精品解析：天津市南开区2026届高三年级第二学期质量监测（二）数学试卷

2025—2026学年度第二学期高三年级质量监测（二） 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择）题两部分．共150分，考试时间120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至9页. 第I卷 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ．球的体积公式，其中表示球的半径． ．如果事件互斥，那么． ．如果事件相互独立，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ， ． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 3. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除B，根据函数零点排除A，当时，由，排除C选项，即可得到结果. 【详解】，故为奇函数，函数图像关于原点中心对称，排除B选项；令，则或，故在上有三个零点，排除A选项； 当时，，排除C选项. 故选:D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 则， 所以. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 B. 在回归分析中，为0.98的模型比为0.99的模型拟合的效果更好 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】D 【解析】 【详解】将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，数据相对平均值的波动情况无变化，方差不变，故A错误； 由越接近1，模型拟合效果越好，知B错误； 若残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的波动越小，回归方程对数据的拟合精度越高，进而回归方程的预报精确度也越高（而非越低），故C错误； 因为，所以判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确. 6. 已知时，的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 7. 若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】运用辅助角公式进行整理，然后平移，根据奇变偶不变，符号看象限求出辅助角，然后求得参数，最后求解最小值. 【详解】因为，其中， 又因为函数的图象向左平移个单位为偶函数， 即为偶函数， 所以，解得， 所以， 所以， 当，即，所以. 所以. 8. 已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由球的体积求出外接球半径，再结合正方体外接球性质求出棱长；接着建立坐标系，求出平面的法向量，利用求出球心到平面的距离；最后利用球的截面性质算出截面圆半径，进而得到截面面积． 【详解】 由，得， 设正方体的棱长为，则，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，取 ，得， 球心到平面的距离， 设平面截球所得的截面的半径为，则， 所以平面截球所得的截面面积． 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形为矩形，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为. 直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为， 由解得，或 所以，或，. 不妨设，，又， 所以，. 在△AMN中，， 由余弦定理得， 即， 则，所以，则， 所以. 故选C. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知复数，则的共轭复数为_____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知， 所以的共轭复数为 11. 展开式的常数项为______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项式的展开式通项公式求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：15. 12. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【详解】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 13. 将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先确定三个小球放盒子的总基本事件数，再确定三个小球放入不同盒子的基本事件数，最后用古典概型概率公式计算概率；设事件为“至少有两个小球放入甲盒”，事件为“红球放入甲盒”，计算和，再根据条件概率公式计算概率. 【详解】每个小球有3种放法，总放法共种， 三个小球放入不同盒子，相当于对三个盒子全排列，共种符合条件的放法， 因此所求概率为； 设事件：至少两个小球放入甲盒；事件：红球放入甲盒， 至少两个小球放入甲盒，分恰好2个、恰好3个放入甲盒两种情况：； 红球放入甲盒，且至少两个小球放入甲盒，说明剩余黄、蓝两球至少一个放入甲盒：； 因此条件概率. 14. 在平行四边形 中，和分别是和 的中点，则_____；若是的三等分点，点 在线段上，，则的取值范围是_____． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】以为基底把表示出来，再结合数量积的运算律；设，得，再结合二次函数的性质解题. 【详解】由题意可得， 所以,则. 设，， 则 所以 当时，；当或1时，， 综上： 15. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论的取值，将零点问题转化为方程的根的问题，从而变成解的个数问题. 【详解】①当时，，则由，可得， 解得且，矛盾，舍去； ②当时，，解得，只有一解，舍去； ③当时，由，可得， 两边取平方，，整理得 当时，，解得，只有一解，舍去； 当，判别式 所以上述方程始终有两个不相等的根，即函数有两个零点，符合题意. 综上，可得 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，结合三角形内角的范围求出角； （2）由正弦定理结合已知条件求出，利用余弦定理求出； （3）利用已知条件求出，进而求出，利用二倍角公式求出，再利用三角形内角关系结合两角差的余弦公式求解． 【小问1详解】 已知， 由余弦定理得， 整理可得， ， 又， ． 【小问2详解】 由正弦定理得， ． 由（1）知， ． 【小问3详解】 由（2）知，则，解得， 由（2）知， 为锐角，故， ， ，，即， ． 17. 如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，设，连接，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 因为 ， ， 所以，，即，， 又平面，，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先建系得各点坐标，算出向量，由点积为 证，，结合线面垂直判定定理得证； （2）由（1）知是平面法向量，再求平面法向量，用两法向量夹角公式算余弦值； （3）设，由垂直条件求得位置，再用点到平面距离公式算出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知为平面的一个法向量． ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得． 设平面与平面的夹角为， 则． 【小问3详解】 ，设，． 因为，所以， 解得，从而． 所以点到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为． （1）求的方程； （2）为的右顶点，直线交于两点，为坐标原点．若，是否存在直线，使得四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解； （2）由题意假设直线，与椭圆联立可得.又有四点共圆，且，所以，结合韦达定理可得 的值，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 依题意，有解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 设直线， 联立方程得：， 则 因为四点共圆，所以， 则有，即 所以即 所以，即， ，即， 联立解得（此时直线过点，舍去）， 将代入，解得， 所以存在直线，使得四点共圆. 直线的方程为或． 19. 已知数列，其中为等差数列，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求的前 项和； （3）记，证明． 【答案】（1）， （2） （3）证明：由（1）得， 所以 所以 ， 所以 ． 因为，，所以 所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时求得，进而求得，再结合累加法求解的通项公式； （2）根据分组求和与错位相减法求和分别求解，的前 项和，，再根据求解即可； （3）结合题意得，再结合分组求和求得即可证明结论. 【小问1详解】 解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）知． 记的前 项和为，的前 项和为， 所以 ① ② ①－②得， 所以． 所以． 【小问3详解】 略 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的最大值； （3）当时，证明． 【答案】（1） （2） （3）证明：当时，， 要证明，只需证明． 令，则，令，解得 . 则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为. 则.所以． 只需证明． ①当 时，不等式成立， ②时，只需证明， 令，则，进而，即. 令，则，所以单调递增，，即. 因为，所以时，． ③时，由得，即． 令， 所以在递减，因此，即． 因此，当时，成立． 【解析】 【分析】（1）求出曲线在处的导数值，再根据切线方程求解即可. （2）利用换元，利用导数分析函数的单调性，把恒成立问题转化为最值问题求解即可. （3）根据不等式将问题转化为，再结合 的取值范围以及函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ， 可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由得，① 当时，时，，①式不成立，所以． 令，由①得，即对任意恒成立， 令， 当时，时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 故，解得，所以的最大值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高三年级质量监测（二） 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择）题两部分．共150分，考试时间120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至9页. 第I卷 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ．球的体积公式，其中表示球的半径． ．如果事件互斥，那么． ．如果事件相互独立，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 B. 在回归分析中，为0.98的模型比为0.99的模型拟合的效果更好 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 6. 已知时，的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知正方体的顶点都在体积为的球 的球面上，分别为棱的中点，则平面截球 所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知复数，则的共轭复数为_____． 11. 展开式的常数项为______. 12. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 13. 将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 14. 在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点 在线段上，，则的取值范围是_____． 15. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为． （1）求的方程； （2）为的右顶点，直线交于两点， 为坐标原点．若，是否存在直线，使得四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 19. 已知数列，其中为等差数列，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求的前 项和； （3）记，证明． 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的最大值； （3）当时，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $