精品解析：天津市耀华中学2025-2026学年第二学期中学情调研高一数学

天津市耀华中学2025-2026学年度第二学期期中学情调研 高一年级数学学科 一､选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算可得，根据复数虚部的定义理解． 【详解】试题分析：，则虚部为 故选：B． 2. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长可求出底面圆半径，进而求得圆锥的高，利用体积公式可得结果. 【详解】 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，解得， ∴， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 3. 已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性． 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 下列命题中正确的个数是（ ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】①错，a，b有可能在同一平面内； ②错，直线a也可能与平面内某直线异面； ③错，两直线也可能异面； ④正确；由线面平行的判定定理可得； ⑤错误，a可以在α内； ⑥正确，由平行线上到平面内的距离相等可得. 所以正确的个数有2个； 故选：C. 5. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 6. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论. 【详解】如图，由即知O为的中点，如图： 又∵O为的外接圆圆心，，， 又，，为正三角形， 则， 在上的投影向量为. 故选：C. 7. 的内角对应的边分别为，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在中，因， 于是由余弦定理得：， 即，解得或. 故选：C 8. 平安夜苹果创意礼品盒，如图1所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形的边长为2，上底面与下底面之间的距离为，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出该几何体的俯视图，然后结合图形求出等腰三角形的高，从而可求出该几何体的侧面积 【详解】解：该几何体的俯视图如图所示，设为俯视图的中心， 则， 所以， 设等腰三角形的高为，则，得， 所以一个等腰三角形的面积为， 所以该几何体的侧面积为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查几何体侧面积的求法，解题的关键是画出该几何体的俯视图，利用图形求出等腰三角形的高，从而可求得等腰三角形的面积，考查计算能力，属于中档题 9. 在中，，，与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可. 【详解】因为，则为的中点，可得， 注意到三点共线，可得， 又因为三点共线，则∥， 则存在实数，使得，即， 则，可得， 综上所述：，解得，可得. 故选：B. 10. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 11. 如图所示，直三棱柱是一块石材，测量得，，，．若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（ ） A. ，4 B. ，3 C. ，4 D. ，3 【答案】D 【解析】 【分析】先求出底面直角三角形的内切圆半径，这个半径就是能加工出的最大健身手球的半径，再根据球的体积公式求出一个健身手球的最大体积，最后通过直三棱柱的高与球直径的关系求出健身手球的个数. 【详解】中，，，. 则斜边的长度为. 当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大． 易知，设健身手球的半径为，则，解得． 则健身手球的最大直径为4．一个健身手球的最大体积.  直三棱柱的高，则由， 说明直三棱柱的高最多能容纳个球的直径长度，故加工成的健身手球的个数为.  故选：D. 12. 在直三棱柱中，为的中点，点在棱上，且，点A，M，N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到四边形为截面，连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥的组合，根据全等和相似关系得到四边形的面积，从而得到四棱锥的体积为，进而得到，小部分几何体的体积等于，求出大部分几何体体积，求出体积之比. 【详解】延长与于点，连接交于点，连接，则四边形为截面， 连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥的组合， 因为，，故，所以， 又为的中点，故，故，相似比为1:4， 故，， 故四边形的面积， 故四棱锥的体积为， 设矩形的面积为， 故， 故， 又，故， 故， 故小部分几何体的体积等于， 故大部分几何体的体积等于， 故小部分的体积和大部分的体积比为. 故选：A 二､填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上． 13. 已知复数满足，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】结合题意得，再根据复数除法运算求解得，最后求复数的模即可. 【详解】因为复数满足， 所以，整理得， 所以 所以 14. 已知复数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据虚数的性质，求得，结合，得到，再由共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得， 所以，所以. 故答案为：. 15. 已知平面向量，与垂直的单位向量的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设垂直的单位向量的坐标为，根据求模公式及向量垂直的坐标关系，即可求得答案. 【详解】设垂直的单位向量的坐标为，则， 整理得，解得，，且， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 16. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图： 将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 17. 欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值________________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用欧拉线的性质以及已知的平行关系得到一些向量关系，再根据向量的线性表示求出与的关系，最后求的最大值. 【详解】设为重心，则由欧拉线定理可知在上， 连接交于点， 所以为的中线，所以， 点在直线上，设， 所以， 所以，所以， 所以，当时取最大值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出和的代数关系. 18. 已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 三､解答题：本大题共3小题，共26分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 19. 已知.求： （1）与的夹角； （2）； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算法则，列出方程，求得，即可求解； （2）根据题意，求得，即可求得的值； （3）由与夹角为钝角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 因为， 可得， 即，解得， 又因为的取值范围为，可得. 【小问2详解】 由，且， 可得 所以. 【小问3详解】 若与夹角为钝角，则满足且与不共线 所以，即，解得， 令，可得，解得， 综上可得且，即求的取值范围. 20. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）将两边平方，得，由余弦定理可得，进而求得； （2）①由三角形面积公式，结合正弦定理可求得，代入，可得，从而得到的周长. ②根据正弦定理、同角三角函数平方关系和三角形边角关系得到，的值，利用二倍角公式和两角和的正弦公式计算得到答案. 【小问1详解】 由两边平方，得， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 ①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以，可得 ， 计算可得. 21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， （1）求角A的大小； （2）在中，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【小问1详解】 由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. 【小问2详解】 由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2025-2026学年度第二学期期中学情调研 高一年级数学学科 一､选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中正确的个数是（ ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 6. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 的内角对应的边分别为，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 无解 8. 平安夜苹果创意礼品盒，如图1所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形的边长为2，上底面与下底面之间的距离为，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，直三棱柱是一块石材，测量得，，，．若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（ ） A. ，4 B. ，3 C. ，4 D. ，3 12. 在直三棱柱中，为的中点，点在棱上，且，点A，M，N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上． 13. 已知复数满足，则______． 14. 已知复数，则_____． 15. 已知平面向量，与垂直的单位向量的坐标为______． 16. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 17. 欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值________________ 18. 已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 三､解答题：本大题共3小题，共26分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 19. 已知.求： （1）与的夹角； （2）； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围. 20. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， （1）求角A的大小； （2）在中，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $