEF＝∠FEG+∠QEF，即∠BEF＝∠QEG， 在△BEF和△QEG中，，∴△BEF≌△QEG（SAS），∴∠B＝∠GQE＝60°， ∴∠GQE＝∠BEQ，∴QG∥BC，即点G在过AB的中点Q且与BC平行的定直线上， 过Q点作QM⊥BC于M，CH⊥QG于H点，如图，在Rt△BQM中，∵∠B＝60°， ∴BMBQ，∴QMBM，∴CH，∴CG的最小值为．故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂线段最短、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质． 第1题第2题 3．【解答】解：连接BB'交EF于点P，过点F作FH⊥AD于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC， 设FC＝a，则BF＝BC﹣CF＝2﹣a，由翻折性质得：B'F＝BF＝2﹣a，EF⊥BB'， ∴正方形ABCD的面积为4，四边形ABFE是直角梯形， ∵四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5， ∴设四边形ABFE的面积为：3k，四边形EFCD的面积为：5k， ∴正方形ABCD的面积为：8k，∴8k＝4，解得：k，∴四边形ABFE的面积为：3k， 又∵四边形ABFE的面积为：（AE+BF）×AB，∴， 即，∴AE，∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠FHD＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形FHDC是矩形，∴FH＝CD＝2，DH＝CF＝a，∠HFC＝90°， ∴FH＝BC＝2，EH＝AD﹣AE﹣DH， ∵EF⊥BB'，∴△BFP是直角三角形，在Rt△BFP中，∠CBB'+∠FBP＝90°， ∵∠HFB＝∠HFC＝90°，∴∠HFE+∠FBP＝90°，∴∠HFE＝∠CBB'， 在△HFE和△CBB'中，∠FHE＝∠C＝90°，FH＝BC，∠HFE＝∠CBB'， ∴△HFE≌△CBB'（ASA），∴EH＝B'C， 在Rt△B'CF中，由勾股定理得：B'F2＝B'C2+FC2，∴， 整理得：16a2﹣24a+9＝0，∴（4a﹣3）2＝0，解得：a，∴FC＝a．故选：B． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 第3题第4题 即10﹣t＝t﹣4，解得t＝7，故答案为：7． 【点评】考查直角梯形性质、平行四边形的性质以及矩形的判定和性质，得到当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形是解题关键． 10．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝2，∴AB∥CD，∠D＝90°，AB＝CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝30°，∴AC＝4，由勾股定理得， ∵E为AB的中点，∴AE＝EB． 当△A′CG为直角三角形时，分为∠CGA′＝90°或∠CA′G＝90°， ①当∠CGA′＝90°时，如解图①， ∵∠BAC＝30°，∠AGE＝∠CGA′＝90°，10∴，∠AEA′＝60°， ∵△AEF≌△A′EF，∴∠AEF＝∠A′EF＝∠FA′E＝30°， ∴EF＝FA′，∴， 在Rt△AGE中，，∴． 在Rt△CGA′中，； ②当∠CA′G＝90°时，如解图②，连接CE， ∵，BC＝2，∴在Rt△BCE中，， ∵△AEF≌△A′EF，∴AE＝A′E＝3，∴在Rt△A′CE中，． 综上所述，当△A′CG为直角三角形时，A′C的值为或2，故答案为：或2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝4， ∴AD＝AB＝4，OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°， ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∴OD＝2， ∴OA2，∵点F是OA的中点， ∴AFOA，由平移的性质得：EF∥AD，EF＝AD， ∴四边形ADEF是平行四边形，∴S平行四边形ADEF＝AF•OD2＝2，故答案为：2． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键． 12．【解答】解：（1）∵△DAC是等边三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC， ∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝DE，∠EDC＝90°，∴△ADE是等腰三角形， ∴∠DAE（180°﹣90°﹣60°）＝15°，故答案为15°； （2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，∴PB+PC＝BC'， 又∵PE＝PE，∴△AEP≌△CEP（SAS）； （2）解：CF⊥AB．