精品解析：天津市蓟州区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学试卷

蓟州区2025～2026学年度第二学期期中练习 高一数学 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一．选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （　　） A. B. C. D. 2. 已知，，若与共线，则（　　） A. B. C. 2 D. 5 3. 在△ABC中，满足，则（　　） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 5. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 6. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A. B. C. D. 8. 某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：．已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，，配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：km）”判定，标准如表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（　　） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 9. 中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．） 10. 若复数，则＝________________ ． 11. 已知平面向量，的夹角为，，则_____ ． 12. 在中，已知，，则_____ ． 13. 在边长为2的菱形，E是BC的中点，则________. 14. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 15. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为 __________________ ． 三．解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 当实数取何值时，复数满足： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第四象限． 17. 已知三角形的角的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 18. 在平面直角坐标系中，，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 20. 盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． （1）求点P和点M之间的距离； （2）求两主峰M，N间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓟州区2025～2026学年度第二学期期中练习 高一数学 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一．选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 已知，，若与共线，则（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】与共线，，解得， ，， . 3. 在△ABC中，满足，则（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得：，又因为， 所以. 4. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得，，， 向量在向量上的投影向量为. 5. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 6. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在四边形中，，， 根据是平行四边形可得，四边形是矩形，且， 所以四边形的面积. 7. 已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接将三棱锥看成一个正方体截得的，因而三棱锥的外接球即为正方体的外接球，从而可得所求表面积. 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥可以看成由一个边长为的正方体截得的， 因此三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径， 故三棱锥的外接球的表面积为. 8. 某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：．已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，，配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：km）”判定，标准如表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（　　） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直和模长条件求出交通拥堵修正向量的两种可能，再结合已知关系式求出规划路线向量，根据有效配送条件排除无效情况，最后计算 并确定效率等级. 【详解】设 ，由与垂直，得，即. 由，得，代入，得或，故 或 . 由，得 . 当 时， ， ，为无效配送，不合题意，舍去. 当 时， ，，配送效率等级为高效. 9. 中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，设， 因为，由“阳马”的定义可知，平面， 所以，， 所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．） 10. 若复数，则＝________________ ． 【答案】 【解析】 【详解】复数，所以 11. 已知平面向量，的夹角为，，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】先求向量的模及向量的数量积，再用数量积求向量的模可得. 【详解】因为，所以，所以. 所以，因此，. 12. 在中，已知，，则_____ ． 【答案】3 【解析】 【详解】设角所对的边分别为，结合余弦定理，可得， 即，解得或（舍去），所以． 13. 在边长为2的菱形，E是BC的中点，则________. 【答案】-1 【解析】 【分析】 以为基底表示出，由此计算出. 【详解】依题意 . 故答案为： 14. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①异面直线与所成角等价于直线与所成角，在中利用余弦定理即可求解；②找到二面角的平面角为，算出的正弦值即可. 【详解】①在正四棱柱中，平行于底面的对角线， 因此异面直线与所成角就等价于直线与所成角， 由于，，所以， 在中，由勾股定理得，，， 因此由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为. ②在正四棱柱中，有平面，因此， 又因为，平面，平面， 因此二面角的平面角为， 由于是直角三角形，，，，斜边， 则， 故二面角的正弦值为. 15. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到的外接圆的圆心为BD的中点，再由底面，由截面圆的性质得到球的球心为侧棱的中点求解. 【详解】如图所示： 因为， 所以，的外接圆的圆心为BD的中点， 又底面，由截面圆的性质得： 球的球心为侧棱的中点， 从而球的直径为， 利用张衡的结论可得，则， 所以球的表面积为. 三．解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 当实数取何值时，复数满足： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第四象限． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0解方程即可； （2）利用实部为0以及虚部不为0，解方程即可得出结果； （3）根据点坐标以及第四象限点的特征解不等式即可求出的取值范围为. 【小问1详解】 若为实数，则，解得或； 【小问2详解】 若为纯虚数，则，解得或； 【小问3详解】 若在复平面内对应的点在第四象限， 则，即，解得，解得， 故的取值范围为. 17. 已知三角形的角的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理直接计算可得结果； （2）由正弦定理解方程可求； （3）由两角和的正弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 利用正弦定理可得； 【小问3详解】 由（1）知，， 由，可得，可得为锐角， 故， 可得. 18. 在平面直角坐标系中，，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据点的坐标求出和，再由向量垂直的条件，结合数量积的运算律列方程，即可求得； （2）先设出的坐标，结合得到方程，再由向量平行的坐标条件得到与的关系，联立求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 所以，得. 【小问2详解】 设，则，即， 因为， 又，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【小问1详解】 连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. 【小问3详解】 取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 20. 盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． （1）求点P和点M之间的距离； （2）求两主峰M，N间的距离． 【答案】（1）2km； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【小问1详解】 根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. 【小问2详解】 在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $