命题大赛 云南省昆明市-2025-2026学年高一下学期期末检测数学练习

**基本信息** 2028届高一期末数学卷，原创与改编题结合，涵盖复数、立体几何等知识，以通信技术、《九章算术》为情境，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、函数性质|原创题考查复平面坐标，改编题巩固基础| |多选|3/18|立体几何（阳马）、向量|结合《九章算术》情境，考查空间观念| |填空|3/15|向量数量积、三角恒等变换|原创题检测单位向量运算，改编题涉及函数交点| |解答|5/77|函数、概率、解三角形、立体几何、通信信号向量|第19题原创通信信号向量题，体现科技前沿，考查创新意识与模型观念|

秘密★考试结束前 【考试时间：7月6日　8:00—10:00】 2028届高一年级下学期期末检测 数学试卷 命题人：张发松 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真填涂考号。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）已知复数z在复平面内所对应点的坐标为，则（  ） A． B． C． D． 2．（改编）已知集合，则（  ） A． B． C． D． 3．（原创）已知，则（  ） A．45 B．25 C． D． 4．（改编）若，则的最小值为（  ） A． B． C．3 D．6 5．（改编）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（  ） A． B． C． D． 6．（改编）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 7．（原创）函数对任意，都有，的图象关于点中心对称，且，则（  ） A．1 B． C．0 D．2 8． （改编）兴华学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（  ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（改编）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马如下图所示，其中平面ABCD，，，点E在棱PC上运动．下列说法正确的有（   ） A．四点共面 B．直线PC与AB所成的角为 C．四棱锥的外接球的表面积为 D．当时，四棱锥的体积是四棱锥体积的 10. （改编）已知点，点满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则三点共线 D．若，则 11．（原创）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 13．（原创）若单位向量满足，则等于______. 14. （原创）已知，，则______. 15．（改编）若函数与直线恰有三个交点，则的取值范围是___________. 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（改编）（13分）已知函数. (1) 求函数的定义域； (2) 判断奇偶性，并加以证明； (3) 当  时，解关于 不等式若. 16．（改编）（15分）某停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时——2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1) 若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2) 若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 17．（改编）（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1) 求A； (2) 若为BC中点，的面积为，求AD的长度； (3) 若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 18．（改编）（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1) 设平面平面，证明：； (2) 证明：； (3) 线段上是否存在点M，使得平面?若存在， 请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 19．（原创）（17分）数字通信、W i‑F i和蓝牙等技术中，信息常被编码为由 1 和 −1 组成的一串序列进行传输。数学上，一个每个分量均为 1 或 −1 的 维向量 称为维信号向量。 为了让多个设备在同一空间通信而不互相干扰，通信工程师会为它们分配两两正交的信号向量。这里向量的内积定义为；若内积为 0即，则称两向量正交。 此外，通信中常希望信号没有“直流分量”，即信号整体不偏向正或负。这等价于要求信号向量的所有分量之和为 0。数学上，若一个 维信号向量 满足，则称其为维平衡向量。 寻找一组两两正交的平衡信号向量，等同于寻找一种优雅的编码方式，使更多用户能在同一信道中“互不干扰”地通信。这类问题在数学中与著名的哈达玛矩阵理论密切相关。 对于维信号向量，记 为“两两正交的 维平衡信号向量所能取到的最大个数”。 (1) 写出一个 4 维平衡向量；3 维信号向量中是否存在平衡向量？请说明理由. (2) 试构造 3 个两两正交的 4 维平衡向量, , ，并通过计算验证它们两两正交. (3) 探究 的性质： (i)根据前两问的结果，写出 和 的值。 (ii)试通过推理或构造，给出 的一个尽可能好的上界或确切值，请结合 =3,4以及你对 = 6 的探究结果，对任意正整数，提出一个关于合理的猜想。（无需严格证明该猜想）. 2028届高一年级下学期期末检测数学试卷·第1 页 ， 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一年级下学期期末检测数学参考答案 1、 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B A D B D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 三、填空题 12． 13． 14. 选择填空题详细解答 1．A因为复数z在复平面内所对应的点为，所以，故，故．故选：A 2．D由，则，由，则.故选：D. 3．C因为，，即，所以．故选：C. 4．B因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，所以若，则的最小值为.故选：B 5．A如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以，所以 ，所以原圆台的侧面积为，故选：A. 6．D解：对于A，，最小正周期，不符合题意； 对于B，，最小正周期为，在区间上单调递增，不符合题意； 对于C，，函数的图象如下：故不是周期函数，不符合题意；对于D，，函数图象如下： 最小正周期为，在区间上单调递减，符合题意．故选：D. 7．B 因为函数对任意，都有，所以函数的的图象关于直线对称，将的图象向左平移1个单位长度，可得的图象，又的图象关于点中心对称，所以的图象关于点对称，故为上的奇函数，所以的周期，所以．故选：B. 8．D去掉最高分和最低分后，数组B的数据为，选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误；选项B、D： 数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为，，则数组B的分位数为，故C错误. 9．BCD 点E和 点P不重合时，直线和互为异面直线，故此时四点不可能共面，故A错误；因为，所以（或其补角）是直线PC与AB所成的角，所以，所以，故B正确；将四棱锥补体为长方体，四棱锥的外接球即为长方体的外接球，又,所以四棱锥的外接球的表面积，故C正确； 因为，所以，故，所以D正确．故选：BCD 10．AC由题意可得，， 对于A，，故A正确； 对于B，，， 所以在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，若，则，，即， 所以，故，则三点共线，故C正确； 对于D，若，,由几何意义知，点为的重心，故,由A可知，，所以可以作为平面内一组基底，，，故D错误. 11．ABD由条件可知，，则，故A正确；式子没有意义，故B错误； ，，所以，故C错误； 设，为增函+增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 12． 因为，所以两边平方得，又，则，所以，又所以，故答案为：. 13． 由，得， 又因为，可得，所以， 所以，则. 14．】当时，，此时，在上单调递减； 当时，，此时，在上单调递增； 当时，，对称轴为， 故在上单调递增，又，画出函数的图象如图所示： 由图象可知，若函数与直线恰有三个交点，则，即. 故答案为：. 15．（1）由题意得：且，解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称，又， 所以为奇函数． ， （3） 当  时，等价于， 则，化简得 ，解得， 故实数的取值范围为. 16．（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A，则； （2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为. 设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M， 甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 则.因为每人停车的时长是相互独立的，所以，. 17．（1）因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，则，故，即，所以，而，则，故，解得； （2）由，可得，又由余弦定理可得，即，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以， 故； （3）根据正弦定理得，所以，，可得， 由为锐角三角形可得，解得，所以，可得，，所以的周长的取值范围是． 18．（1）因为四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以.又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面.平面，所以. 在中，，，，所以，所以. 平面，，所以平面.又平面，所以. （3）如图：过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则，因为，. 所以，所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 19．（1）4维信号向量，取； 验证：各分量均为 1 或 −1，且 1 + (−1) + 1 + (−1) = 0，满足平衡向量的定义。 （注：答案不唯一，如 (1, 1, -1, -1) 等亦可。） 所有3 维信号向量中是否存在平衡向量：不存在。 理由：3 维信号向量的每个分量均为 1 或 −1，即每个分量都是奇数。三个奇数之和必为奇数，而平衡向量要求分量之和为 0（偶数）。奇数不可能等于偶数，故 3 维信号向量中不存在平衡向量。 （2）取4维信号向量，，，4 维信号向量的每个分量均为 1 或 −1，且两个分量为1两个分量为-1，分量和为1，故, , 都是平衡向量； 验证：；；.故, , 三个向量两两正交。 (3)(i)=0，=3。 由第(1)问，3 维信号向量中不存在平衡向量，因此不存在任何两两正交的平衡向量组。故。 由第（2）问，已构造出 3 个两两正交的 4 维平衡向量，故。 假设存在第 4 个平衡向量 与前 3 个均正交，即存在 4 个两两正交的平衡向量，不妨设向量 （均为 1 或 −1，且两个分量为1两个分量为-1，分量和为1）。由条件得：①；②；③；④.又①-④得：，②-③得：，从而，矛盾.所以不存在 4 个两两正交的平衡向量.故. (ii) 当时；，等号不成立； 当时；，等号成立； 当时；，等号不成立， 当时；每个 6 维平衡向量必有 3 个分量为 1、3 个分量为 −1。设已有若干个两两正交的平衡向量，每增加一个都需要与前面所有向量正交，，等号不成立； ........ 猜想：任意正整数， 当取等号. 2028届高一年级下学期期末检测数学参考答案，第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $数学 高2028届高一年级下学期期末检测 数学科 双向细目表 主要知识 主要指标 核心素养 题号 一级指标 二级指标 题型 分值 难度 系数 分值 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 1 复数 复数的几何意义 单选 5 易 0.95 4.75 5 5 数学运算（复数化简与坐标对应） 2 集合 集合的交集/补集运算 单选 5 易 0.93 4.65 5 5 数学运算（不等式求解与集合运算） 3 指数/对数运算 指数式与对数式互化 单选 5 易 0.9 4.5 5 5 数学运算（指对恒等式应用） 4 函数 基本不等式求最值 单选 5 易 0.88 4.4 2 3 5 数学运算（函数模型构造与最值） 5 立体几何 圆锥的侧面积与体积 单选 5 中 0.65 3.25 2 3 2(直观想象) 3(数学运算) 直观想象（轴截面与圆锥要素关系）、数学运算 6 三角函数 周期性和单调性 单选 5 中 0.6 3 4 1 4(逻辑推理) 1(数学运算) 逻辑推理（数形互译）、数学运算 7 函数 抽象函数的性质综合 单选 5 中 0.35 1.75 2 3 5 逻辑推理（综合运用性质） 8 概率统计 数字特征 单选 5 难 0.3 1.5 2 3 3(数据分析) 2(数学建模) 数据分析（数据处理与估计）、数学运算 40 0.695 27.8 9 立体几何 点线面的位置关系 多选 6 易 0.75 4.5 2 4 2(数据/运算) 4(数据/直观) 直观想象（空间位关系）、逻辑推理（判定定理与充分性） 10 平⾯向量 向量的运算 多选 6 中 0.55 3.3 2 4 4(直观想象) 2(逻辑推理) 向量的运算 11 函数 不等式的性质和函数的单调性 多选 6 难 0.3 1.8 4 2 4(逻辑推理) 2(数学建模) 逻辑推理（构造函数）、数学建模（数形结合思想） 合计 18 0.5333333333 9.6 12 平⾯向量 数量积运算 填空 5 易 0.85 4.25 5 5 数学运算 13 三角函数 同角关系与三角恒等变换 填空 5 中 0.6 3 5 5 数学运算（公式综合应用求值） 14 函数 函数零点与参数范围 填空 5 难 0.25 1.25 3 2 3(数学抽象) 2(直观想象) 数学抽象（转化零点为交点）、直观想象（图像变换） 合计 15 0.5666666667 8.5 15 函数 指对函数定义域/奇偶性/不等式 解答 13 易 0.75 9.75 4 9 4(逻辑推理) 9(数学运算) 逻辑推理（奇偶性证明）、数学运算（定义域与解不等式） 16 概率统计 古典概型与独立事件概率 解答 15 中 0.65 9.75 5 10 5(逻辑推理) 10(数学运算) 逻辑推理、数据分析与运算 17 三角函数 解三角形（正余弦定理） 解答 15 中 0.55 8.25 5 4 6 5(逻辑推理) 10(数学运算/数据分析) 逻辑推理（边角互化）、数学运算（面积求解） 18 立体几何 线面平行、垂直、存在性问题 解答 17 难 0.35 5.95 6 6 5 6(直观想象) 6(逻辑推理) 5(数学运算) 直观想象（几何体结构）、逻辑推理（空间证明与转化）、运算 19 数学建模/逻辑推理 平面向量的拓展 解答 17 难 0.25 4.25 5 5 7 5(数学抽象) 5(数学建模) 7(数学运算) 数学抽象（代数化几何）、数学建模、数学探究、数学运算 合计 解答题合计 77 37.95 0 合计 易：中：难 150 10 29 15 14 69 13 比例 44:51:55 150 0.56 83.85 7% 19% 10% 9% 46% 9% $