理由如下：如图1，设AP与CF相交于点M， ∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP， ∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP， ∴∠AMF+∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB； 图1图2 （3）解：过点C作CN⊥PB于点N，则∠CNP＝90°． ∵∠CFB＝180°﹣∠AFM＝90°，∴∠CFB＝∠CNP＝∠ABP＝90° ∴四边形CFBN是矩形，∴CN＝BF，∵∠CPN+∠PCN＝∠CPN+∠APB＝90°， ∴∠PCN＝∠APB，∵AB＝PN，∠CNP＝∠PBA＝90°，∴△PCN≌△APB（AAS）， ∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE， ∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝18即△AEF的周长为18． 【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键． 19．【解答】（1）解：∵点A（0，9），点C（15，0），∴AO＝9，OC＝15， ∵将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，∴OC＝DC＝15，DE＝OE， ∴BD12，∴AD＝3， ∵DE2＝AD2+AE2，∴DE2＝9+（9﹣DE）2，∴DE＝5； （2）证明：∵将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点， ∴MD′＝MO，∠D′MF＝∠OMF，∵OM∥GD′，∴∠OMT＝∠D′TM， ∴∠D′MT＝∠D′TM，∴D′M＝D′T，∴OM＝DT，∵OA＝DG，∴AM＝TG； （3）解：如图，当x＝6时，则AD'＝6，∵D'M2＝AD'2+AM2， ∴D'M2＝36+（9﹣D'M）2，∴D'M，由（2）可知：OM＝D'T＝D'M， ∴TGy，∴点T（6，）， ①当MD′为对角线时，点P与T重合，QM＝D′T，∴点P（6，）， ②D′M为边时，设点P（x，y），∵四边形MD′QP是平行四边形， ∴x+6＝0+0，∴x＝﹣6，∵直线FM的解析式为yx，∴y，∴点P坐标（﹣6，）， ③当点P″在第四象限点时，四边形MD′Q″P″是平行四边形时， ∵直线FM的解析式为yx，∵D′Q″∥MF，∴直线D′Q″的解析式为yx+13， 当y＝0时，x，∴点Q″（，0），设点P（m，n） ∵点M（0，），点D'（6，9），点Q″（，0）， ∴m＝06，n0﹣9，∴点P（，），综上所述，以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P坐标（6，）或（﹣6，），或（，）． 【点评】考查四边形综合题，矩形性质，翻折变换，勾股定理，平行四边形判定等知识，解题关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 20．【解答】解：（1）∵点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点， ∴PM是△ADE的中位线，PN是△ADB的中位线，∴PM∥AE，PMAE，PN∥BD，PNBD， ∵CA＝CB，CD＝CE，∴BD＝AE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥AE，∴∠DPM＝∠DAC，∵∠BCA＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠CAD+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN； （2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下： 如图2中，连接BD，AE，由旋转知，∠BCD＝∠ACE． ∵CB＝CA，CD＝CE，∴△CBD≌△CAE（SAS），∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE， ∵M，P，N分别为DE，AD，AB的中点，∴PN，PM分别是△ABD，△ADE的中位线， ∴PNBD，PN∥BD，PMAE，PM∥AE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形． 又∵PM∥AE，PN∥BD，∴∠DPM＝∠DAE，∠PNA＝∠DBA， ∵∠DPN＝∠DAB+∠PNA＝∠DAB+∠DBA， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DAE+∠DAB+∠DBA＝∠BAE+∠DBA＝∠CAB+∠CAE+∠DBA＝∠CAB+∠CBD+∠DBA＝∠CAB+∠ABC， ∵∠BCA＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形； （3）如图3，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CDB＝135°， 由（2）知，∠CDB＝∠CEA＝135°，BD＝AE＝4，∴∠AEB＝90°， ∵CD＝2，∴DE＝2，∴BE＝BD+DE＝6，∴AB2， ∵点N是AB的中点，∴EN． 如图4，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠CEB＝135°，由（2）知，∠CDB＝∠CEA＝45°，BD＝AE＝4，∴∠AEB＝90°， ∵CD＝2，∴DE＝2，∴BE＝BD﹣DE＝2，∴AB2， ∵点N是AB的中点，∴EN．综上所述，EN的长度为或． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 21．【解答】解：（1）x2﹣6＝x，x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2，故答案为3或﹣2； （2）2x2﹣x+1＝x，2x2﹣2x+1＝0，∵Δ＝4﹣4×2＝﹣4＜0，∴原方程无解， ∴关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值， （3）①由ax2+（4﹣a）x﹣3＝x得，ax2+（3﹣a）x﹣3＝0， ∵仅有一个不动值，∴Δ＝0，∴（3﹣a）2﹣4a•（﹣3）＝0，∴a＝﹣3； ，②设ax2+（3﹣a）x﹣3＝0的两个根是m，n，∴|m﹣n|＝2， ∴（m+n）2﹣4mn＝4，∴，∴a1＝3，a2＝﹣1，∴a＝3或﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式和根与系数的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 22．【解答】解：（1）与a2+2ab﹣4是“同类多项式”的是4a2+ab﹣8，ab+a2﹣1． 故答案为：①③； （2）A﹣2B＝（2x4y5+2x3y4+x2yn﹣3）﹣2（mx4y5﹣2x3y4﹣x2y3） ＝2x4y5+2x3y4+x2yn﹣3﹣2mx4y5+4x3y4+2x2y3＝（2﹣2m）x4y5+6x3y4+x2yn﹣3+2x2y3， 因为C与A﹣2B是“同类多项式”，所以2﹣2m＝0，n﹣3＝3，m＝1，n＝6； （3）因为D、E是“同类多项式”，所以k≠0，a≠0． 3D﹣2E＝3（2x2+ax﹣1）﹣2（kx2﹣x+5）＝6x2+3ax﹣3﹣2kx2+2x﹣10 ＝（6﹣2k）x2+（3a+2）x﹣13，因为3D﹣2E＝9是关于x的一元一次方程，且有正整数解， ∴（6﹣2k）x2+（3a+2）x﹣13＝9是关于x的一元一次方程，且有正整数解， 所以6﹣2k＝0，所以k＝3．所以（3a+2）x﹣13＝9，解得：， 因为22的正因数有1、2、11、22，a是整数，所以3a+2＝1，，不符合题意，舍去； 3a+2＝2，a＝0，不符合题意，舍去；3a+2＝11，a＝3，符合题意； 3a+2＝22，，不符合题意，舍去；综上所述，a＝3． 【点评】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的定义，解一元一次方程，正确记忆相关知识点是解题关键． 23．【解答】解：（1）从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 即摸到红球的可能性为；故答案为：； （2）∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动， ∴随机摸出一个白球的概率，∴，解得m＝3，即m的值为3． 【点评】本题考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 24．【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：8÷20%＝40（名），故答案为：40； （2）喜欢羽毛球的学生人数为：40﹣4﹣12﹣8＝16（名），补全条形统计图如图： （3）36036°，∴扇形统计图中表示“匹克球”扇形圆心角度数为36°，答案为：36； （4）1800720（名），答：估计全校有720名学生课间喜欢羽毛球． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 25．【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为（30﹣x）元，平均每天的销售量为（40+4x）件．故答案为：（30﹣x）；（40+4x）． （2）依题意得：（30﹣x）（40+4x）＝1500，解得：x1＝5，x2＝15， 又∵要尽快减少库存、增加盈利，∴x＝15．答：每件商品应降价15元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26．【解答】（1）证明：如图1，连接FC，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∴∠GDC＝90°， ∵翻折四边形ABCE．∴∠B＝∠NMC＝90°，CM＝CB，∴∠FDC＝∠FMC＝90°， CD＝CM．又∵FC＝FC，∴Rt△FDC≌Rt△FMC（HL）．∴FD＝FM． （2）如图2，∵∠GMF＝∠GDC＝90°，∠G＝∠G，∴△GFM∽△GCD，∴， 设FG＝2x，GC＝5x，∵FD＝FM＝2，∴DG＝2x+2， 在Rt△GDC中，（2x+2）2+52＝（5x）2，化简得：21x2﹣8x﹣29＝0， ∴x1＝﹣1（舍去），，∴． （3）①如图3，若DN＝DF，则∠DNF＝∠DFN， ∵∠DEN＝90°﹣∠DFN，∠DNE＝90°﹣∠DNF，∴∠DEN＝∠DNE，∴DE＝DN； 设DE＝DN＝DF＝x，则FM＝FD＝x，∴EN＝EA＝5﹣x，FN＝5﹣x， 在Rt△ENF中，（5﹣x）2+（5﹣x）2＝（2x）2）， 化简得：x2+10x﹣25＝0，∴（舍去），； ②如图4，若FD＝FN，则．设DE＝x，则， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $