23.4 实际问题与一次函数 教学设计 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十三章 一次函数 人教版(2024)

23.4实际问题与一次函数

一、教学目标

1.能用一次函数解决方案选择问题，体会函数模型思想；

2.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.

二、教学重点及难点

重点：能应用一次函数解决方案选择问题.

难点：能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.

三、教学过程

【新知导入】

教师阐述：做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的.

在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数.

下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.

套餐	年卡费用/元	套餐内游泳次数/次	套餐外单收费/元
A	600	20	40
B	1200	50	40
C	1800	不限次

教师提问：选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？

设计意图：从生活中方案优选的现实需求切入，用通俗易懂的语言点明生活中常有多种实施方案，需要借助数学函数进行理性分析与最优选择，自然引出本节课的学习主题.

【探究新知】

套餐	年卡费用/元	套餐内游泳次数/次	套餐外单收费/元
A	600	20	40
B	1200	50	40
C	1800	不限次

教师提出：在套餐A，B中，游泳费用与年游泳次数有关；在套餐C中，游泳费用与年游泳次数无关.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？

学生回答：没有一定最优惠的方式，与年游泳次数有关.

教师提出：设年游泳x次，则A，B，C三种套餐的游泳费用分别为y1，y2，y3，其中y1，y2都是关于x的函数，比较以上三种方式哪种方式更优惠？应该怎么比较？

学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答，给出标准答案.

x代表年游泳次数，则需要比较在x≥0的范围内，y1，y2，y3的大小关系，费用最少的，即为最优惠的.

设计意图：创设游泳馆办卡真实情境，引导学生感知套餐优惠随游泳次数变化而不同.通过设变量、引思路，明确方案选择本质是比较函数值大小，渗透数学建模思想.

教师提出：写出套餐A的游泳费用的函数解析式，并画出函数图象.

学生在草稿纸上进行计算.作答完成后，教师公布答案，并规范解题步骤.学生进行校对.

在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式为

化简，得

函数的图象如图所示.

教师提出：类似地，我们可以得到套餐B的游泳费用的函数解析式及函数图象.

化简，得

函数的图象如图所示.

教师阐述：通过表格，我们知道套餐C年游泳次数不限，因此套餐C的游泳费用的函数解析式为

函数的图象如图所示.

设计意图：引导学生按次数分段，依次列出A、B、C三种套餐的函数解析式，掌握分段一次函数建模方法.通过自主计算、规范步骤、校对订正，理解不同套餐的函数特征，为后续对比函数值、选取最优方案打下基础.

教师提出：请你在同一坐标系中画出上述三个函数的图象.

学生在草稿纸上作图，教师通过ppt公布正确函数图象，学生进行校对.

教师提问：根据函数图象，你能得出什么结论？

学生同桌之间进行讨论，形成共识后，教师选取几个学生代表进行回答，教师梳理归纳学生的回答，给出标准答案.

从图中可以看出：在直线l1的左侧，A套餐最省钱.