精品解析：2025届天津市南开区高三二模数学试卷

2024-2025学年度第二学期高三年级质量监测（二） 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高． 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 如果事件互斥，那么 对于事件，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，根据交集和补集的概念求出答案. 【详解】因为，，所以． 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求解分式不等式，求得的范围，进而从充分性和必要性进行判断即可. 【详解】，即，，解得或； 故当时，可以推出；当，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A. 【详解】的定义域为， 则， 所以为奇函数，故排除BC， 令，则或， 则或，解得：或， 所以当时，的最小为1， 则，故A错误，D正确. 故选：D. 4. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 5. 某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出三个不同选课组合的学生的人数的比列，总体平均分需用各组合的平均分乘以对应比列后相加即可. 【详解】因为三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60， 所以三个不同选课组合的学生的人数的比列分别为：， 所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为. 故选：C 6. 函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象确定周期，从而可求出，再利用最低点代入可求出，再由正弦函数的单调增区间即可求解. 【详解】 由图可得：周期，所以， 代入最低点得：， 可得：，解得， 所以有， 再由，解得， 故函数的增区间为， 故选：A. 7. 若数列满足，且则的前2025项的和为（ ）． A. 1350 B. 1352 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推公式可得数列可以看作以为一个周期的数列，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 8. 已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率. 【详解】根据题意如图： 点，其中一条渐近线为即， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 因为直角三角形，所以， 在中，， 即， ∵，∴，∴， 即的离心率为， 故选：D. 9. 如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点到面的距离，利用三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】 设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由题：， 又弧长为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 即，令，则，取， 则E到面距离为， 又， 所以三棱锥的体积为， 故选：C. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 是虚数单位，若复数满足，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的运算法则可求复数. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，得到，得到答案. 【详解】展开式通项公式为， 令，解得， ，故的系数为15. 故答案为：15 12. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得，则抛物线， 直线的方程为，由， 则，显然， 所以，故， 所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 13. 甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为_____；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得出都取到红球的概率；根据条件概率公式计算可得两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率. 【详解】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”， 甲袋中有个红球，个球，所以 ； 乙袋中有个红球，个球，所以 . 因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生， 根据相互独立事件的概率乘法公式可得 . 设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”. 先求： 两球颜色不同有“甲红乙黄”和“甲黄乙红”两种情况. “甲红乙黄”的概率 ； “甲黄乙红”的概率 . 根据互斥事件概率加法公式， . “两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”， . 根据条件概率公式 ，可得 . 故答案为：； . 14. 在梯形中，，，，记，，用和表示_____；若点为上一动点，则的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1），再根据向量之间的关系进行化简； （2）根据向量加法三角形法则，得到，， 又，可得， 设，则，， 最后根据范围求解即可. 【详解】 因为，所以， ； 因为，， 又，即 可得， 设，则 ， ， 当时有最大值， 故答案为：；. 15. 已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】，当时，变形为，令，则，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解. 【详解】， 即， 当，，，所以不是交点横坐标； 当时，，即， 令，则， 所以的图象与有3个交点， 即函数与的图象有3个交点， 函数恒过点， 当，即， ，即， 解得或， 当，解得或， 所以函数与相切时的最小值为或， 由图象可知当（1）时，即； （2），即时函数与的图象有3个交点， 综上：当时，的图象与有3个交点， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将式子变形，使得两个函数有其中一个图象是确定的，通过平移另一个图象来找到符合题意的条件. 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，得，再利用余弦定理进行计算即可求解； （2）由（1），结合，解得，再利用正弦定理计算即可求解； （3），进而利用倍角公式和和差公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 又，故． 【小问2详解】 由（1）知，又，得， 由正弦定理可得， 又，解得． 【小问3详解】 因为，所以，故． 所以． 所以 ． 17. 如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． （1）求证：； （2）当点为棱的中点时，求点到平面的距离； （3）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果； （3）由二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题设可知，，平面， 所以平面． 以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则． 设，则， 又，有，故， 所以． 【小问2详解】 依题意，，，，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 设点到平面的距离为， 则． 【小问3详解】 当时，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则． 18. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）（ⅰ）根据已知化简再应用等比数列求和公式求解即可；（ⅱ）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 设首项为，公差为， 由题意得解得， 所以． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知， 因为， 所以 ， 所以． 所以， 所以． （ⅱ）因为 ， 所以 ． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦点为，由，求得，进而得，由椭圆定义求得，得解； （2）设，当直线的斜率存在时，设直线，由，可得，联立直线与椭圆的方程得到根与系数关系，求得，进而得点在直线上，当直线的斜率不存在时，易得点也满足在直线上，由平面几何知识求解得到答案. 【小问1详解】 设， 依题意，，解得，从而， 因此，由勾股定理可得． 所以，可得． 所以求椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， 当直线的斜率存在时，， 由，可得，解得．（*） 设直线， 联立整理可得， 由， 整理可得：，解得或， 且， 代入（*）整理可得， 代入直线的方程，得， 可得． 当直线的斜率不存在时，，则， 由，得，也满足方程， 所以点在直线（在椭圆内部）上． 设点关于直线的对称点为， 则解得， 所以， 此时点在椭圆内，符合题意， 所以的最小值为. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. 【小问1详解】 ，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. 【小问3详解】 由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期高三年级质量监测（二） 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高． 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 如果事件互斥，那么 对于事件，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 5. 某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（ ）． A B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）． A. B. C D. 7. 若数列满足，且则的前2025项的和为（ ）． A. 1350 B. 1352 C. 2025 D. 2026 8. 已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 是虚数单位，若复数满足，则_____． 11. 在的展开式中，的系数为_____． 12. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为_____． 13. 甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为_____；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为_____． 14. 在梯形中，，，，记，，用和表示_____；若点为上一动点，则的最大值为_____． 15. 已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． （1）求证：； （2）当点为棱的中点时，求点到平面的距离； （3）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列前项和； （ⅱ）求． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． （1）求椭圆的方程； （2）过点直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $