精品解析：福建莆田第八中学2025-2026学年七年级下学期期中数学考试卷

2025-2026学年莆田市第八中学七年级下期中考试卷 一．选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列各数中是无理数的有（ ） A. B. 3 C. D. 2. 如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（ ）． A. B. 2 C. D. 4 5. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图摆放的一副直角三角板，，，与相交于点G，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 邻补角的平分线相互垂直 C. 互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角 D. 同位角相等 9. 五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（ ） A. 小明、小亮均正确 B. 小明、小亮均错误 C. 小明正确，小亮错误 D. 小明错误，小亮正确 10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每题4分，共24分 11. 填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 12. 如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，，则的度数是_________ ． 13. 已知，若用含的代数式表示，则______． 14. 如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为____________． 15. 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是，求这个正整数．华罗庚脱口而出：．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，，可以确定是两位数；②由，，可知，的十位数字是；③考虑到至的立方中，只有的立方个位数字是，所以确定的个位数字是，所以．请你根据上述步骤求出的立方根是__________． 16. 如图，，平分，平分，，若，则的度数为___________． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： 18. 计算：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，点经过平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形． （1）请画出四边形，并写出点的对应点的坐标； （2）求四边形的面积． 20. 已知为9的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 21. 如图，直线平分，求的度数． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 23. 数学吴老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是________． （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值． （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 24. 光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． （1）如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； （3）如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，记，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为．例如：点，点，． （1） ①的值是 ； ②点K在x轴上，若，求点K的坐标． （2）点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方， ，点M的坐标为． ①当点Q的坐标为时，则的值是 ． ②当线段在y轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年莆田市第八中学七年级下期中考试卷 一．选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列各数中是无理数的有（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数与有理数的定义，熟练掌握无理数是无限不循环小数、有理数包括整数和分数是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数）和有理数的定义（整数和分数的统称），对每个选项进行判断，从而找出无理数． 【详解】解：∵=3，3是整数，属于有理数． ∵3是整数，属于有理数． ∵是分数，属于有理数． ∵是无限不循环小数，符合无理数的定义． ∴只有选项D是无理数， 故选：D． 2. 如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A选项：和是直线，被直线所截形成的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故A选项不符合题意； B选项：和是直线，相交形成的邻补角，不能判定，故B选项符合题意； C选项：和是直线，被直线所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故C选项不符合题意； D选项：和是直线，被直线所截形成的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故D选项不符合题意． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用偶次方的性质得出，再利用点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵，， ∴点所在的象限是第三象限． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断.第一象限的点的特点为，第二象限的点的特点为，第三象限的点的特点为，第四象限的点的特点为． 4. 如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（ ）． A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：B． 5. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可． 【详解】解：根据“帅”位于点上，“相”位于点上可建立如图的直角坐标系， 所以“炮”位于点上． 6. 已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解： 由②，得 将③代入①，得 ， 解得， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图摆放的一副直角三角板，，，与相交于点G，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，根据即可得出答案． 【详解】解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵在和中，，， ∴，， ∴，， ∴， 故的度数是． 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 邻补角的平分线相互垂直 C. 互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角 D. 同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真命题的判断，涉及对顶角、邻补角、补角、同位角的性质．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】A． 相等的角不一定是对顶角．例如平行线的同位角相等，但并非对顶角，故A为假命题． B． 邻补角的和为，其平分线将每个角分为一半，形成的夹角为，即相互垂直，故B为真命题． C． 互补的两个角可能均为直角（如），此时无锐角和钝角，故C为假命题． D． 同位角相等需满足两直线平行，题目未限定此条件，故D为假命题． 故选B． 9. 五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（ ） A. 小明、小亮均正确 B. 小明、小亮均错误 C. 小明正确，小亮错误 D. 小明错误，小亮正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系进行求解是解决本题的关键．根据题意白棋①的位置是，黑棋②建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． ∴小明、小亮均正确， 故选：A． 10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 二．填空题：本题共6小题，每题4分，共24分 11. 填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 【答案】 ①. 0或 ②. ③. 8 ④. ⑤. 2 【解析】 【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答． （2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答． （3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答． 