随机变量及其分布：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考点讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

随机变量及其分布：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考点讲义 随机变量及其分布：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考点讲义 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率与全概率公式性质的应用 全概率公式与数列综合问题（马尔可夫链） 考点一 条件概率 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：在事件 发生前提下，事件 发生的概率： 1. 变形公式： 1. 古典概型下： 二、解题原理 1. 限定样本空间：已知 A 发生，样本空间缩小为 A 内部，只在 A 里算 B 的比例； 1. 交集概率作比，是条件概率核心本质。 三、解题思路 1. 分清谁是前提事件 、谁是目标事件 ； 1. 求联合概率 、前提概率 ； 1. 代入公式直接计算； 1. 古典概型可直接数缩小后的基本事件个数作比。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·北京·期中）抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 例4．（25-26高二下·湖南长沙·月考）有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 例5．（25-26高二下·安徽宿州·期中）一个盒子中有6个外形相同的小球，其中2个白球，4个黑球．从盒子中随机取出一个小球（不放回），然后再从盒子中随机取出一个小球． (1)在第一次取到白球的条件下，求第二次取到黑球的概率； (2)在第二次取到黑球的条件下，求第一次取到白球的概率； 例6．（25-26高二下·广东广州·期中）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“赢球方发球”规则（即当前回合胜出的一方，将获得下一回合的发球权）.已知，当甲发球时，甲赢得该回合的概率为；当乙发球时，乙赢得该回合的概率为.假设每回合比赛的结果相互独立，且比赛没有平局，经抽签决定，第个回合由甲发球. (1)前两个回合甲均获胜的概率； (2)求第3个回合由甲发球的概率； (3)若已知第4个回合是由甲发球的，求第3个回合是由乙发球的概率. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）某校高一年级有甲､乙､丙三名学生报名参加数学､物理､化学三门学科的竞赛选拔，每人限报且必报一科，每名学生选择各门学科的可能性相同.已知事件：甲､乙两人所报学科不同；事件：乙､丙两人所报学科相同，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·江西·三模）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 变式4．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 变式5．（25-26高二下·天津河北·期中）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： (1)第一次和第二次都摸到红球的概率； (2)在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； (3)第二次摸到红球的概率． 变式6．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 考点二 全概率公式 【知识点解析】 一、知识点 1. 样本划分： 两两互斥、并为全集； 1. 全概率公式： 二、解题原理 1. 拆分整体概率：把复杂事件 拆到各个原因 下分别计算再求和； 1. 由因求果：已知各原因概率、各原因下结果的条件概率，求总结果概率。 三、解题思路 1. 找完备事件组（划分原因）； 1. 求每个 ，再求对应条件概率 ； 1. 套公式逐项相乘再相加； 1. 常见：两类划分 直接用两分全概率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东东莞·期中）一玩具制造厂的某一配件由、、三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂、、的次品率分别为，，，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·山东潍坊·期中）甲乙丙三家AI公司同时对目标网络系统发起攻防测试，三家公司成功突破系统的概率分别为，若系统仅被1家公司突破，其瘫痪的概率为，若系统被2家公司突破，其瘫痪的概率为，若3家公司同时突破，系统必定瘫痪，则该网络系统被瘫痪的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 例5．（2026·山西吕梁·三模）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 例6．（2026·重庆·模拟预测）网络安全事关广大人民群众切身利益.某电脑遭遇病毒攻击时，该电脑的杀毒软件发现病毒的概率为.若杀毒软件发现病毒，则自动启动杀毒，杀毒成功的概率为；若杀毒未成功，则病毒使电脑变卡顿的概率为.若杀毒软件未发现病毒，则病毒使电脑变卡顿的概率为. (1)若电脑遭遇病毒攻击，求杀毒软件杀毒成功的概率； (2)求病毒使电脑变卡顿的概率. 例7．（25-26高二下·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8. 则王同学第2天去餐厅用餐的概率为（    ） A．0.48 B．0.7 C．0.75 D．0.8 变式2．（2026·山东菏泽·二模）已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·天津·二模）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 变式5．（25-26高二下·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 变式6．（25-26高二下·宁夏·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占60%，合格率为92%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 变式7．（25-26高二下·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 考点三 贝叶斯公式 【知识点解析】 一、知识点 二、解题原理 1. 由果溯因：已知结果 已经发生，反求是由某个原因 导致的概率； 1. 分母就是全概率，分子是该原因与结果的联合概率。 三、解题思路 1. 确定原因划分 、结果 ； 1. 先用全概率算出分母总概率； 1. 单独算出分子 ； 1. 分子除以分母，得后验概率。 【例题分析】 例1．（2026·河北沧州·模拟预测）现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·河北衡水·期中）某工厂有甲､乙两条生产线生产同一种零件，产量分别占总产量的和.已知甲生产线次品率为，乙生产线次品率为.现从该厂产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品来自甲生产线的概率为（    ） A．0.375 B．0.429 C．0.571 D．0.625 例3．（25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 例4．（25-26高二下·广东广州·期中）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学校食堂每餐推出、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 变式4．（25-26高二下·山东济宁·期中）某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 考点四 条件概率与全概率公式性质的应用 【知识点解析】 一、知识点 1. 条件概率性质： 1. 独立事件： 1. 结合互斥、对立、独立综合化简概率式子。 二、解题原理 利用条件概率的运算性质、对立转化、独立简化，化简复杂概率表达式，再求值或证明等式。 三、解题思路 1. 用条件概率性质拆括号、转对立事件； 1. 识别独立/互斥关系简化乘积项； 1. 遇多层条件概率逐层套用定义展开； 1. 代数变形化简后代入已知数值计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·重庆·月考·多选）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二下·河北承德·月考）已知事件A，B满足：，则__________． 例6．（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·广东广州·期中·多选）设是同一概率空间中的随机事件，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·上海徐汇·二模）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 变式6．（25-26高二下·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 考点五 全概率公式与数列综合问题（马尔可夫链） 【知识点解析】 1.全概率公式与数列递推 当概率问题具有重复结构或状态转移特性时（如赌徒问题、传球问题、随机游走），当前状态的概率往往依赖于前一步或前几步的状态.这时可以通过建立递推关系式来描述概率. 处理思路： 步骤 处理思路 定义状态 设为第步时某事件发生的概率（例如，第次传球后球在某人手中的概率） 分析转移关系 利用全概率公式，将表示为前一步所有可能状态的条件概率的加权和. 建立递推方程 通过全概率分解得到形如的递推式. 求解递推数列 利用数列的递推解法（如特征方程、待定系数法）求出通项公式 2.求数列通项公式常用的构造方法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽六安·期中）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围. 例2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 例3．（25-26高二下·江苏徐州·期中）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记次传球后球在甲手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记次传球后，球传回甲手中的总次数为，求． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 变式2．（2025·浙江温州·一模）每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 变式3．（2025·四川绵阳·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为．甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为．在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响． (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对求两人第一轮也都答对的概率； (2)求证：，甲在第轮答对的概率为定值； 2 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考点讲义 随机变量及其分布：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考点讲义 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率与全概率公式性质的应用 全概率公式与数列综合问题（马尔可夫链） 考点一 条件概率 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：在事件 发生前提下，事件 发生的概率： 1. 变形公式： 1. 古典概型下： 二、解题原理 1. 限定样本空间：已知 A 发生，样本空间缩小为 A 内部，只在 A 里算 B 的比例； 1. 交集概率作比，是条件概率核心本质。 三、解题思路 1. 分清谁是前提事件 、谁是目标事件 ； 1. 求联合概率 、前提概率 ； 1. 代入公式直接计算； 1. 古典概型可直接数缩小后的基本事件个数作比。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式可计算“密码被译出”的概率再用条件概率公式即可. 【详解】设“密码被译出”为事件，“甲译出密码”为事件，则， 已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 所以. 例3．（25-26高二下·北京·期中）抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 【答案】 【分析】先求出总的事件数目，再求出符合的事件数目，即可求出概率. 【详解】甲投掷骰子可能出现的点数为：，乙投掷骰子可能出现的点数为：1，2， 3，4，5，6， 则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）： 一共有18种， 乙骰子的点数小于甲骰子点数的情况有： ，共有9种， 则甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为. 例4．（25-26高二下·湖南长沙·月考）有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 【答案】 【分析】由题意求出同时报名两个项目的人数，根据条件概率的计算公式，即可得答案. 【详解】设事件A=“报名100米赛跑”，事件B=“报名200米赛跑”， 由题意得：40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑， 则同时报名两个项目的人数为：， 则 故，即某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为. 例5．（25-26高二下·安徽宿州·期中）一个盒子中有6个外形相同的小球，其中2个白球，4个黑球．从盒子中随机取出一个小球（不放回），然后再从盒子中随机取出一个小球． (1)在第一次取到白球的条件下，求第二次取到黑球的概率； (2)在第二次取到黑球的条件下，求第一次取到白球的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，求，根据条件概率直接求解即可； （2）结合（1）的结果根据条件概率直接求解即可； 【详解】（1）设第一次取到白球为事件，第二次取到黑球为事件， 则， 所以. （2），故. 例6．（25-26高二下·广东广州·期中）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“赢球方发球”规则（即当前回合胜出的一方，将获得下一回合的发球权）.已知，当甲发球时，甲赢得该回合的概率为；当乙发球时，乙赢得该回合的概率为.假设每回合比赛的结果相互独立，且比赛没有平局，经抽签决定，第个回合由甲发球. (1)前两个回合甲均获胜的概率； (2)求第3个回合由甲发球的概率； (3)若已知第4个回合是由甲发球的，求第3个回合是由乙发球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算； （2）分前3个回合发球顺序为甲甲甲、甲乙甲两种情况，再利用独立事件的乘法公式计算； （3）用表示第4个回合是由甲发球，表示第3个回合是由乙发球，结合第（2）问，以及条件概率的概率公式求出. 【详解】（1）前两个回合甲均获胜的概率为； （2）前3个回合发球顺序为甲甲甲，其概率为； 前3个回合发球顺序为甲乙甲，其概率为； 故第3个回合由甲发球的概率为； （3）用表示第4个回合是由甲发球，表示第3个回合是由乙发球， 由（2）可知，第3个回合由甲发球的概率为，乙发球的概率为， 则，， 则， 故已知第4个回合是由甲发球的，求第3个回合是由乙发球的概率为 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）某校高一年级有甲､乙､丙三名学生报名参加数学､物理､化学三门学科的竞赛选拔，每人限报且必报一科，每名学生选择各门学科的可能性相同.已知事件：甲､乙两人所报学科不同；事件：乙､丙两人所报学科相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率计算公式及条件概率公式计算求解. 【详解】每人有3种学科选择，所以基本事件总和为， 事件，甲有3种学科选择，乙有2种学科选择，丙无限制，有3种学科选择， 所以事件包含的可能事件为，则， 事件：甲、乙两人所报学科不同，乙、丙两人所报学科相同， 故事件，甲有3种学科选择，乙有2种学科选择，丙与乙相同，只有1种学科选择， 所以事件包含的可能事件为，则， 所以. 变式2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用古典概型概率公式和条件概率公式求解. 【详解】记第一次取到不合格品为事件，第二次取到合格品为事件，则 ，，， 所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为：. 变式3．（2026·江西·三模）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 【答案】0.6 【详解】设事件“该同学答对所有选择题”，事件“该同学答对所有填空题”． 由题意知，故． 变式4．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 【答案】 90 【详解】①最后只不合格品恰好在第次测试时被发现，要求第次为不合格品，前次有只不合格品、只合格品. 总情形数：. ②设事件：最后一只不合格品在第次测出，事件：第次测得合格品，，满足的情形：第次不合格，第次合格，第、次为不合格品，，故. 变式5．（25-26高二下·天津河北·期中）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： (1)第一次和第二次都摸到红球的概率； (2)在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； (3)第二次摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可. （2）根据条件概率计算公式求解即可. （3）根据全概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球， 所以. 故第一次和第二次都摸到红球的概率为. （2）第一次摸到红球的概率为，所以. 故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为. （3），则，所以， 所以. 故第二次摸到红球的概率为. 变式6．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）从参赛的8支球队随机选4支进入A组，其余4支进入B组，共有种分组情况， 甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为. 设事件E为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则， 即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为. （2）解法一：记事件M为“甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则，， 所以， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 解法二：记事件M为“甲、乙、丙中有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 考点二 全概率公式 【知识点解析】 一、知识点 1. 样本划分： 两两互斥、并为全集； 1. 全概率公式： 二、解题原理 1. 拆分整体概率：把复杂事件 拆到各个原因 下分别计算再求和； 1. 由因求果：已知各原因概率、各原因下结果的条件概率，求总结果概率。 三、解题思路 1. 找完备事件组（划分原因）； 1. 求每个 ，再求对应条件概率 ； 1. 套公式逐项相乘再相加； 1. 常见：两类划分 直接用两分全概率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东东莞·期中）一玩具制造厂的某一配件由、、三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂、、的次品率分别为，，，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，利用全概率公式计算可得. 【详解】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂， 所以. 例2．（25-26高二下·山东潍坊·期中）甲乙丙三家AI公司同时对目标网络系统发起攻防测试，三家公司成功突破系统的概率分别为，若系统仅被1家公司突破，其瘫痪的概率为，若系统被2家公司突破，其瘫痪的概率为，若3家公司同时突破，系统必定瘫痪，则该网络系统被瘫痪的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设甲乙丙突破事件并给出对应概率,利用独立事件概率公式分别算出恰好 1 家、恰好 2 家、恰好 3 家突破的概率,再分别乘以对应瘫痪概率,最后将三种情况的瘫痪概率相加,即可求出网络系统被瘫痪的总概率. 【详解】设分别表示甲、乙、丙突破系统，，相互独立. 系统瘫痪分三种情况： 仅1家突破： ， 瘫痪概率. 仅2家突破： , 瘫痪概率. 3家均突破： ，瘫痪概率. 网络系统被瘫痪的概率为：. 例3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 例4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 【答案】 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据各品牌手机的销售占比和优质率， 分别求出甲乙两种品牌的优质品概率，概率相加即可解决问题. 【详解】解：由甲品牌的销售量占比为，则乙品牌的销售量占比为， 所以（买到优质品）. 例5．（2026·山西吕梁·三模）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 例6．（2026·重庆·模拟预测）网络安全事关广大人民群众切身利益.某电脑遭遇病毒攻击时，该电脑的杀毒软件发现病毒的概率为.若杀毒软件发现病毒，则自动启动杀毒，杀毒成功的概率为；若杀毒未成功，则病毒使电脑变卡顿的概率为.若杀毒软件未发现病毒，则病毒使电脑变卡顿的概率为. (1)若电脑遭遇病毒攻击，求杀毒软件杀毒成功的概率； (2)求病毒使电脑变卡顿的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件该电脑的杀毒软件发现病毒，事件杀毒软件杀毒成功，则，，利用概率的乘法公式可求得杀毒软件杀毒成功的概率； （2）记事件病毒使电脑变卡顿，求出、、的值，利用全概率公式可求得的值. 【详解】（1）记事件该电脑的杀毒软件发现病毒，事件杀毒软件杀毒成功， 则，， 由概率的乘法公式可知杀毒软件杀毒成功的概率为. （2）记事件病毒使电脑变卡顿，由（1）可知，， 则，， 故， 由题意可知， 所以. 例7．（25-26高二下·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【答案】(1)3； (2)； (3). 【分析】（1）利用古典概率公式列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. （2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. （3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8. 则王同学第2天去餐厅用餐的概率为（    ） A．0.48 B．0.7 C．0.75 D．0.8 【答案】B 【详解】记事件为“第1天去餐厅”，事件为“第1天去餐厅”，事件为“第2天去餐厅”， 由题意得, , ， 则由全概率公式得. 变式2．（2026·山东菏泽·二模）已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”， 事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，故，， 故，故A正确. 变式3．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. 变式4．（2026·天津·二模）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 【答案】 【分析】第一个空利用相互独立事件概率计算公式来计算；第二个空通过全概率公式，分两种初始情况讨论，分别计算每种情况下目标事件的概率再求和. 【详解】甲第1次听写错误的概率为，此时第2次由乙听写，乙听写正确的概率为， 故所求概率为. 第1次听写的人是甲时，第2次仍由甲听写的概率为； 第1次听写的人是乙时，第2次由甲听写的概率为. 由全概率公式，第2次听写的人是甲的概率为. 变式5．（25-26高二下·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算. 【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为， 则，， 因此， 所以这个人迟到的概率为0.38. 变式6．（25-26高二下·宁夏·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占60%，合格率为92%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，由条件概率公式即可求解； （2）用表示机器人是乙品牌，由全概率公式即可求解． 【详解】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 甲品牌的占40%，合格率为95%，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． （2）用表示机器人是乙品牌， ． 变式7．（25-26高二下·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出总的组合数，再求出对立事件对应的取法，用总的取法减去全是次品的取法即可； （2）根据甲箱中取出2件的类型，分成3种情况，分别计算三种情况的发生概率，再利用全概率公式计算求解． 【详解】（1）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， 这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． （2）从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 考点三 贝叶斯公式 【知识点解析】 一、知识点 二、解题原理 1. 由果溯因：已知结果 已经发生，反求是由某个原因 导致的概率； 1. 分母就是全概率，分子是该原因与结果的联合概率。 三、解题思路 1. 确定原因划分 、结果 ； 1. 先用全概率算出分母总概率； 1. 单独算出分子 ； 1. 分子除以分母，得后验概率。 【例题分析】 例1．（2026·河北沧州·模拟预测）现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件分别表示产品来自甲、乙、丙车间， 则，，； 记事件为抽到不合格品， 则，，； . 例2．（25-26高二下·河北衡水·期中）某工厂有甲､乙两条生产线生产同一种零件，产量分别占总产量的和.已知甲生产线次品率为，乙生产线次品率为.现从该厂产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品来自甲生产线的概率为（    ） A．0.375 B．0.429 C．0.571 D．0.625 【答案】A 【分析】设事件为零件来自甲生产线，为零件来自乙生产线，为抽到的零件为次品，由全概率公式求出，再由贝叶斯公式进行计算即可． 【详解】设事件为零件来自甲生产线，为零件来自乙生产线，为抽到的零件为次品， 由题意，得0.05. 所以由全概率公式得. 根据贝叶斯公式得0.375. 例3．（25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算． 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券， 则，，，， ∴， ∴． 例4．（25-26高二下·广东广州·期中）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2)（i） ；（ii） 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可； （2）（i）利用全概率公式求解即可；（ii）利用贝叶斯公式计算即得. 【详解】（1）记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”， 则 故 ； （2）（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则 ， 则 （ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为 . 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”，利用全概率及贝叶斯公式计算概率即可． 【详解】解：设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”， 则事件为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”， ， ， 所以． 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学校食堂每餐推出、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为第天选套餐，则为第天选套餐. ，，，； ； ； ； . 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【答案】 【分析】先根据掷骰子规则确定选盒的概率，再用各盒中白球占比得到摸白球的条件概率，接着通过全概率公式算出摸到白球的总概率，最后利用贝叶斯公式，求出已知摸到白球时，该球来自乙盒的概率． 【详解】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 变式4．（25-26高二下·山东济宁·期中）某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）分别求出选到典藏盒和选到经典盒任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款的概率，利用全概率公式求解； （2）（i）先求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的概率，然后求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的条件下，抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，最后计算求解；（ii）分别求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个典藏盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，然后利用贝叶斯公式求解. 【详解】（1）设事件分别为选到典藏盒、经典盒，事件为任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款， ，， 所以. （2）（i）设事件为恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，事件为两个玩偶中只有1个隐藏款， ， ， 所以. （ii）设事件为购买到两个典藏盒，事件为购买到两个经典盒， ， ， 所以. ， ， 所以. ， . 考点四 条件概率与全概率公式性质的应用 【知识点解析】 一、知识点 1. 条件概率性质： 1. 独立事件： 1. 结合互斥、对立、独立综合化简概率式子。 二、解题原理 利用条件概率的运算性质、对立转化、独立简化，化简复杂概率表达式，再求值或证明等式。 三、解题思路 1. 用条件概率性质拆括号、转对立事件； 1. 识别独立/互斥关系简化乘积项； 1. 遇多层条件概率逐层套用定义展开； 1. 代数变形化简后代入已知数值计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设及条件概率公式，概率加法公式可得，，联立解方程即可. 【详解】因，则， 又因，，且事件与事件互斥， 则，可得，从而. 故，解得. 例2．（25-26高二下·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率乘法公式与随机事件的概率加法公式求出，再由对立事件的概率公式计算即得. 【详解】因为， 又由可得，即， 故. 例3．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据独立事件定义以及条件概率乘法公式计算可得，再由全概率公式计算可得各选项结果，即可得出AB错误，C正确，再由随机事件概率的加法公式计算可得D正确. 【详解】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD 例4．（25-26高三上·重庆·月考·多选）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误. 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确； 对于B：， 变形可得，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则有， 故，故D正确， 故选：ACD 例5．（25-26高二下·河北承德·月考）已知事件A，B满足：，则__________． 【答案】 【详解】，, 所以. 例6．（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【答案】 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式得，故. 变式2．（25-26高二下·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率公式可得出的值，分析可知，且与互斥，利用互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 变式3．（25-26高二下·广东广州·期中·多选）设是同一概率空间中的随机事件，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【详解】已知， 选项A:由条件概率公式， 得，故A错误; 选项B:由全概率公式， 得，故B正确; 选项C:由加法公式， 得，故C正确; 选项D:由条件概率，得. 因为 所以 当 时, ，D正确. 变式4．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【详解】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：ABC． 变式5．（2026·上海徐汇·二模）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，且， 则，可得， 即，可得. 变式6．（25-26高二下·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【答案】 【详解】已知， ， ， ． 考点五 全概率公式与数列综合问题（马尔可夫链） 【知识点解析】 1.全概率公式与数列递推 当概率问题具有重复结构或状态转移特性时（如赌徒问题、传球问题、随机游走），当前状态的概率往往依赖于前一步或前几步的状态.这时可以通过建立递推关系式来描述概率. 处理思路： 步骤 处理思路 定义状态 设为第步时某事件发生的概率（例如，第次传球后球在某人手中的概率） 分析转移关系 利用全概率公式，将表示为前一步所有可能状态的条件概率的加权和. 建立递推方程 通过全概率分解得到形如的递推式. 求解递推数列 利用数列的递推解法（如特征方程、待定系数法）求出通项公式 2.求数列通项公式常用的构造方法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽六安·期中）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，根据条件求出，，，，再利用全概率公式，即可求解； （2）①设为“第天选择食堂”，根据条件得到，，，利用全概率公式得到，即可证明结果； ②由①得到，再对分类讨论，利用单调性，即可求解. 【详解】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列. ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以. 例2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示第次巡逻到区，利用全概率公式计算； （2）利用全概率公式得出，构造等比数列即可求出. 【详解】（1）用表示第次巡逻到区， 则，，， 第2次在区的情况分为两类： 第1次在区，第2次巡逻到区：， 第1次在区，第2次巡逻到区：， 由全概率公式，第2次在区的概率为：； （2）当时，若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 则第次在区的概率为：， 设，则，得，解得； 又因为，所以，    故数列是首项为、公比为的等比数列. 故，整理得. 例3．（25-26高二下·江苏徐州·期中）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记次传球后球在甲手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记次传球后，球传回甲手中的总次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【详解】（1）第1次由甲将球传出，第次传球后球在甲手中的概率为． 所以第次传球后，球在甲手中有两种情况： 第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为； 第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为； 所以； 第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中， 所以. （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，，必有，即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）设随机变量， 所以，，， 由（2）得， 则. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）运用全概率公式计算即可 （2）设第n天选择B餐厅的概率，与通过全概率公式得到有关概率的递推公式，变成数列问题，配凑即可证明. 【详解】（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”， 根据题意可知：， ，. 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. （2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 则， 整理得 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 变式2．（2025·浙江温州·一模）每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式依次求出. （2）根据给定条件，利用全概率公式及等比数列的定义求出的表达式. 【详解】（1）设“第天选择游泳”，则“第天选择跑步”， 依题意，，，， 由全概率公式，得； . （2）由（1）得，，，， 由全概率公式，得， 则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以的表达式为. 变式3．（2025·四川绵阳·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为．甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为．在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响． (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对求两人第一轮也都答对的概率； (2)求证：，甲在第轮答对的概率为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用互相独立事件、互斥事件的概率公式，结合条件概率公式求解即可； （2）求出的递推公式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】（1）记事件表示甲第轮答对，记事件表示乙第轮答对， 则， 所以， 同理， ， 所以， 则， 即若前两轮活动中第二轮甲乙都答对则两人第一轮也都答对的概率为. （2）由题意可知，即， 所以， 因为，所以数列为常数列， 所以为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $