23.4 实际问题与一次函数 教案 共3课时 教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册

第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第3课时   一、教材分析 本节课选自人教版八年级下册《一次函数》章节，是一次函数知识的综合应用课，在教材中起着承上启下的关键作用. 从知识体系看，它是对一次函数的概念、解析式、图象性质及增减性的巩固与深化，同时也是后续学习二次函数、实际问题建模的基础，体现了“数学建模”的核心思想. 教材首先以“租车问题”为情境，通过“确定车辆总数”的探究，引导学生分析实际问题中的约束条件；接着以“费用优化”为核心，引导学生设变量、列函数解析式，利用一次函数的增减性求解最值，形成“情境引入——问题探究——模型构建——求解应用”的完整逻辑；最后通过归纳建模方法，提炼“分析变量——选定自变量——构建函数——解决问题”的通用步骤，并搭配采购类练习巩固应用，实现从具体情境到通用方法的迁移，让学生体会函数模型在解决优化问题中的价值.   二、学情分析 已有基础：八年级学生已掌握一次函数的概念、解析式求法、图象性质及增减性，具备初步的代数运算和方程求解能力，能识别简单的变量关系，对“租车、采购”等实际情境有生活经验，具备一定的情境理解能力. 存在困难：学生容易混淆实际问题中的约束条件，难以从多变量情境中选定合适的自变量；对“利用一次函数增减性求最值”的应用场景理解不深，易忽略自变量的实际取值范围；难以将生活问题转化为数学模型，缺乏建模的系统性思维. 认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对生活化的情境探究兴趣浓厚，但逻辑思维的严谨性不足，容易在约束条件分析、取值范围确定中出现疏漏，需要通过阶梯式探究和实例引导，帮助其搭建从生活到数学的桥梁，逐步形成建模意识和应用能力.   三、教学目标 1.能结合实际情境建立一次函数模型，利用增减性求解优化问题. 2.准确分析实际问题中的约束条件，确定自变量的取值范围. 3.经历“情境分析——变量选择——构建函数——求解应用”的探究过程，提升建模与应用能力. 4.体会一次函数在解决实际问题中的价值，增强数学应用意识与优化思想.   四、教学重难点 重点：能结合实际情境建立一次函数模型，利用增减性求解优化问题； 难点：准确分析实际问题中的约束条件，确定自变量的取值范围.   五、教学过程 · 情境导入 生活中我们时常会面临如何精打细算、做出最优选择的实际问题.比如，学校组织研学旅行，在有限的预算内租车，既要保证所有师生都有座位，又要让租车总费用最少；又或者，工厂在采购原材料时，需要在满足生产需求的前提下，让采购成本降到最低. 这类问题的核心，都是在多种限制条件下，寻找一个最佳方案.解决这类问题，需将实际情境转化为数学模型，利用一次函数表示费用与数量关系，结合增减性判断趋势；用一元一次不等式组处理约束条件确定取值范围，进而研究最值优化问题. 师生活动：教师展示研学、工厂采购实例，引导学生讨论生活中优化问题，提炼共性；学生分享见解，明确问题核心. 设计意图：从生活情境切入，激发学习兴趣，让学生感知一次函数与不等式的实际价值，为后续建模学习铺垫. · 探究新知 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 问题1：某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： (1)共需租多少辆客车？ (2)给出最节省费用的租车方案． 注意：条件①：总费用不超过2300元； 条件②：234名学生和6名教师，每辆客车上至少有1名教师. 师生活动：教师以研学租车问题引导学生分析约束条件，分步探究客车总数、变量取值范围，通过讨论、计算推导函数模型；学生小组合作，用代入法、函数性质法求解最优方案，总结建模步骤. 讨论以下问题： (1)影响租车费用的因素有哪些? (2)客车总数又与哪些因素有关? (3)如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 答：(1)甲、乙两种车所租辆数 (2)与乘车人数有关. 234+6=240(名) (3)①单独租用甲种车：240÷45=5≈6(辆) ②单独租用乙种车：240÷30=8(辆). 问题2：如何由乘车人数确定客车总数? 答：①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6. ②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6. 综合起来可知客车总数为6辆. 问题3：合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？ 答：租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用. 设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即 y=400x+280(a-x). 将已经确定的a=6代入，化简这个函数，得y=120x+1 680. 追问：怎样确定x的取值范围呢? 分析：从人数上看：为使240名师生乘车都有座位，所以总载客量≥240 → 45x+30(6-x)≥240 x≥4 从费用上看：为使租车费用不超过2300元，所以总费用≤2 300 → 120x+1 680≤2 300 x≤5 综合起来可知x的取值为：4≤x≤5 . 注意：因为x是租车的辆数，必须是非负整数，所以x的可取值只有4和5两个. 问题4：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由. 答：共有两种方案： 方案一：4辆甲种客车， 2辆乙种客车； 方案二：5辆甲种客车， 1辆乙种客车. 