【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于 即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或； （2）， （3）先化简得，的平方根为； 化简，的立方根为． 12. 如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，，则的度数是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角的和差关系得，结合邻补角互补得，又因为平分，得出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即． 13. 已知，若用含的代数式表示，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】将看作已知数进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 14. 如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． 15. 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是，求这个正整数．华罗庚脱口而出：．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，，可以确定是两位数；②由，，可知，的十位数字是；③考虑到至的立方中，只有的立方个位数字是，所以确定的个位数字是，所以．请你根据上述步骤求出的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根，根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可．理解题干中的解题方法是解题的关键． 【详解】解：设的立方根是， ∵，， ∴可以确定是两位数， ∵，，， ∴的十位数字是， ∵至的立方中，个位数字为的只有的立方， ∴确定的个位数字是，即． 故答案为：． 16. 如图，，平分，平分，，若，则的度数为___________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】设，则，求出，过点作，，推出，证明，进而得到，即可求出，由即可求解． 【详解】解：设，则， ∵平分，平分， ∴， 过点作，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得 解得：， 把代入，得 解得：， 方程组的解为． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，点经过平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形． （1）请画出四边形，并写出点的对应点的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：如图所示：四边形即为所求， 点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）先由点经过平移后对应点为，得到平移过程为向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，按照这个平移过程将平移得到，描点连线即可得到答案； （2）在网格中间接表示出四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 四边形的面积为． 20. 已知为9的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， 的平方根是． 21. 如图，直线平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再求出的度数，根据对顶角相等即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 【答案】（1）2 （2） 解：点C是“完美点”；理由如下： ∵点的长距为4，且点B在第四象限内， ∴，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴点C的坐标为，即， ∴点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为， ∴点是“完美点”． 【解析】 【分析】（1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点B在第四象限内，，求出的值，再代入求出点C的坐标，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； 【小问2详解】 略 23. 数学吴老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是________． （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值． （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】（1）3； （2）1； （3）19. 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的方法进行求解即可； （2）由题意可得，，再代入求解即可； （3）由题意可得，，再代入所求的式子运算即可． 【小问1详解】 解：， ∴的整数部分为3，小数部分为：； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵a为的小数部分，b为的整数部分， ，， ； 【小问3详解】 解，其中x是一个正整数，， ，， ． 24. 光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． （1）如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； （3）如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】（1） ABCD，理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3， ∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3）， ∵∠BOC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）70 （3）在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【解析】 【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论； （2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°， ∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°， ∵∠AOM=∠BON， ∴∠AOM=∠BON=20°， ∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：70； 【小问3详解】 解：①当0s≤t≤20s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠ACD， 即120+3t=140+t， 解得t=10， ∴当t=10s时ABCD； ②当20s＜t≤40s时，如下图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如下图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠DCF， 即3t-240=t-40， 解得t=100， ∴当t=100s时，ABCD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，记，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为．例如：点，点，． （1） ①的值是 ； ②点K在x轴上，若，求点K的坐标． （2）点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方， ，点M的坐标为． ①当点Q的坐标为时，则的值是 ． ②当线段在y轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 【答案】（1）①3；②或 （2）①3；②最小值是3，P点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程的应用，理解定义是解此题的关键． （1）①根据定义计算即可得解；②设，根据定义得出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （2）①设点为线段上任意一点，则，再根据定义计算即可得解；②设点，则，再根据定义计算即可得解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，， 则， 故答案是：3． ②∵，点K在x轴上，设， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，或， ∴K的坐标是或． 故答案是：或； 【小问2详解】 解：①∵点P、Q在y轴上，点P在点Q的上方，，点Q的坐标为， ∴点P的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； ∵点M的坐标为， ∴，， ∴； 由，可得； ∴， ∴的最大值是3， ∴． ②当点都在轴的正半轴上或都在轴的负半轴上时，如图， 则：或， 设点，则， ∴，， ∵当时，有最小值， 即时，有最小值， ∴或或（舍去），此时有最小值为3， ∴点P的坐标为或， 当点在轴的正半轴，点在轴的负半轴上时，如图， 则为的长为4， 综上：的最小值是3，此时点P的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $