3.4 一元一次不等式的应用 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 3.4 一元一次不等式的应用 第3章 一元一次不等式(组) 湘教版数学七年级下册3.4 一元一次不等式的应用练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕一元一次不等式的应用知识点设计，涵盖生活实际中的不等关系、一元一次不等式解决实际问题的步骤（审题、设元、列不等式、解不等式、检验、作答），涉及购物、计费、行程、最值等常见应用场景，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握用一元一次不等式解决实际问题的技巧，规范解题流程，提升应用能力，时长建议30分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 填空题：用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤是：①________；②设未知数；③________；④解不等式；⑤________；⑥作答。 2. 某商店推出优惠活动，购买笔记本不超过10本，每本5元；超过10本，超过部分每本4元。设购买x本笔记本（x为正整数），若付款金额不超过60元，求x的取值范围，列出不等式（无需求解）。 3. 小明每天练习跑步，计划每天跑不少于1500米，他今天已经跑了800米，剩下的路程要在10分钟内跑完，设每分钟跑x米，求x的取值范围（列出不等式并求解）。 4. 选择题：某工厂要生产一批零件，要求每天生产的零件数不少于120个，已知该工厂每天可生产零件x个，满足不等式x - 20 ≥ 100，则下列说法正确的是（ ） A. 每天生产的零件数减去20个后，至少还剩100个 B. 每天生产的零件数最多比100个多20个 C. 每天生产的零件数最少为80个 D. 以上说法都不正确 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 某服装店推出两款上衣，A款每件售价80元，B款每件售价60元。小明带了500元，计划购买这两款上衣共8件，且购买A款上衣的数量不少于3件，求小明最多能购买多少件A款上衣（写出完整解题步骤）。 2. 一辆出租车的收费标准为：3千米内起步价10元，超过3千米后，每千米加收2.4元（不足1千米按1千米计算）。某人乘坐出租车从甲地到乙地，共支付车费不超过22元，求甲地到乙地的最大距离（写出完整解题步骤）。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 某学校组织学生参加社会实践活动，租用了若干辆客车，若每辆客车坐45人，则有15人没有座位；若每辆客车坐50人，则恰好空出一辆客车（其余客车坐满）。设租用了x辆客车，且学生总人数不超过300人，求x的取值范围，并求出最多租用多少辆客车（写出完整解题步骤）。 2. 某工厂生产一批玩具，已知生产每个玩具的成本为3元，售价为5元，每月固定成本为2000元（不随产量变化）。设每月生产x个玩具，若每月盈利不低于3000元，求x的取值范围，并说明每月至少生产多少个玩具才能达到盈利目标（盈利=总收入-总成本，写出完整解题步骤）。 参考答案 一、基础巩固题 1. 审题；列一元一次不等式；检验解集的合理性 2. 当x ≤ 10时，5x ≤ 60；当x > 10时，10×5 + 4(x - 10) ≤ 60 3. 解：根据题意，列不等式：800 + 10x ≥ 1500；移项，得10x ≥ 1500 - 800；合并同类项，得10x ≥ 700；系数化为1，得x ≥ 70；答：每分钟至少跑70米。 4. A（解析：x - 20 ≥ 100，解得x ≥ 120，即每天生产的零件数不少于120个，A选项表述正确；B选项错误，最多无上限；C选项错误，最少为120个） 二、能力提升题 1. 解：设购买A款上衣x件，则购买B款上衣(8 - x)件；根据题意，列不等式：80x + 60(8 - x) ≤ 500，且x ≥ 3（x为正整数）；去括号，得80x + 480 - 60x ≤ 500；移项、合并同类项，得20x ≤ 20；系数化为1，得x ≤ 1；又∵x ≥ 3，∴x无符合条件的正整数；答：小明无法同时满足购买8件且A款不少于3件的要求（或此题无解）。 2. 解：设甲地到乙地的距离为x千米（x为正数）；当x ≤ 3时，车费为10元，符合题意；当x > 3时，列不等式：10 + 2.4(x - 3) ≤ 22；去括号，得10 + 2.4x - 7.2 ≤ 22；移项、合并同类项，得2.4x ≤ 19.2；系数化为1，得x ≤ 8；综上，甲地到乙地的最大距离为8千米；答：甲地到乙地的最大距离是8千米。 三、拓展应用题 1. 解：根据题意，学生总人数为45x + 15；由“每辆坐50人，空出一辆”可知，学生总人数也为50(x - 1)；列不等式组：45x + 15 ≤ 300，且45x + 15 = 50(x - 1)；先解方程45x + 15 = 50x - 50，得5x = 65，x = 13；检验x = 13时，总人数=45×13 + 15 = 600，超过300，不符合；调整：仅根据总人数不超过300，列不等式45x + 15 ≤ 300；移项、合并同类项，得45x ≤ 285；系数化为1，得x ≤ $$\frac{19}{3}$$≈6.33；∵x为正整数，∴x最大为6；答：x的取值范围是x ≤ 6（x为正整数），最多租用6辆客车。 2. 解：根据题意，盈利=5x - (3x + 2000) = 2x - 2000；列不等式：2x - 2000 ≥ 3000；移项，得2x ≥ 5000；系数化为1，得x ≥ 2500；答：x的取值范围是x ≥ 2500（x为正整数），每月至少生产2500个玩具才能达到盈利目标。 温馨提示：用一元一次不等式解决实际问题的核心是找准不等关系，抓住题干中的关键词（如“不少于”“不超过”“最多”“至少”），准确列出不等式；重点注意：设未知数时要明确单位，解不等式后需检验解集是否符合实际意义（如人数、车辆数、产量等需为正整数）；易错点为找错不等关系、忽略实际意义对解集的限制、列不等式时遗漏固定量（如固定成本、起步价），解题时需仔细审题，规范步骤。 1. 会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问 题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程； (重点) 2. 体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会 分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用． (难点) 学习目标 情景导入 你还记得应用一元一次方程解实际问题的步骤么？ 审题 设未知数 列出方程 解方程 检验解的合理性 作答 1 2 3 4 5 6 问题：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午 7 点出发，到达山顶后休息 2 h，下午 4 点以前必须回到出发点. 如果他们去时的平均速度是 3 km/h，回来时的平均速度是 4 km/h，他们最远能登上哪座山顶(图中数字表示出发点到山顶的路程)？ 一元一次不等式的应用 前面问题中涉及的数量关系是： 去时所花时间＋休息时间＋回来所花时间 ≤ 总时间. 解：设从出发点到山顶的距离为 x km，则他们去时所花时间为 h 回来所花时间为 h. 他们在山顶休息了 2 h，又上午 7 点到下午 4 点之间总共相隔 9 h，即所用时间应少于或等于 9 h. 所以有 ＋2＋ ≤ 9. 解得 x≤12. 因此要满足下午 4 点以前返回出发点，则小华他们最远能登上 D 山顶. 例1 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？ 解：设每套童装的售价是 x 元. 则 40x－90×40－40x · 10％≥900. 解得 x≥125. 答：每套童装的售价至少是 125 元. 分析： 本题涉及的数量关系是： 销售额－成本－税费≥纯利润( 900元 ). 典例精析 例2 当一个人坐下时，不宜提举超过 4.5 kg 的重物，以免受伤. 小明坐在书桌前，桌上有两本各重 1.2 kg 的画册和一批每本重 0.4 kg 的记事本. 如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本，问他最多只应搬动多少本记事本？ 解：设小明搬动 x 本记事本，则 解得 x≤5.25. 1.2×2＋0.4x≤4.5. 答：小明最多只应搬动 5 本记事本. 因为记事本的数目必须是整数，所以 x 的最大值为 5. 分析: 本题涉及的数量关系是： 画册的总重+记事本的总重≤ 4.5 kg. 解：设小明家每月用水量为 x 立方米． 因为5×1.8＝9＜15，所以小明家每月用水超过 5 立方米. 则超出 (x－5) 立方米，按每立方米 2 元收费， 列出不等式为 5×1.8＋(x－5)×2≥15， 解得 x≥8. 答：小明家每月用水量至少是 8 立方米． 例3 小明家每月水费都不少于 15 元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过 5 立方米，则每立方米收费 1.8 元；若每户每月用水超过 5 立方米，则超出部分每立方米收费 2 元，小明家每月用水量至少是多少？ 例4 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且给出了不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90% 收费；在乙超市累计购物超过50 元后，超出 50 元的部分按 95% 收费．顾客到哪家超市购物花费少？ 分析:甲乙两超市的优惠价格不一样，因此需要分类讨论： (1)累计购物不超过 50 元； (2)累计购物超过 50 元而不超过 100 元； (3)累计购物超过 100 元. 解：(1)当累计购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市都不享受优惠，购物花费一样； (2)当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，在乙超市享受优惠， 购物花费少； (3)当累计购物超过 100 元后，设购物花费 x (x > 100) 元. ① 若 50 + 0.95(x - 50) > 100 + 0.9(x - 100)，即 x > 150， 在甲超市购物花费少； ② 若 50 + 0.95(x - 50) < 100 + 0.9(x - 100)，即 x < 150， 在乙超市购物花费少； ③ 若 50 + 0.95(x - 50) = 100 + 0.9(x - 100)，即 x = 150， 在甲、乙两超市购物花费一样. 1.小明家的客厅长5m，宽4 m. 现在想购买边长为60cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？ 解：设至少需要购买x块，则 0.36 x ≥ 20 解得 x≥55.6 地板砖数目取整数，所以x的最小值为56 答：至少需要购买56块这样的地板砖. 【教材 P73 练习第1题】 注意单位，地板面积为0.36m2. 随堂练习 2.某校举行“践行社会主义核心价值观”知识竞赛，共有 25 道题，规定答对一道题得 4 分，答错或不答一道题扣 1 分.在这次竞赛中，小明被评为优秀(85 分或 85 分 以上)，小明至少答对了几道题？ 解：设小明答对了 x 道题. 根据题意，得 4x -（25 - x）≥ 85 解得 x ≥ 22 答：小明至少答对了 22 道题. 随堂练习 “至 多”“最多”“不高于”（“至少” “最少”“不低于”）对应不等号中的“小于”或“等于”（“大于或等于”），如果是列不等式，那么用“≤”（“≥”）连接.如果是求最后的答案，那么是求解集的最大（小）值. 知识点睛 随堂练习 - - ≥900 3.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？ 销售额-成本-税费≥纯利润（900元） 解：设每套童装的售价是x元. 解这个不等式， 得 x≥125 答：每套童装的售价至少是125元. 40·x 90×40 40·x·10% 随堂练习 4.根据篮球赛的规则，于3分线外投篮命中可得3分，于3分线内投篮命中得2分.若某球队在一场球赛中共投中45个球（只有2分球和3分球），而所得总分不大于100分，问该球队最多投中多少个3分球？ 解：设最多投中x个三分球， 则 3x+2（45-x）≤100 解得 x≤10 答：该球队最多投中10个三分球. 随堂练习 5.甲班同学的平均体重是46kg，乙班同学的平均体重42kg，甲、乙两班同学的平均体重不超过44kg.已知甲班有50人，乙班至少有多少人？ 解：设乙班至少有x人. 则46×50+42x ≤（50+x）×44 解得 x≥50. 答：乙班至少有50人. 随堂练习 6.某厂生产某种零件，每个零件的成本为3元，售价5元，应纳税款为总销售额的10%. 要使纯利润不低于3万元，该零件至少要销售多少个？ 解：设该零件至少要销售x个. 则 （5-3）x-5x·10%≥30000 解得 x≥20000 答：该零件至少要销售20000个. 【教材 P73 练习第2题】 随堂练习 应用1 销售问题 1. 澧县葡萄酸甜可口，衡山红脆桃甜脆爽 口.某水果店计划购进澧县葡萄和衡山红脆桃共 ，已知 两者的进价和售价如下表所示： 中考考法 19 进价/（元/ ） 售价/（元/ ） 澧县葡萄 12 20 衡山红脆桃 6 10 若想此次全部售完两者的利润不低于1 000元，则最多可购 进衡山红脆桃_____ . 150 中考考法 20 2. [湖北中考] 某商店销售，两种水果. 水果标价14元/千 克， 水果标价18元/千克. （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了， 两种水果共3千 克，合计付款46元.这两种水果各买了多少千克？ 【解】设水果买了千克，水果买了 千克， 依题意，得解得 答：水果买了2千克， 水果买了1千克. 中考考法 21 （2）妈妈让小明再到这家商店买,两种水果，要求 水果比 水果多买1千克，合计付款不超过50元.设小明买水果 千克. ①若这两种水果按标价出售，求 的取值范围； 小明买了水果千克，则水果买了 千克.根据题意 得，解得.又因为 , 所以的取值范围为 . 中考考法 22 ②小明到这家商店后，发现, 两种水果正在进行优惠活 动：水果打七五折；一次购买 水果不超过1千克不优惠， 超过1千克后，超过1千克的部分打七五折（注：“打七五折” 指按标价的出售）.若小明合计付款48元，求 的值. 根据题意，得 ，解得 . 中考考法 23 应用2 行程问题 3. 一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了 , 从地匀速返回地用了不到,这段江水流速为 ,轮 船在静水中的速度 不变，根据题意可以列出不等式 为_____________________. 中考考法 24 4. 甲、乙两车分别从相距的， 两地相向而行，甲、 乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前 出发，则甲车 出发后两车相遇；若乙车比甲车提前 出发，则乙车出 发后 两车相遇． 中考考法 25 （1）求甲、乙两车的速度. 【解】设甲车的速度是，乙车的速度是 . 根据题意，得 解得 答：甲车的速度是，乙车的速度是 . 中考考法 26 （2）若甲、乙两车同时出发，甲车行驶 后发生故障，原 地检修 后继续按原速度行驶，此时乙车提高速度，为 了保证乙车再经过不超过 与甲车相遇，那么乙车要比原来 的行驶速度至少提高多少千米/时？ 中考考法 27 设乙车要比原来的行驶速度提高， ， 根据题意，得 , 解得 . 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高 . 中考考法 28 应用3 面积问题 5. 在中俄贸易博览 会前，某展览馆为更好地适应会展需求， 对部分展馆地面进行了升级改造.如图 （单位：米），已知该展馆地面为长40米、 宽30米的长方形，现计划将其分成两个展览区，其余部分为 等宽的通道，设通道的宽度为 米. 中考考法 29 （1）求两个展览区的总面积. （请用含 的式子表示） 【解】因为通道的宽度为 米， 所以展览区的长为 米， 宽为 米. 所以两个展览区的总面积为 平方米. 中考考法 30 （2）工程负责人准备用， 两种彩砖铺设展览区的地面， 用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，铺设展览区若用 种彩砖每平方米需要90元，若用 种彩砖每平方米需要60元， 当 时，若铺设展览区的总费用不超过45 540元，求最多 购买多少平方米 种彩砖？ 中考考法 31 当 时，两个展览区的总面积为 （平方米）. 设购买平方米 种彩砖，则购买 平方米 种彩砖. 由题意，得 ， 解得 . 答：最多购买366平方米 种彩砖. 中考考法 32 一元一次不等式的应用 实际问题 根据题意列不等式 ↓ 解一元一次不等式 → → 根据实际问题找出符合条件的解集或整数解 ↑ 得出解决问题的答案 课堂小结 $