方法一：直接判断 ∵甲车费用400元/辆，乙车费用280元/辆， ∴应尽可能地少租用甲. 故选择方案一租甲种客车4辆，乙种客车2辆时最省钱. 此时租车费用为400×4+280×2=2160(元) 方法二：代入比较 方案一的租车费用为： y=120×4+1680=2160(元) 方案二的租车费用为：y=120×5+1680=2280(元) ∵2160<2280， ∴选择方案一所需费用最低. 方法三：利用一次函数的性质判断 ∵k=120>0， ∴y随x的增大而增大， ∴所以当x=4时， y最省钱=120×4+1680=2160(元) 故租甲种客车4辆，乙种客车2辆时最省钱，此时租车费用为2160元. 总结：建立函数模型解决实际问题： 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 设计意图：以真实情境驱动探究，引导学生经历“实际问题——数学建模——求解验证”过程，掌握一次函数在方案优化中的应用，体会建模思想，提升解决实际问题的能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师呈现路灯采购、农场种植两道例题，引导学生分析题意、建立函数模型，讲解代入消元法处理多变量问题；学生独立解题、小组交流，梳理物资调配类问题的解题步骤. 例1 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140 元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元， 则 解得 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60 元、80 元. (2)设购买甲种路灯m盏，则m ≤ (40－m)，解得m ≤ 10. 设购买费用为n 元，根据题意，得 n＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200. 因为－20<0，所以当m取得最大值10 时，n取得最小值3 000. 此时，40－m＝30. 因此，购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少. 总结：物资调配类问题解题思路： 例2 某市20位下岗职工在近郊承包了50亩（1公顷＝15亩）土地办农场，这些土地可以种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多． 分析：仅从表格信息观察，较难判断该如何分配，因而建立函数解析式是较好的方法．根据三个变量之间的数量关系列出一次函数解析式是解决问题的关键． 设预计总产值为 P 元，种植蔬菜的面积为 x 亩，根据表格中提供的信息，把种植烟叶、小麦的面积均用含有 x 的式子表示出来，先建立 P 关于 x 的函数解析式，再根据一次函数的性质求 P 的最大值． 解：设种植蔬菜 x 亩，烟叶 y 亩，小麦 z 亩． 根据题意，得 解得 设预计总产值为 P 元，则有P＝1 100x＋750y＋600z， 即P＝1 100x＋750(－3x＋90)＋600(2x－40)＝50x＋43 500． 又因为y≥0，z≥0， 所以20≤x≤30． 由一次函数的性质可知，当x＝30时，P取最大值． 此时P＝50×30＋43 500＝45 000（元），y＝0，z＝20． 此时种蔬菜的有15人，种小麦的有5人． 答：种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，此时所有职工都有工作，且农作物预计总产值最多，最多为45 000元． 总结：出现多个变量的一次函数问题，可用消元法： 根据题意设三个未知数，先列方程组，再用含某一个未知数的代数式表示出另外两个未知数，以达到消元的目的，从而找出所求的值与其中一个未知量的一次函数解析式．注意应通过三个未知量的实际意义x≥0，y≥0，z≥0来确定自变量 x 的取值范围． 设计意图：通过梯度例题巩固一次函数建模方法，掌握多变量消元技巧，形成规范解题思路，提升学生运用函数知识解决复杂实际问题的能力. · 课堂练习 【教材练习】 某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2000元的资金采购这两种计算器共100台，若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少. 解：设总利润为y元，购进A型计算器x台，则购进B型计算器(100-x)台，依题意得， 22x+19(100-x)≤2000，解得x≤. ∵x是计算器台数，∴x取整数，即x≤33 总利润y(元)与购进A型计算器x(台)的函数关系为： y=(32-22)x+(25-19)(100-x). 化简得y=4x+600 ∵k=4>0， ∴y随着x的增大而增大. ∴当x=33时，利润y最大. 此时，A型号：33台，B型号：100-33=67台 最大利润为y=4×33+600=732元 师生活动：教师引导学生分析采购计算器的成本、利润关系，独立建立一次函数模型，求解不等式约束下的利润最大值；学生自主解题、交流思路，教师点评易错点(如自变量取整)，强化规范步骤. 设计意图：通过教材练习巩固一次函数优化问题的解题流程，检验学生建模、求最值的掌握情况，强化实际问题中自变量取值的现实意义，提升应用能力. 【限时训练】 1.一名旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票他所托运的行李的费用元与行李的质量之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么这名旅客可免费携带的行李的最大质量为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.如图，李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，另外三边用总长为的篱笆围成设边的长为，边的长为． 求关于的函数解析式，以及自变量的取值范围 若的长至少为，则的长最多为多少米 【答案】(1)y=-x+12(0< x<24).  (2)BC的长最多为12m.  3. 年月日是第个“世界读书日”某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高；用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个． 请求出，两种书架的单价； 该小区现需购进个书架用于摆放书籍，且种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案． 【解析】设种书架的单价是元，则种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：种书架的单价是元，种书架的单价是元； 设购进种书架个，则购进种书架个， 根据题意得：， 解得：， 设购买总费用为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 费用最少时的购买方案为：购买种书架个，种书架个， 答：费用最少时的购买方案为购买种书架个，种书架个． 4.陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批特色陶瓷摆件已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土 ，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土 ，工作室现有陶土． 若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的倍多个，则恰好能把工作室现有的陶土用完，求此时制作大型、小型陶瓷摆件各多少个． 若制作一个小型陶瓷摆件可获利元，制作一个大型陶瓷摆件可获利元，制作大型、小型陶瓷摆件共个，该工作室如何安排制作方案能获利最大最大利润是多少元 【答案】(1)设此时制作小型陶瓷摆件x个，大型陶瓷摆件y个. 由题意,得解得 答：此时制作小型陶瓷摆件32个，大型陶瓷摆件10个.   (2)设制作小型陶瓷摆件m个，则制作大型陶瓷摆件(49-m)个. 根据题意，得m+(49-m).解得m. 设总利润为w元，则w=30m+50(49-m)=-20m+. -20<0， w随着m的增大而减小. 当m=44时,w有最大值为. 此时49-m=49-44=. 答:当制作小型陶瓷摆件44个，大型陶瓷摆件5个时，获利最大，最大利润是1570元.  5.某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型．销售件种飞机模型和件种飞机模型时，销售收入是元；销售件种飞机模型和件种飞机模型时，销售收入是元； 求、两种型号的飞机模型的销售单价； 该玩具店准备再采购这两种型号的飞机模型共件，设购买种型号件，销售完的总利润为，求与的函数关系式，判断当取何值时总利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)解：设A种型号的飞机模型的销售单价为x元，B种型号的飞机模型的销售单价为y元， 由题意可得：， 解得：， 答：A种型号的飞机模型的销售单价为120元，B种型号的飞机模型的销售单价为90元．  (2)解：由题意可得，，m为整数且 ， 随着m的增大而增大． 又最大取20， ∴当时，W取最大值．此时， 即W与m的函数关系式为，当时总利润最大，最大利润为800元． 师生活动：教师引导学生独立完成多道分层练习，涵盖图象分析、函数建模、不等式约束等题型；学生自主解题后小组互评，教师针对易错点(如自变量取值、函数增减性)集中讲评，梳理解题流程. 设计意图：通过梯度练习巩固一次函数优化问题的解题方法，强化学生建模、求最值的能力，检验知识掌握情况，培养规范解题习惯与实际应用意识. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.运用一次函数设计最佳方案的建模思想是什么？ 3.运用一次函数设计最佳方案的步骤方法是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：校园通勤中的一次函数优化师 任务： 1.调查从家到学校的两种通勤方式（如公交 / 打车 / 共享单车）的计费规则； 2.设行程距离为自变量，写出两种方式的费用函数解析式，标注自变量取值范围； 3.结合一次函数增减性，分析不同距离下的最优方案，给出通用出行建议； 4.写下 100 字探究感悟，谈谈函数在生活中的价值. 要求： 数据真实，步骤完整，清晰呈现函数建模与决策过程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第2课时   一、教材分析 本节课选自人教版八年级下册第二十三章《一次函数》，是一次函数知识在实际生活中的综合应用课，在教材中起到“承上启下”的关键作用.从地位上看，它既是对一次函数概念、图象、性质及分段函数知识的巩固与深化，也是学生首次系统运用数学建模思想解决优化类实际问题的载体，为后续二次函数的应用、方案选择类问题奠定了方法基础，体现了“数学来源于生活、应用于生活”的课程理念. 教材首先以游泳馆年卡套餐选择这一贴近生活的情境为切入点，引导学生建立分段一次函数模型，刻画不同方案的费用；其次，通过分析函数解析式、绘制函数图象，引导学生利用方程、不等式求解不同方案的费用临界点；最后，结合图象与解析式的结果，分类讨论不同自变量取值下的最优方案，让学生完整经历“实际问题——数学建模——求解验证——决策应用”的问题解决过程，逐步渗透数形结合、分类讨论的数学思想，落实核心素养.   二、学情分析 已有基础：八年级学生已经掌握了一次函数的概念、图象与性质，能独立绘制一次函数图象，也具备列一元一次方程、一元一次不等式解决实际问题的能力，同时对分段函数有初步的认知，具备一定的数学建模意识和基础的数形结合分析能力，能够理解简单的函数与实际问题的对应关系. 存在困难：学生的困难主要体现在三个方面：一是难以将实际问题中的“费用、次数”等变量关系抽象为分段一次函数模型，对分段点的界定容易出现错误；二是在利用函数图象、方程和不等式求解方案临界点时，数形结合的转化能力不足，无法快速将图象交点与实际问题中的决策节点对应起来；三是面对多方案的分类讨论时，容易出现逻辑混乱，无法全面、有序地分析不同自变量取值下的最优方案. 认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的关键阶段，对贴近生活的实际问题有较强的探究兴趣，但抽象概括和逻辑推理能力仍有待提升，需要借助直观的图象、具体的情境和分步引导，才能逐步理解函数模型在决策问题中的应用价值，同时他们的合作探究意愿较强，适合通过小组讨论、动手画图的方式突破难点.   三、教学目标 1.建立一次函数模型刻画实际问题中的变量关系，利用一次函数的图象与性质求解方案选择问题. 2.将实际问题转化为一次函数模型，结合数形结合、分类讨论思想，准确找到不同方案的费用临界点并完成决策. 3.经历“实际问题抽象为函数模型——分析函数图象与解析式——求解临界点——分类讨论决策”的完整过程，提升数学建模、数形结合和分类讨论的能力. 4.感受一次函数在解决实际问题中的应用价值，体会数学与生活的紧密联系，培养理性分析、科学决策的意识，增强对数学的学习兴趣.   四、教学重难点 重点：建立一次函数模型刻画实际问题中的变量关系，利用一次函数的图象与性质求解方案选择问题； 难点：将实际问题转化为一次函数模型，结合数形结合、分类讨论思想，准确找到不同方案的费用临界点并完成决策.   五、教学过程 · 情境导入 生活中我们经常会遇到收费套餐选择、租车购票、采购消费等实际问题，面对两种甚至多种收费方式、优惠政策，究竟选哪一种更省钱、更合理? 当问题中存在变化的量，不同方案的费用、数量会随着自变量的变化而发生改变时，我们就可以借助一次函数表示出每种方案的数量关系，再通过列式、画图、比较函数值大小，清晰判断不同取值范围内对应的最优方案. 师生活动：教师展示生活场景提问“怎么选更省钱”，引导学生用一次函数建模分析；学生结合情境思考，初步感知函数在方案选择中的作用. 设计意图：以生活实例激发兴趣，搭建“实际问题——函数模型”的桥梁，让学生体会数学的实用性，为后续学习奠定基础. · 探究新知 活动：探究运用一次函数选择最佳方案 问题1：下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 思考：选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 师生活动：教师以游泳馆套餐问题为载体，通过提问引导学生分析费用构成、建立分段函数模型；学生自主推导解析式、绘制函数图象，通过联立方程求交点，合作讨论不同游泳次数下的最优方案，完成从建模到决策的完整探究. 讨论以下问题： (1)哪种游泳费用是会变化的?哪种不变? (2)在A，B两种套餐中，游泳费用有哪些部分组成? (3)影响套餐外游泳费用的变量是什么? (4)这三种方式中有一定最优惠的方式吗? 答：(1) A、B会变化，C不变 (2)游泳费=年卡费用+套餐外费用. (3)套餐外游泳次数 (4)没有一定最优惠的方式，与年游泳次数有关 分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数.在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此，y3=1800(x≥0). 若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择. 套餐A：考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数 x 分为不超过20次和超过20次两种情况.得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式： 化简，得 这个函数的图象如图所示. 问题2：你能写出套餐B，C的游泳费用y2，y3关于年游泳次数 x的函数解析式并画出相应的函数图象吗？ 套餐B：游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式为： 化简，得 这个函数的图象如图所示. 套餐C：游泳费用y3关于年游泳次数x的函数解析式为：y3=1 800 (x≥0). 这个函数的图象如图所示. 分析：在自变量x相等的情况下：费用最低 → y值最小 → 函数图象最靠下. y3=1 800 (x≥0). 根据 与求交点A的坐标 根据与y3=1 800 (x≥0). 求交点B的坐标 联立y1=40x-200与y2=1200， 可得40x-200=1200，解得x=35. 可以看出，0≤x<35时，套餐A费用最低. 联立y2=40x-800与y3=1800， 可得40x-800=1800，解得x=65. 可以看出，35<x<65时，套餐B费用最低； x>65时，套餐C费用最低. 综上所述： 当年游泳次数x满足 时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数x满足 时，选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数x满足 时，选择套餐C能节省游泳费用. 答：0≤x<35；35<x<65；x>65 总结：应用一次函数的性质选择最佳方案的一般步骤: 1.建模：从数学的角度分析实际问题，建立函数模型(往往有两个或两个以上模型). 2.列式：列出不等式或方程，求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系. 3.选择：结合实际需求，选择最佳方案. 设计意图：让学生经历“实际问题——函数建模——数形结合——分类决策”的过程，掌握一次函数选择最优方案的通用步骤，渗透数形结合与分类讨论思想，体会数学的实用性，提升建模与分析能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师以两道生活例题为载体，引导学生分析题意、建立函数模型，通过列式计算、画图分析，分步骤解决方案选择问题；学生独立思考、小组讨论，完成从建模到分类决策的完整解题过程，巩固解题方法. 例1 中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为元，每个包装盒还需额外的加工成本元． 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为个，按照方案一获得包装盒的总费用为元，按照方案二获得包装盒的总费用为元 分别求出，与之间的函数关系式； 假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择 哪种方案更省钱？并说明理由． 解：，， 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． 当时，选择方案一更省钱；当时，两个方案的费用相同，任选一个即可；当时，选择方案二更省钱．理由如下： 当时，得，解得， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 当时，选择方案一更省钱；当时，两个方案的费用相同，任选一个即可；当时，选择方案二更省钱． 例2某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案： 方案：按流量计费，元； 方案：元流量套餐包月，包含流量，如果超过，超过部分另外计费见图象，如果用到时，超过的流量不再收费； 方案：元包月，无限制使用． 用表示每月上网流量单位：，表示每月的流量费用单位：元，方案和方案对应的关于的函数图象如图所示，请解决以下问题： 写出方案的函数解析式 ，并在图中画出其图象； 若小明奶奶每月使用流量在之间，请通过计算给出经济合理的选择方案． 小明爸爸根据自己平时使用流量的情况，决定采用最经济的方案是，则他每月使用流量最可能的范围是______直接写出答案 分析：由题意可得， 方案的函数解析式为，图象如右图所示； 故答案为：； 解：方案：设时，， ，解得，， 时，， 方案对应的函数解析式是 ， 当300 ≤ x≤ 500： 方案A：yA= 0.1x，费用范围30—50元， 方案B：yB=20元，此时yB=20<yA，选B更划算. 当500 < x≤ 600： 方案A：yA= 0.1x，费用范围50—60元 方案B：yB=0.22x-90，费用范围20—42元 此时yB<yA，依然选B更划算. 故若小明奶奶每月使用流量在之间，选用方案比较合算； 分析：（3）找A、C的临界点：0.1x=120，得x= 1200 找B、C的临界点：当x>1000时，B的费用为130元，已经大于120元；当500<x≤1000时，B的最大费用为130元，0.22x- 90= 120时 x≈954.5，但实际B在x =1000时费用为130元，因此当x>1200时，方案A的费用0.1x>120，方案B的费用为130元，都比方案C的120元高，此时选C最划算.因此，流量x>1200M时，方案C最经济，故答案为“1200M以上”. 总结：解决通过比较多个函数的函数值选择最佳方案问题的方法： 方法一(数法)：通过讨论多个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 方法二(形法)：画出多个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 设计意图：通过两道不同类型的典型例题，帮助学生巩固“数法”与“形法”两种解题方法，强化建模、列式、比较的解题步骤，提升学生解决多方案优化问题的能力，深化对一次函数应用价值的理解. · 课堂练习 【教材练习】 某公司要印制产品宣传材料.甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费. (1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式； (2)选择哪家印刷厂比较合算? 解：(1)依题意得，甲厂：y=x+1500. 乙厂：y=2.5x (2)当x+1500>2.5x时，解得x<1000； 当x+1500=2.5x时，解得x=1000； 当x+1500<2.5x时，解得x>1000. 所以当印刷数量小于1000份时，选择乙印刷厂比较合算； 当印刷数量等于1000份时，甲、乙两家印刷厂费用相同； 当印刷数量大于1000份时，选择甲印刷厂比较合算. 师生活动：教师引导学生分析题意、建立两个一次函数模型，通过列不等式求解临界值；学生独立完成解题，再交流核对结果，巩固方法. 设计意图：通过教材原题练习，让学生熟练掌握“建模——列式——比较——决策”的解题步骤，强化一次函数在方案优化问题中的应用能力. 【限时训练】 1.为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡设消费的次数为时，所需的费用为元，且与之间的函数关系如图所示观察图象可知，当消费的次数           时，选择乙种消费卡更为划算． 【答案】  2.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式：以每分钟元的价格按上网所用时间计费；方式：除收月租费元外，再以每分钟元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为分钟，计费为元，如图是在同一平面直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有下列结论： 图象甲描述的是方式； 图象乙描述的是方式； 当上网所用时间为分钟时，选择方式更省钱． 其中正确的是          填序号 【答案】  3.某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择． 方案一：个月后，在年薪元的基础上每年提高元第一年年薪元 方案二：个月后，在半年薪元的基础上每半年提高元第个月末发薪水元． 但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，选择方案          对员工更有利． 【答案】二  4.某平台为外卖骑手提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪元，每完成一单外卖业务再提成元； 方案二：每日底薪元，外卖业务的前单没有提成，超过单的部分，每完成一单提成元． 据统计，骑手小明平均每天完成的外卖业务量约为单．若仅从日工资收入的角度考虑，则他应该选择方案          ； 若骑手小明想日入元，则每日最少需要送          单外卖； 当骑手小明每日送          单外卖时，方案一和方案二的日收入是一样的． 【答案】(1)一  (2)90  (3)10或60  5.为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材已知购买个篮球和个排球共花费元，购买个篮球和个排球共花费元． 求篮球和排球的单价 某体育用品店有两种优惠方案，方案一：每购买一个篮球就送一个排球方案二：购买篮球和排球的费用一律打七五折该学校需要购买个篮球和个排球方案一的费用为元，方案二的费用为元 根据题目信息，直接写出与的函数表达式：          与的函数表达式：           画出的图象，并直接写出，交点的坐标：           根据图象回答：当购买排球的数量满足条件          时，方案二比方案一更优惠． 【答案】(1)解:设篮球的单价为x元，排球的单价为y元. 根据题意，得解得 答:篮球的单价为100元，排球的单价为80元.   (2)①=80x+800  =60x+3000 ②(110，9 600) ③x>110 师生活动：教师组织学生限时完成课堂练习，巡视指导；学生独立解题，核对答案后交流易错点，教师针对共性问题进行点拨. 设计意图：通过分层练习巩固一次函数选择最优方案的解题方法，强化数形结合与分类讨论思想，提升学生的解题速度与准确率. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.运用一次函数选择最佳方案的建模思想是什么？ 3.运用一次函数选择最佳方案的步骤方法是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：家庭宽带套餐“大比拼”——一次函数与方案优化决策 任务：收集当地运营商2——3种宽带套餐的收费标准(如月费、超出套餐流量/时长的额外收费)，分别建立套餐月费用关于实际使用量的一次函数模型，通过代数计算与图象分析，确定不同使用场景下的最优套餐选择，并为家人制定一份宽带套餐选购建议. 要求： 1.清晰列出各套餐的收费规则，写出对应的函数解析式； 2.绘制函数图象，标注费用相等的关键临界点； 3.分场景(如轻度、中度、重度使用)说明最优选择； 4.结合家庭实际使用情况，给出个性化选购建议，作业整体控制在250字左右. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第1课时   一、教材分析 本节课选自人教版初中数学八年级下册第23章《一次函数》，是一次函数单元的应用课，处于“概念——图象——性质——应用”的知识链条末端，是一次函数知识体系的升华环节. 此前学生已学习一次函数的概念、图象与性质，本节课将其拓展到分段函数的实际应用，是函数建模思想的集中体现. 教材以玉米种子购买、出租车收费、实验室温控三个生活实例为载体，教学逻辑链条清晰：首先以“玉米种子购买”为例，引导学生分析“不同购买量对应不同单价”的分段情境，抽象出分段一次函数的解析式与图象；再通过例题的规范解答，呈现“分析情境——分段建模——求解应用”的完整解题流程；最后通过两道练习，分别巩固“温度变化”“出租车收费”两类典型分段函数问题，从“单价分段”延伸到“情境分段”，层层递进，帮助学生理解分段函数的本质是“不同区间对应不同函数关系”，体会一次函数在解决实际问题中的工具性价值，为后续二次函数、反比例函数的应用学习奠定建模方法基础.   二、学情分析 已有基础：掌握一次函数的概念、解析式求法、图象绘制与性质应用，能解决简单的一次函数实际问题，具备初步的抽象建模能力和变量分析意识，同时对生活中的分段收费、分段变化等情境有直观认知，为分段函数的学习提供了经验基础. 存在困难：一是对“分段”的本质理解不足，易混淆分段点的归属，在不同区间的函数解析式推导中容易出错；二是缺乏分类讨论的思维习惯，面对多情境、多条件的实际问题，难以主动划分自变量的取值区间；三是建模能力薄弱，无法将实际问题中的数量关系转化为分段函数模型，也难以结合函数图象分析问题. 认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对生活化的实例兴趣浓厚，但抽象概括能力仍有待提升，需要通过具体情境的分析、动手建模的过程，逐步建立分段函数的认知，理解分段函数的本质，形成“分段建模、分类求解”的解题思维.   三、教学目标 1.理解分段一次函数的概念，能根据实际问题的分段情境，写出分段函数的解析式并解决简单应用问题. 2.分析实际问题中的分段条件，确定自变量的取值区间，准确推导分段函数的解析式，理解分段函数的图象特征. 3.经历“实际问题抽象为分段一次函数模型”的过程，体会分类讨论思想、建模思想在数学中的应用，提升分析问题和解决问题的能力. 4.感受一次函数在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣，培养严谨的思维习惯和应用意识.   四、教学重难点 重点：理解分段一次函数的概念，能根据实际问题的分段情境，写出分段函数的解析式并解决简单应用问题； 难点：分析实际问题中的分段条件，确定自变量的取值区间，准确推导分段函数的解析式，理解分段函数的图象特征.   五、教学过程 · 情境导入 在日常生活中很多计费问题都不是固定单价.比如乘坐出租车，3公里以内是起步价，超过3公里后每公里加收费用；还有手机话费、阶梯水费等，在不同范围内收费规则不一样. 面对这类问题，我们不能只停留在计算单个数值，而要学会用函数的眼光看待变化过程，用函数模型表达数量关系，进而利用函数解决更一般、更复杂的实际问题. 师生活动：教师展示出租车、话费、水费等分段收费情境，提问“这些计费规则有什么共同点?”；学生观察、讨论，发现“分段计费”特征，引出用函数模型刻画这类问题的必要性. 设计意图：从学生熟悉的生活实例切入，唤醒已有经验，感知分段计费的普遍性，体会数学与生活的联系；引导学生从算术思维向函数思维过渡，为分段一次函数的建模学习做好铺垫，激发探究兴趣. · 探究新知 活动：探究应用一次函数解决实际问题 问题1：在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，那如何用一次函数解决实际问题呢? 师生活动：教师出示玉米种子购买问题，引导学生分析分段条件，分步推导解析式；学生小组讨论分段区间，尝试写出函数表达式，结合图象验证，再代入数值求解，教师适时点拨，总结建模步骤. 答：1.将实际问题抽象为一次函数问题； 2.根据条件求得一次函数的解析式； 3.结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 问题2：某玉米种子的价格为 40元/kg.若一次购买不超过2 kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2 kg的种子，超过部分的种子价格打6折. (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ 分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x＞2讨论. 解：(1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x； 当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价， 其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)按24元/kg(即六折)计价， 函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32. 函数解析式也可以合起来表示为 注意：分段函数是一个函数，不是多个函数，每一段必须标注自变量取值范围. 函数图象如图所示. (2)因为4＞2，所以 y=24×4+32=128. 因此，一次购买4kg种子，需付款128元. 总结：利用一次函数的相关性质解决实际问题常见类型如下： 1. 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解； 2.题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，需要先根据题目信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 注意：应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义. 设计意图：通过具体例题引导学生经历“分析情境——分段建模——应用求解"的过程，掌握分段一次函数的建模方法，理解分段函数的本质，体会数学建模思想，提升分析和解决实际问题的能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示阶梯水费、电费例题，引导学生划分分段区间，推导解析式；学生自主分析、小组交流，完成分段建模与求解，教师点拨易错点，总结解题步骤，强化分段意识. 例1 2025 年3 月1 日，陕西省《节约用水条例》正式实施，为水资源可持续利用提供法治保障，为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13 立方米时，每立方米4 元，超出13 立方米时，超出的部分每立方米6 元. 设某用户月用水量为x立方米，水费为y 元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该用户某月预算水费为58 元，实际水费为50 元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 分析：(1)根据收费标准分两段分析：用水量0≤x≤13时，按4元/立方米计费；x>13时，前13立方米按4元/立方米计费，超出部分按6元/立方米计费，据此列分段函数. (2)分别将预算水费58元、实际水费50元代入对应解析式，求出预算与实际用水量，然后两个相减即可. 解：(1)由题意得：当0≤x≤13时，y=4x； 当x>13 时，y=13×4+6(x - 13)=6x-26. 综上所述：y关于x的函数解析式为. (2)由(1)可知：当y＝58时，则6x－26＝58， 解得x＝14； 当y＝50时，则4x＝50，解得x＝12.5. 14－12.5＝1.5(立方米)． 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 总结：用解析式法表示分段函数的注意点： (1)分段函数是一个函数，而非多个函数，其自变量在不同范围内解析式不同； (2)表示函数关系的解析式，每一段后面必须加上自变量的取值范围. 例2 我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 设该市一户居民某月用电量千瓦时，当月的电费元，直接写出与的关系式； 某户居民七月份用电量为千瓦时，求该户这个月的电费； 某户居民八月份缴电费元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？ 解：时，； 时，； 时，； 综上： 当时，， 答：该户这个月的电费为元； 当时，， 当时，， 当时，， ，解得：． 答：该户居民八月份用电量为千瓦时． 注意：分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化． 设计意图：通过水费、电费两个生活化例题，巩固分段一次函数的建模方法，帮助学生掌握不同情境下的分段分析技巧，强化自变量取值范围的意识，提升应用分段函数解决实际问题的能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.一个实验室在0:00——2:00保持20°C的恒温，在2:00——4:00匀速升温，每小时升高5°C.写出实验室温度T(单位:°C)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象. 解：由题意知，实验室温度T(单位:°C)关于时间t(单位：h)的函数解析式为： 函数图象如图所示. 2.某市出租车的收费方式为：路程不超过3km时收费9元，超过3km部分每千米收费2元，记乘客乘坐出租车的路程为x(x>3)km，乘车费为y元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少? 解：(1)依题意得，y=2x+3(x>3) (2)∵23>9 ∴2x+3=23，解得x=10 ∴他的乘车路程是10km. 师生活动：教师布置教材练习，引导学生独立完成分段函数建模与求解；学生自主完成两道练习，同桌互查解析式与取值范围，教师巡视点拨易错点，再请学生板演解题过程并讲解思路. 设计意图：通过两道典型教材练习，巩固分段一次函数的建模与应用，强化学生对分段区间、解析式推导及自变量取值范围的掌握，检测课堂学习效果，提升学生解决实际问题的能力. 【限时训练】 1.根据国家天然气价格形成机制的相关要求，某市居民用天然气价格已上调调整后，居民每月用气费用元与每月用气量之间的函数图象如图所示，其中段第一阶梯符合正比例函数模型，段第二阶梯符合一次函数模型，则下列说法正确的是(    ) A. 第一阶梯的价格是元 B. 第二阶梯的价格是元 C. 当月用气量为时，费用为元 D. 的值为 【答案】B  2.某商店在节日期间开展优惠促销活动：凡购买原价超过元的商品，超过元的部分可以享受打折优惠，若购买商品的实际付款金额单位：元与商品原价单位：元之间的函数关系的图象如图所示，则图中的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：当时，设与之间的函数关系式为， 图象过点和点， 解得 与之间的函数关系式为， 当时，．的值为． 3.某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案设购票张数为张，购票总价为元方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设段对应的函数解析式为， ，得， 即段对应的函数解析式为， 设段对应的函数解析式为， ，得， 即段对应的函数解析式为， 由题意可得，方案二中与的函数关系式为， 令，得， 为整数， 应舍去， 令，得， 即当时，两种方案购票总价相同， 故选：． 4.河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特为了充分挖掘旅游资源，某景区销售一批印有当地风土人情的太阳帽太阳帽的单价是元，若一次购买不超过顶，则售价不变，若一次购买超过顶，超过的部分打五折写出付款金额与购买太阳帽的数量的函数解析式，并画出图象． 【答案】解：当时，太阳帽的单价为元，函数解析式为当时，函数解析式为，函数图象如图所示．    5.某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度随时间分钟变化的函数图象． 求该图象的函数表达式； 若食物在及以上的温度中烤制分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由． 【答案】解：设函数表达式为， 当时，将，代入得： ， 解得， ； 当时，将，代入得： ， 解得， ； ； 在中，令得， 在中，令得， ， 该模式下烤制的食物能健康食用．  师生活动：教师组织学生完成5道综合练习，引导小组合作分析题目中的分段条件；学生独立解题后交流思路，分享分段建模的关键步骤，教师针对共性问题进行讲解，强化易错点. 设计意图：通过梯度练习，全面巩固分段一次函数的建模、求解与应用，强化学生的分段分析意识和函数建模能力，提升学生解决复杂实际问题的能力，落实本节课的核心目标. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.分段函数建模步骤是什么？ 3.在写分段函数解析式时有哪些要点？ 4.分段函数图象特征是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：生活中的分段一次函数“探秘” 任务：1.寻找1个生活中的分段收费/分段变化情境(如水电费、阶梯话费、快递收费等)，记录情境中的分段条件、收费/变化规则； 2.以情境中的关键变量为自变量，写出对应的分段一次函数解析式，明确自变量的取值范围； 3.选取1个具体数值，代入函数解析式计算结果，并结合实际情境验证其合理性； 4.绘制该分段函数的简易图象，标注分段点与关键数值. 要求：1.情境需真实可查，数据记录清晰，解析式推导过程完整； 2.图象需标注坐标轴含义、分段点和关键坐标，体现分段函数的特征； 3.写出100字以内的探究感悟，说明分段函数在生活中的作用，完成一份完整的探究报告. 学科网（北京）股份有限公司 $